(0,1) compatto in $\mathbb{R}$???
Sia $C\subset X$
dire che $C$ è compatto significa che esiste un ricoprimento finito di aperti di $X$, cioè $A_i\subset X \ \ \forall i$ e $C\subset \bigcup_{i=1}^n A_i$
ma allora scusate, a meno di errori miei stupidi nella definizione,
ragionando in $\mathbb{R}$ sia $[0,1]$ che $(0,1)$ sarebbero compatti??? basta prendere $(-1,0.7)$ e $(0.3,1.5)$ per entrambi???
dire che $C$ è compatto significa che esiste un ricoprimento finito di aperti di $X$, cioè $A_i\subset X \ \ \forall i$ e $C\subset \bigcup_{i=1}^n A_i$
ma allora scusate, a meno di errori miei stupidi nella definizione,
ragionando in $\mathbb{R}$ sia $[0,1]$ che $(0,1)$ sarebbero compatti??? basta prendere $(-1,0.7)$ e $(0.3,1.5)$ per entrambi???
Risposte
No, significa che per ogni ricoprimento aperto di C esiste un sottoricoprimento finito.
(0,1) non è compatto.
P.S: per un ricoprimento aperto di (0,1) potevi anche prendere (0,1) stesso...
(0,1) non è compatto.
P.S: per un ricoprimento aperto di (0,1) potevi anche prendere (0,1) stesso...
Sì, ma la definizione di compatto non è quella. La giusta definizione è PER OGNI ricoprimento aperto di quell'insieme ESISTE un sottoricoprimento finito.
Cosa vuol dire? Che se hai una famiglia infinita di aperti che ricoprono il tuo insieme, allora puoi estrarre un sottoinsieme di quella famiglia che sia finito coprendo ancora quell'insieme.
In questa ottica $(0,1)$ non sarebbe più compatto perché ad esempio, prendendo il ricoprimento
$(0,1) = (0, 1/2) cup (1/4, 2/3) cup (1/2, 3/4) cup (2/3, 4/5) cup (3/4, 5/6) cup .... cup (i/(i+1), (i+2)/(i+3)) cup ...$
questo non ammette un sottoricoprimento finito.
Cosa vuol dire? Che se hai una famiglia infinita di aperti che ricoprono il tuo insieme, allora puoi estrarre un sottoinsieme di quella famiglia che sia finito coprendo ancora quell'insieme.
In questa ottica $(0,1)$ non sarebbe più compatto perché ad esempio, prendendo il ricoprimento
$(0,1) = (0, 1/2) cup (1/4, 2/3) cup (1/2, 3/4) cup (2/3, 4/5) cup (3/4, 5/6) cup .... cup (i/(i+1), (i+2)/(i+3)) cup ...$
questo non ammette un sottoricoprimento finito.
Anche dal ricoprimento $\{ ]1/2^(n+1),1-1/2^(n+1)[ \}_(n \in NN)$ non è possibile estrarre ricoprimenti finiti...
Inoltre, da tenere sempre presente è il seguente risultato: "In $RR$ (o, in generale, in un qualsiasi spazio euclideo finito dimensionale) sono compatti tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati".
Se però prendi spazi a dimensione infinita (ad esempio $l^2$, che è uno spazio di Hilbert avente dimensiona infinita) la caratterizzazione sopra esposta non vale più: infatti l'insieme $S:=\{ x=(x_n) \in l^2: ||x||_2=sqrt(\sum_(n=1)^(+oo) |x_n|^2)=1\}$ è chiuso e limitato (nella topologia indotta dalla norma $||\cdot ||_2$) epperò non è compatto.
Circa le condizioni equivalenti alla compattezza in spazi metrici più generali di $RR$ (insomma, in quasi tutti gli spazi di cui si tratta in Analisi Funzionale), c'è un noto teorema di Hausdorff.
Inoltre, da tenere sempre presente è il seguente risultato: "In $RR$ (o, in generale, in un qualsiasi spazio euclideo finito dimensionale) sono compatti tutti e soli gli insiemi chiusi e limitati".
Se però prendi spazi a dimensione infinita (ad esempio $l^2$, che è uno spazio di Hilbert avente dimensiona infinita) la caratterizzazione sopra esposta non vale più: infatti l'insieme $S:=\{ x=(x_n) \in l^2: ||x||_2=sqrt(\sum_(n=1)^(+oo) |x_n|^2)=1\}$ è chiuso e limitato (nella topologia indotta dalla norma $||\cdot ||_2$) epperò non è compatto.
