]0,1] non compatto

[elatan1]

Ciao ragazzi è da giorni che cerco di dimostrare che $]0,1]$ non sia compatto. Vi dico come ho pensato io..... Per dimostrare che non è compatto bisogna trovare un ricoprimento aperto che non ammetta un sottoricoprimento finito ed avevo scelto come ricoprimento aperto $]1/n;1-1/n]$ ora vi chiedo è un ricoprimento aperto? Grazie

PS: Si consideri la topologia euclidea....

[UmbertoM1]

Chiedo perdono se la risposta è un po' troppo banale, ma potresti sfruttare il fatto che $text{compattezza}<=>text{compattezza per successioni}$, e far vedere che esiste una successione che non ammette sottosuccessioni convergenti ad un elemento dell'insieme.

[Seneca1]

Se consideri $]0,1]$ come sottospazio di $RR$ con la topologia standard, segui il suggerimento di UmbertoM.

[Sk_Anonymous]

Scusate, ma non basta Heine-Borel? Quell'intervallo non è chiuso ( - se si considera \(\mathbb{R}\) con la topologia usuale), fine.

[Seneca1]

Certo; infatti $]0,1]$ non è chiuso in $RR$ con la topologia usuale e quindi, per Heine-Borel, non può essere compatto (considerata su tale insieme la topologia sottospazio...).

[elatan1]

Carissimi vi ringrazio per le risposte, però, il mio esercizio chiede di dimostrare che questo è un esempio di chiuso e limitato che non è compatto.... QUindi non posso applicare Borel.....

[Seneca1]

$X = ]0,1]$ con la topologia euclidea è uno spazio metrizzabile. Per uno spazio metrico sono equivalenti le nozioni di compattezza, di compattezza per successioni e di "limit point compactness"; in definitiva puoi usare il suggerimento di UmbertoM.

[vict85]

State tirando fuori cannoni per una cosa molto semplice.

Gli aperti (nella topologia indotta) \(\displaystyle \Bigl]\frac{1}{n}, 1\Bigr] \) per \(\displaystyle n\ge 2 \) sono tali che la loro unione è \(\displaystyle ]0,1] \). D'altra parte ogni suo sottoinsieme finito ha un \(\displaystyle N \) massimo e pertanto la loro unione sarebbe \(\displaystyle \Bigl]\frac{1}{N}, 1\Bigr] \) che è strattamente contenuto in \(\displaystyle ]0,1] \).

X Elatan : Sta attento che i tuoi ‘aperti’ non lo sono affatto nella topologia indotta.

[elatan1]

Quindi vict85 $]1/n;1]$ è un aperto?

[Seneca1]

@eletan: Gli aperti su $]0,1]$ della topologia sottospazio sono ottenuti intersecando gli aperti di $RR$ (topologia euclidea) con $]0,1]$. Ad esempio $\forall n \ge 2$ hai \(\left ]1 - \frac{1}{n} , 2 \right [ \cap ]0, 1] = \left ] \frac{1}{n} , 1 \right]\).

[j18eos]

[ot]

"UmbertoM":...il fatto che $text{compattezza}<=>text{compattezza per successioni}$...

In generale questo è vero solo in alcuni spazi topologici, tra cui \(\mathbb{R}\) con la topologica naturale.[/ot]