Zone di Brillouin
Buongiorno a tutti,
stavo studiando la soluzione dell'equazione di Shröedinger che descrive un elettrone in un potenziale di Kröenig-Penney.
La strada che ho seguito è la seguente:
1) Notare che gli operatori Hamiltoniano \(\displaystyle \widehat{H} \) e Traslazione \(\displaystyle \widehat{T} \) commutano, quindi hanno un set completo di auto funzioni in comune;
2) Comincio a cercare quelle di \(\displaystyle \widehat{T} \):
\(\displaystyle \widehat{T}\psi(x) = \psi(x+L)=T\psi(x) \)
con L passo reticolare e T autovalore. Utilizzo la condizione di Born-Von-Karman che mi consente di scrivere che:
\(\displaystyle \widehat{T}^N\psi(x) =T^N\psi(x)=\psi(x)\Rightarrow T^N=1\Rightarrow T=e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{N}}, p \in \left \{ 0,1,...,N-1 \right \} \)
dunque gli autovalori di \(\displaystyle \widehat{T} \) sono \(\displaystyle N \) (atomi del reticolo) e sono della forma appena trovata.
Le auto funzioni devono verificare:
\(\displaystyle \widehat{T}\psi(x) =\psi(x+L)=e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{N}}\psi(x)\Rightarrow \psi_p(x)=e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{NL}x}u(x) \)
dove \(\displaystyle \psi_p(x) \) è quindi l'autofunzione di \(\displaystyle \widehat{T} \) (e anche di \(\displaystyle \widehat{H} \)) corrispondente all'autovalore \(\displaystyle e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{N}} \), \(\displaystyle u(x) \) è una funzione periodica di periodo \(\displaystyle L \).
3) A questo punto risolvo anche l'equazione:
\(\displaystyle \widehat{H}\psi_p(x) =E\psi_p(x) \)
\(\displaystyle \widehat{H}e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{NL}x}u(x) =Ee^{\text{i} \frac{2 \pi p}{NL}x}u(x) \)
trovando quindi come deve essere fatta \(\displaystyle u(x) \) affinché \(\displaystyle \psi_p(x) \) sia autofunzione anche di \(\displaystyle \widehat{H} \).
Ora, al di là della soluzione, come si vede da questi pochi passaggi si ha una funzione d'onda che è un'onda piana di vettore d'onda \(\displaystyle \frac{2 \pi p}{NL} \), modulata da \(\displaystyle u(x) \).
Ciò che ho ottenuto subito imponendo la condizione di Born-Von-Karman è che i vettori d'onda possibili sono \(\displaystyle N \) e che il range in cui variano è da \(\displaystyle 0 \) fino a \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \), o equivalentemente da \(\displaystyle -\frac{ \pi}{L} \) fino a \(\displaystyle \frac{ \pi}{L} \).
Che senso ha allora parlare di zone di Brillouin diverse dalla prima? Equivarrebbe a prendere \(\displaystyle p+N \) al posto di \(\displaystyle p \), oppure \(\displaystyle p+2N \), e così via... Ma se ho già trovato la restrizione \(\displaystyle p \in \left \{ 0,1,...,N-1 \right \} \) perché mai dovrei violarla? E facendolo che vantaggi ne trovo?
Mi sembra un complicarsi la vita andando a mettere in mezzo soluzioni ripetitive senza senso.
Grazie in anticipo.
stavo studiando la soluzione dell'equazione di Shröedinger che descrive un elettrone in un potenziale di Kröenig-Penney.
La strada che ho seguito è la seguente:
1) Notare che gli operatori Hamiltoniano \(\displaystyle \widehat{H} \) e Traslazione \(\displaystyle \widehat{T} \) commutano, quindi hanno un set completo di auto funzioni in comune;
2) Comincio a cercare quelle di \(\displaystyle \widehat{T} \):
\(\displaystyle \widehat{T}\psi(x) = \psi(x+L)=T\psi(x) \)
con L passo reticolare e T autovalore. Utilizzo la condizione di Born-Von-Karman che mi consente di scrivere che:
\(\displaystyle \widehat{T}^N\psi(x) =T^N\psi(x)=\psi(x)\Rightarrow T^N=1\Rightarrow T=e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{N}}, p \in \left \{ 0,1,...,N-1 \right \} \)
dunque gli autovalori di \(\displaystyle \widehat{T} \) sono \(\displaystyle N \) (atomi del reticolo) e sono della forma appena trovata.
Le auto funzioni devono verificare:
\(\displaystyle \widehat{T}\psi(x) =\psi(x+L)=e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{N}}\psi(x)\Rightarrow \psi_p(x)=e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{NL}x}u(x) \)
dove \(\displaystyle \psi_p(x) \) è quindi l'autofunzione di \(\displaystyle \widehat{T} \) (e anche di \(\displaystyle \widehat{H} \)) corrispondente all'autovalore \(\displaystyle e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{N}} \), \(\displaystyle u(x) \) è una funzione periodica di periodo \(\displaystyle L \).