Circa le condizioni equivalenti alla compattezza in spazi metrici più generali di $RR$ (insomma, in quasi tutti gli spazi di cui si tratta in Analisi Funzionale), c'è un noto teorema di Hausdorff.
scusate se riesumo il topic,ma essendo R un insieme denso quindi ogni suo punto interno è di accumulazione ed essendo anche $[0,1]$ un sottoinsieme denso di R se prendiamo il ricoprimento formato dalle infinite palle aperte che stanno nell'intorno di uno qualsiasi dei punti interni di accumulazione più altri due aperti che finiscono di ricoprire l'insieme,quale ricoprimento finito possiamo estrarre,che ricopra ancora il nostro insieme?non so se ho reso bene l'idea del ricoprimento che ho voluto prendere....
"Seldon":Non ti preoccupare!
scusate se riesumo il topic...
"Seldon":Denso in quale insieme?
...ma essendo R un insieme denso...
Lo stesso anche per gli altri riferimenti simili!
ad esempio ho ben afferrato il motivo per cui (0,1) non è compatto in R(o almeno penso),facendo appunto leva sul fatto che 0,1 sono d'accumulazione quindi ci sono infiniti aperti nel loro intorno e gia per questo motivo non posso estrarre un sottoricoprimento finito.ma se facessi la stessa cosa con [0,1] prendendo però come punto di accumulazione 1\2 cioè considero infiniti aperti nell'intorno di 1\2 non sarebbe la stessa cosa?
"Seldon":No, rileggi la prima riga dell'intervento di gugo.
...facendo appunto leva sul fatto che 0,1 sono d'accumulazione quindi ci sono infiniti aperti nel loro intorno e già per questo motivo non posso estrarre un sottoricoprimento finito...
Se ci fai caso egli costruisce una successione crescente di insiemi aperti che invadono \(]0;1[\), quindi banalmente da esso non puoi estrarre un sottoricoprimento finito; il punto è che per costruire tale successione di insiemi egli utilizza la proprietà di \(0\) e \(1\) di essere punti di accumulazione di \(]0;1[\); il trucco cade però con l'intervallo \([0;1]\). (Esercizio per casa!)
"j18eos":
Se ci fai caso egli costruisce una successione crescente di insiemi aperti che invadono \(]0;1[\), quindi banalmente da esso non puoi estrarre un sottoricoprimento finito; il punto è che per costruire tale successione di insiemi egli utilizza la proprietà di \(0\) e \(1\) di essere punti di accumulazione di \(]0;1[\); il trucco cade però con l'intervallo \([0;1]\). (Esercizio per casa!)
Se allora uno volesse dimostrare la compattezza di \(\displaystyle I = [0, 1] \) tramite la definizione?
Io ho provato a considerare un qualunque ricoprimento aperto \(\displaystyle \{V_\alpha\} \) di \(\displaystyle I \).
Supponiamo poi per assurdo che non si riesca a trovare un sottoricoprimento finito, ovvero che, se \(\displaystyle \{V_i\}_{i=1,...,N} \subset \{V_\alpha\} \) allora \(\displaystyle \bigcup_{i=1}^N V_i \subset I \).
Sia allora \(\displaystyle x \in I \) t.c. \(\displaystyle x\notin \bigcup_{i=1}^N V_i \) uno degli infiniti punti che il sottoricoprimento finito non è in grado di ricoprire (Altrimenti se tali \(\displaystyle x \) fossero in numero finito mi basterebbe aggiungere per ciascuno di essi un aperto di \(\displaystyle \{V_\alpha\} \) che contiene \(\displaystyle x \), ottenenendo un sottoricoprimento finito di \(\displaystyle I \), e ciò farebbe cadere l'assurdo e avremmo concluso.)
Come si prosegue??? Qualcuno ha qualche idea?
Sia \(\displaystyle\mathcal{U}=\{U_i\subseteq\mathbb{R}\}_{i\in I}\) un ricoprimento per aperti di \(\displaystyle[a,b]\), per esteso:
\[
[a,b]\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i
\]
e si consideri l'insieme:
\[
X=\left\{x\in[a,b]\mid\text{per l'insieme}\,[a,x]\,\text{esiste un sottoinsieme finito}\,F\,\text{di}\,I\,\text{per cui:}\,[a,x]\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i\right\}
\]
banalmente \(\displaystyle a\in X\) e quindi \(\displaystyle X\neq\emptyset\).[nota]Non ho scritto che \(\displaystyle[a,x]\) sia un insieme compatto, e tale ipotesi non servirà per il seguito.[/nota]
Sia \(\displaystyle U\in\mathcal{U}\) tale che \(\displaystyle a\in U\) allora:
\[
\exists r>0:]a-r,a+r[\subseteq U
\]
in particolare, per la definizione data:
\[
\forall c\in[a,a+r[\cap[a,b]\Rightarrow[a,c]\subseteq U\stackrel{def.}{\Rightarrow}c\in X
\]
per cui \(\displaystyle X\) è un insieme composto da infiniti punti.
