${0, 1}$ è aperto in $QQ$?
${0, 1}$ è aperto in $QQ$?
No, supponiamo per assurdo che ${0,1}$ sia aperto in $QQ$ ma allora $EEA$ aperto di $RR$ tale che ${0,1}=AnnQQ$. In particolare $EEa,b,c,dinRR$ tale che $0in(a,b)subeA$ e $1in(c,d)subeA$, per cui $(0,b)subeA$, $(c,1)subeA$. Se $(0,b)nn(c,1)=∅$ allora $1notin(0,b)$. Per densità di $QQ$ $EEqinQQ$ tale che $qin(0,b)$, per cui $qinA,q!=0,q!=1$. Se invece $(0,b)nn(c,1)!=∅$ allora $(0,1)subeA$, sempre per densità di $QQ$ $EEqinQQ$ tale che $qin(0,1)$, per cui $qinA,q!=0,q!=1$. Quindi in entrambi i casi si ha che ${0,1}=AnnQQsube{0,1,q}$ assurdo.
No, supponiamo per assurdo che ${0,1}$ sia aperto in $QQ$ ma allora $EEA$ aperto di $RR$ tale che ${0,1}=AnnQQ$. In particolare $EEa,b,c,dinRR$ tale che $0in(a,b)subeA$ e $1in(c,d)subeA$, per cui $(0,b)subeA$, $(c,1)subeA$. Se $(0,b)nn(c,1)=∅$ allora $1notin(0,b)$. Per densità di $QQ$ $EEqinQQ$ tale che $qin(0,b)$, per cui $qinA,q!=0,q!=1$. Se invece $(0,b)nn(c,1)!=∅$ allora $(0,1)subeA$, sempre per densità di $QQ$ $EEqinQQ$ tale che $qin(0,1)$, per cui $qinA,q!=0,q!=1$. Quindi in entrambi i casi si ha che ${0,1}=AnnQQsube{0,1,q}$ assurdo.
Risposte
Mi intrometto (ho bisogno di ripassare).
Suppongo che \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) sia da considerare come insieme di due elementi. Allora procedendo insiemisticamente ottengo:
\(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0,\ 1\} \ =\ \mathbb Q \setminus \left( \{0\} \cup \{ 1\} \right) \ =\ \left( \mathbb Q \setminus \{0\} \right )\cap \left(\mathbb Q \setminus \{1\} \right)\ \)
essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso, allora il suo complementare è aperto e l'intersezione insiemistica di un numero finito di aperti è ancora un insieme aperto.
Quindi, essendo il complementare di \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) in \(\displaystyle \mathbb Q \) un insieme aperto, \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) è un insieme chiuso.
o no? ....
p.s. mi sono basato sull'equivalenza delle due tavole della verità di \(\displaystyle P \iff Q \) e \(\displaystyle \overline P \iff \overline Q \), per il fatto che un insieme è chiuso se e solo se (per definizione) il suo complementare è aperto.
Suppongo che \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) sia da considerare come insieme di due elementi. Allora procedendo insiemisticamente ottengo:
\(\displaystyle \mathbb Q \setminus \{0,\ 1\} \ =\ \mathbb Q \setminus \left( \{0\} \cup \{ 1\} \right) \ =\ \left( \mathbb Q \setminus \{0\} \right )\cap \left(\mathbb Q \setminus \{1\} \right)\ \)
essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso, allora il suo complementare è aperto e l'intersezione insiemistica di un numero finito di aperti è ancora un insieme aperto.
Quindi, essendo il complementare di \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) in \(\displaystyle \mathbb Q \) un insieme aperto, \(\displaystyle \{0,\ 1\} \) è un insieme chiuso.
o no? ....
p.s. mi sono basato sull'equivalenza delle due tavole della verità di \(\displaystyle P \iff Q \) e \(\displaystyle \overline P \iff \overline Q \), per il fatto che un insieme è chiuso se e solo se (per definizione) il suo complementare è aperto.
The gypsy, quello che hai dimostrato è che ${0,1}$ è chiuso, ma dovevi dimostrare che non è aperto. Il fatto che un insieme sia chiuso non implica che non sia aperto. Per esempio $QQ$ è sia chiuso che aperto in se stesso.
Giusto.
Ma in questo modo non ho dimostrato qualcosa di più forte?
p.s. Ho visto che nel sito ci sono diversi appunti (veri e propri libri) per le scuole secondarie. C'è qualcosa anche per la facoltà di matematica? La laurea ce l'ho già, ma devo rinfrescarmi su tutto e i miei libri sono tutti cartacei, non posso portameli tutti dietro.
Ma in questo modo non ho dimostrato qualcosa di più forte?
p.s. Ho visto che nel sito ci sono diversi appunti (veri e propri libri) per le scuole secondarie. C'è qualcosa anche per la facoltà di matematica? La laurea ce l'ho già, ma devo rinfrescarmi su tutto e i miei libri sono tutti cartacei, non posso portameli tutti dietro.
"the gypsy":No, hai dimostrato una cosa diversa.
Giusto.
Ma in questo modo non ho dimostrato qualcosa di più forte?
Solo una domanda, ma il mio ragionamento va bene oppure ho sbagliato qualcosa (a me sembra corretto ma non si sa mai faccia deduzione sbagliate per distrazione o altro)?
"the gypsy":
essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso
Attento questa affermazione vale per ogni punto solo se lo spazio topologico è T1, in questo caso $QQ$ è T1 quindi va bene (non so se non so se lo hai tralasciato per "banalità" o perchè non te lo ricordavo perciò nel caso te lo dico, chiedo venia se lo sapevi e non l hai specificato per banalità)
"andreadel1988":Potrebbe andar bene ma scrivi troppe cose. È più semplice osservare che $U=A-{0,1}$ è aperto (stai togliendo due punti, che sono chiusi) e non vuoto (perché ${0,1}$ non è aperto in $RR$, dato che non contiene intervalli aperti) e quindi $U nn QQ ne emptyset$ per densità, assurdo.
Solo una domanda, ma il mio ragionamento va bene oppure ho sbagliato qualcosa (a me sembra corretto ma non si sa mai faccia deduzione sbagliate per distrazione o altro)?
"andreadel1988":
[quote="the gypsy"]
essendo un punto (singoletto) un insieme chiuso
Attento questa affermazione vale per ogni punto solo se lo spazio topologico è T1, in questo caso $ QQ $ è T1 quindi va bene (non so se non so se lo hai tralasciato per "banalità" o perchè non te lo ricordavo perciò nel caso te lo dico, chiedo venia se lo sapevi e non l hai specificato per banalità)[/quote]
Sì sì, lo sapevo. Comunque fai bene a ricordarmelo (just in case) non mi offendo di certo per questo. Mi sono iscritto al forum per aiutare ed essere aiutato di riflesso. La topologia si studia all'università e si insegna all'università e basta, pertanto mi è finita letteralmente nel dimenticatoio. Questo è praticamente l'unico forum dove si discute anche di topologia come si fa a Matematica.
Ok, allora devo ripassarmi un po' di cose. Intanto comincio ad circoscrivere le mie lacune.
"Martino":
osservare che $U=A-{0,1}$ è aperto (stai togliendo due punti, che sono chiusi)
Ah non sapevo che togliendo a un aperto un chiuso ottenevo ancora un aperto ma effettivamente è equivalente a intersecare l'aperto con il complementare del chiuso, che è aperto, e quindi mi viene un intersezione di aperti che è aperta.
"the gypsy":
Sì sì, lo sapevo.
Ah ok allora pardon ahahaah.
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