3) A questo punto risolvo anche l'equazione:
\(\displaystyle \widehat{H}\psi_p(x) =E\psi_p(x) \)
\(\displaystyle \widehat{H}e^{\text{i} \frac{2 \pi p}{NL}x}u(x) =Ee^{\text{i} \frac{2 \pi p}{NL}x}u(x) \)
trovando quindi come deve essere fatta \(\displaystyle u(x) \) affinché \(\displaystyle \psi_p(x) \) sia autofunzione anche di \(\displaystyle \widehat{H} \).
Ora, al di là della soluzione, come si vede da questi pochi passaggi si ha una funzione d'onda che è un'onda piana di vettore d'onda \(\displaystyle \frac{2 \pi p}{NL} \), modulata da \(\displaystyle u(x) \).
Ciò che ho ottenuto subito imponendo la condizione di Born-Von-Karman è che i vettori d'onda possibili sono \(\displaystyle N \) e che il range in cui variano è da \(\displaystyle 0 \) fino a \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \), o equivalentemente da \(\displaystyle -\frac{ \pi}{L} \) fino a \(\displaystyle \frac{ \pi}{L} \).
Che senso ha allora parlare di zone di Brillouin diverse dalla prima? Equivarrebbe a prendere \(\displaystyle p+N \) al posto di \(\displaystyle p \), oppure \(\displaystyle p+2N \), e così via... Ma se ho già trovato la restrizione \(\displaystyle p \in \left \{ 0,1,...,N-1 \right \} \) perché mai dovrei violarla? E facendolo che vantaggi ne trovo?
Mi sembra un complicarsi la vita andando a mettere in mezzo soluzioni ripetitive senza senso.
Grazie in anticipo.
Risposte
Premesso che le mie conoscenze a riguardo sono limitate, provo a risponderti sperando di dire cose sensate e di non confonderti ulteriormente le idee.
Ciò che imponi con la condizione al contorno di Born-Von-Karman è che $\psi (0)=\psi (x+NL)$, per cui deve risultare
$\psi(0)=e^{ikNL}\psi(0)\Rightarrow e^{ikNL}=1\Rightarrow kNL=2p\pi $
dove $p$ è un valore intero. Si ha quindi che $k=\frac {2p\pi }{NL}$. Ora, consideriamo per esempio la prima zona di Brillouin. Questa è compresa tra $k=-\pi /L$ e $k=\pi /L$ a cui corrispondono rispettivamente i valori $p=-\frac {N}{2}$ e $p=\frac {N}{2}$. Pertanto, ciò che si trova è che ci sono $N/2+N/2=N$ stati possibili nella prima zona di Brillouin. Ma questo stesso risultato lo si trova facilmente anche per qualunque altra zona di Brillouin. In definitiva, si ha quindi che il numero di stati possibili è $N$ in ogni zona di Brillouin.
Ha senso perchè, come detto prima, ogni zona di Brillouin sarà caratterizzata dai suoi $N$ possibili stati, ed inoltre a seconda del valore di $k$ che si considera, l'energia avrà un valore diverso. Per esempio ad un $k$ preso nella seconda zona di Brillouin sarà associato un valore di energia maggiore rispetto a quello relativo ad un $k$ nella prima zona. In particolare si trova che ogni zona di Brillouin ha una sua banda di valori possibili di energia, e che le varie bande sono separate da un certo gap.
"Ianero":
Ciò che ho ottenuto subito imponendo la condizione di Born-Von-Karman è che i vettori d'onda possibili sono \(\displaystyle N \) e che il range in cui variano è da \(\displaystyle 0 \) fino a \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \), o equivalentemente da \(\displaystyle -\frac{ \pi}{L} \) fino a \(\displaystyle \frac{ \pi}{L} \).
Ciò che imponi con la condizione al contorno di Born-Von-Karman è che $\psi (0)=\psi (x+NL)$, per cui deve risultare
$\psi(0)=e^{ikNL}\psi(0)\Rightarrow e^{ikNL}=1\Rightarrow kNL=2p\pi $
dove $p$ è un valore intero. Si ha quindi che $k=\frac {2p\pi }{NL}$. Ora, consideriamo per esempio la prima zona di Brillouin. Questa è compresa tra $k=-\pi /L$ e $k=\pi /L$ a cui corrispondono rispettivamente i valori $p=-\frac {N}{2}$ e $p=\frac {N}{2}$. Pertanto, ciò che si trova è che ci sono $N/2+N/2=N$ stati possibili nella prima zona di Brillouin. Ma questo stesso risultato lo si trova facilmente anche per qualunque altra zona di Brillouin. In definitiva, si ha quindi che il numero di stati possibili è $N$ in ogni zona di Brillouin.