Per la completezza di \(\displaystyle\mathbb{R}\) si può considerare:
\[
\sup X=\widetilde{x}\in[a,b]
\]
ove per definizione:
\[
\forall x\in X,\,x\leq\widetilde{x};\\
\forall\epsilon>0,\,\exists x_{\epsilon}\in X\mid\widetilde{x}-\epsilon
cioè \(\displaystyle\widetilde{x}\) è un punto di aderenza per \(\displaystyle X\).
Sia \(\displaystyle\widetilde{U}\in\mathcal{U}\) tale che \(\displaystyle\widetilde{x}\in\widetilde{U}\), allora:
\[
\exists\widetilde{\epsilon}>0:\left]\widetilde{x}-\widetilde{\epsilon},\widetilde{x}+\widetilde{\epsilon}\right[\subseteq\widetilde{U}
\]
in particolare, per la seconda proprietà dell'estremo superiore riportata si ha che:
\[
\exists x_{\widetilde{\epsilon}}\in X\mid x_{\widetilde{\epsilon}}\in\left]\widetilde{x}-\epsilon,\widetilde{x}+\widetilde{\epsilon}\right[
\]
per la definizione di \(\displaystyle X\):
\[
\exists F\subseteq I\,\text{finito}\mid\left[a,x_{\widetilde{\epsilon}}\right]\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i\Rightarrow\left[a;\widetilde{x}\right]\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i\cup\widetilde{U}\stackrel{def.}{\iff}\widetilde{x}\in X.
\]
[nota]Ho dimostrato che il punto di aderenza \(\displaystyle\widetilde{x}\) per \(\displaystyle X\) è un punto di \(\displaystyle X\); non ho dimostrato che \(\displaystyle X\) è un insieme chiuso.[/nota]Se per assurdo \(\displaystyle\widetilde{x}
\forall\epsilon>0,\exists y_{\epsilon}\in[a,b]:\widetilde{x}
ed utilizzando lo stesso insieme aperto \(\displaystyle\widetilde{U}\in\mathcal{U}\) si ha che \(\displaystyle\widetilde{x}
Onde evitare l'assurdo, l'estremo superiore di \(\displaystyle X\) è \(\displaystyle b\); per la genericità di \(\displaystyle\mathcal{U}\) si ha che \(\displaystyle[a,b]\) è un insieme compatto!
§§§
Bibliografia e note aggiuntive.
Volendo parlare in generale, il concetto di compattezza non è definibile solo attraverso i ricoprimenti aperti o le intersezioni di famiglie di chiusi!
Ad esempio in [2] si trova la dimostrazione della compattezza di \(\displaystyle[0,1]\) mediante il teorema della sottobase di Alexander;
mentre in [3] vi sono due dimostrazioni, la seconda utilizza la tecnica dicotomica o metodo di bisezione, che però richiede di assumere per vero AC\(\displaystyle_{\omega}\)[nota]Assioma della scelta numerabile![/nota]
La dimostrazione che ho proposto io è un compresso tra le dimostrazioni di [1] per la compattezza degli intervalli di insiemi totalmente ordinati con la topologia indotta dall'ordine e la prima di [3][nota]Che tra l'altro dimostra che l'insieme \(\displaystyle X\) è chiuso; vedi nota \(\displaystyle2\).[/nota].
Tornando al teorema della sottobase di Alexander, questi può essere assunto come definizione generale; invece, il teorema di Borel-Heine-Lebesgue-Pincherle può essere usato come definizione solo in \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con la topologia naturale; stesso discorso per la generalizzazione di quest'ultimo teorema per gli spazi normati completi.
[list=1]
[*:1l3ty7lj]Munkres J. R. (2000) Topology, II edition, Prentice Hall;[/*:m:1l3ty7lj]
[*:1l3ty7lj]Nacinovich M. - Appunti del corso di Geometria 3, http://www.mat.uniroma2.it/~nacinovi/files/topologia.pdf;[/*:m:1l3ty7lj]
[*:1l3ty7lj]Tallini G. (1970) Strutture geometriche, Liguori Editore.[/*:m:1l3ty7lj][/list:o:1l3ty7lj]
\[
[a,b]\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i
\]
e si consideri l'insieme:
\[
X=\left\{x\in[a,b]\mid\text{per l'insieme}\,[a,x]\,\text{esiste un sottoinsieme finito}\,F\,\text{di}\,I\,\text{per cui:}\,[a,x]\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i\right\}
\]
banalmente \(\displaystyle a\in X\) e quindi \(\displaystyle X\neq\emptyset\).[nota]Non ho scritto che \(\displaystyle[a,x]\) sia un insieme compatto, e tale ipotesi non servirà per il seguito.[/nota]
Sia \(\displaystyle U\in\mathcal{U}\) tale che \(\displaystyle a\in U\) allora:
\[
\exists r>0:]a-r,a+r[\subseteq U
\]
in particolare, per la definizione data:
\[
\forall c\in[a,a+r[\cap[a,b]\Rightarrow[a,c]\subseteq U\stackrel{def.}{\Rightarrow}c\in X
\]
per cui \(\displaystyle X\) è un insieme composto da infiniti punti.
Per la completezza di \(\displaystyle\mathbb{R}\) si può considerare:
\[
\sup X=\widetilde{x}\in[a,b]
\]
ove per definizione:
\[
\forall x\in X,\,x\leq\widetilde{x};\\
\forall\epsilon>0,\,\exists x_{\epsilon}\in X\mid\widetilde{x}-\epsilon
cioè \(\displaystyle\widetilde{x}\) è un punto di aderenza per \(\displaystyle X\).
Sia \(\displaystyle\widetilde{U}\in\mathcal{U}\) tale che \(\displaystyle\widetilde{x}\in\widetilde{U}\), allora:
\[
\exists\widetilde{\epsilon}>0:\left]\widetilde{x}-\widetilde{\epsilon},\widetilde{x}+\widetilde{\epsilon}\right[\subseteq\widetilde{U}
\]
in particolare, per la seconda proprietà dell'estremo superiore riportata si ha che:
\[
\exists x_{\widetilde{\epsilon}}\in X\mid x_{\widetilde{\epsilon}}\in\left]\widetilde{x}-\epsilon,\widetilde{x}+\widetilde{\epsilon}\right[
\]
per la definizione di \(\displaystyle X\):
\[
\exists F\subseteq I\,\text{finito}\mid\left[a,x_{\widetilde{\epsilon}}\right]\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i\Rightarrow\left[a;\widetilde{x}\right]\subseteq\bigcup_{i\in F}U_i\cup\widetilde{U}\stackrel{def.}{\iff}\widetilde{x}\in X.
\]
[nota]Ho dimostrato che il punto di aderenza \(\displaystyle\widetilde{x}\) per \(\displaystyle X\) è un punto di \(\displaystyle X\); non ho dimostrato che \(\displaystyle X\) è un insieme chiuso.[/nota]Se per assurdo \(\displaystyle\widetilde{x}
\forall\epsilon>0,\exists y_{\epsilon}\in[a,b]:\widetilde{x}
ed utilizzando lo stesso insieme aperto \(\displaystyle\widetilde{U}\in\mathcal{U}\) si ha che \(\displaystyle\widetilde{x}
Onde evitare l'assurdo, l'estremo superiore di \(\displaystyle X\) è \(\displaystyle b\); per la genericità di \(\displaystyle\mathcal{U}\) si ha che \(\displaystyle[a,b]\) è un insieme compatto!
§§§
Bibliografia e note aggiuntive.
Volendo parlare in generale, il concetto di compattezza non è definibile solo attraverso i ricoprimenti aperti o le intersezioni di famiglie di chiusi!
Ad esempio in [2] si trova la dimostrazione della compattezza di \(\displaystyle[0,1]\) mediante il teorema della sottobase di Alexander;
mentre in [3] vi sono due dimostrazioni, la seconda utilizza la tecnica dicotomica o metodo di bisezione, che però richiede di assumere per vero AC\(\displaystyle_{\omega}\)[nota]Assioma della scelta numerabile![/nota]
La dimostrazione che ho proposto io è un compresso tra le dimostrazioni di [1] per la compattezza degli intervalli di insiemi totalmente ordinati con la topologia indotta dall'ordine e la prima di [3][nota]Che tra l'altro dimostra che l'insieme \(\displaystyle X\) è chiuso; vedi nota \(\displaystyle2\).[/nota].
Tornando al teorema della sottobase di Alexander, questi può essere assunto come definizione generale; invece, il teorema di Borel-Heine-Lebesgue-Pincherle può essere usato come definizione solo in \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con la topologia naturale; stesso discorso per la generalizzazione di quest'ultimo teorema per gli spazi normati completi.
[list=1]
[*:1l3ty7lj]Munkres J. R. (2000) Topology, II edition, Prentice Hall;[/*:m:1l3ty7lj]
[*:1l3ty7lj]Nacinovich M. - Appunti del corso di Geometria 3, http://www.mat.uniroma2.it/~nacinovi/files/topologia.pdf;[/*:m:1l3ty7lj]
[*:1l3ty7lj]Tallini G. (1970) Strutture geometriche, Liguori Editore.[/*:m:1l3ty7lj][/list:o:1l3ty7lj]
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