"Ianero":
Che senso ha allora parlare di zone di Brillouin diverse dalla prima? Equivarrebbe a prendere \(\displaystyle p+N \) al posto di \(\displaystyle p \), oppure \(\displaystyle p+2N \), e così via... Ma se ho già trovato la restrizione \(\displaystyle p \in \left \{ 0,1,...,N-1 \right \} \) perché mai dovrei violarla? E facendolo che vantaggi ne trovo?
Mi sembra un complicarsi la vita andando a mettere in mezzo soluzioni ripetitive senza senso.
Ha senso perchè, come detto prima, ogni zona di Brillouin sarà caratterizzata dai suoi $N$ possibili stati, ed inoltre a seconda del valore di $k$ che si considera, l'energia avrà un valore diverso. Per esempio ad un $k$ preso nella seconda zona di Brillouin sarà associato un valore di energia maggiore rispetto a quello relativo ad un $k$ nella prima zona. In particolare si trova che ogni zona di Brillouin ha una sua banda di valori possibili di energia, e che le varie bande sono separate da un certo gap.
Ciao albireo e grazie di essere intervenuto.
Risolvendo l'equazione di Shröedinger indipendente dal tempo per il potenziale di Kröenig-Penney e imponendo le condizioni al contorno sulla \(\displaystyle \psi(x) \) (continuità nei punti di discontinuità del potenziale periodico) si ottiene una complicata espressione che può essere riassunta come segue:
\(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \)
Ciò significa che l'asse y è quantizzato (dentro \(\displaystyle [-1,1] \) ho \(\displaystyle N \) punti discreti). Se \(\displaystyle p \) lo faccio uscire fuori dall'intervallo \(\displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) comincerò a ricalcare quegli stessi \(\displaystyle N \) punti più volte.
Inoltre si vede anche che fissata una energia \(\displaystyle E_0 \) tra quelle ammesse, trovo il corrispondente \(\displaystyle p_0 \), ovvero il corrispondente vettore d'onda. Quindi avrò che l'autofunzione \(\displaystyle \psi(x) \) associata all'autovalore \(\displaystyle E_0 \) di \( \displaystyle \widehat{H}\) sarà anche quella associata all'autovalore \(\displaystyle e^{\text{i} \frac{2 \pi p_0}{N}} \) di \( \displaystyle \widehat{T} \), giusto questo?
Ma avrei potuto anche scegliere una energia maggiore (in una delle bande successive di energie permesse) \(\displaystyle E_1 \) corrispondente allo stesso \(\displaystyle p_0 \) di prima. Quindi fissato \(\displaystyle p_0 \) (cioè preso in considerazione un autovalore di \( \displaystyle \widehat{T} \) ) esistono infiniti autovalori di \( \displaystyle \widehat{H} \) differenti, tali che le autofunzioni ad essi associate sono tutte autofunzioni anche di \( \displaystyle \widehat{T} \) corrispondenti tutte allo stesso autovalore \(\displaystyle e^{\text{i} \frac{2 \pi p_0}{N}} \).
Se questo che ho scritto è corretto, non vedo come mai facendo uscire \(\displaystyle p \) da \(\displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) si trovino energie maggiori. Anzi, a me pare che invece sia possibile il contrario, ovvero 'muovere' le varie energie riuscendo a mantenere \(\displaystyle p \) costante, sempre dentro \(\displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \).
Scusami se ho detto delle cretinate e grazie dell'aiuto.
Per esempio ad un k preso nella seconda zona di Brillouin sarà associato un valore di energia maggiore rispetto a quello relativo ad un k nella prima zona. In particolare si trova che ogni zona di Brillouin ha una sua banda di valori possibili di energia, e che le varie bande sono separate da un certo gap.
Risolvendo l'equazione di Shröedinger indipendente dal tempo per il potenziale di Kröenig-Penney e imponendo le condizioni al contorno sulla \(\displaystyle \psi(x) \) (continuità nei punti di discontinuità del potenziale periodico) si ottiene una complicata espressione che può essere riassunta come segue:
\(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \)
Ciò significa che l'asse y è quantizzato (dentro \(\displaystyle [-1,1] \) ho \(\displaystyle N \) punti discreti). Se \(\displaystyle p \) lo faccio uscire fuori dall'intervallo \(\displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) comincerò a ricalcare quegli stessi \(\displaystyle N \) punti più volte.
Inoltre si vede anche che fissata una energia \(\displaystyle E_0 \) tra quelle ammesse, trovo il corrispondente \(\displaystyle p_0 \), ovvero il corrispondente vettore d'onda. Quindi avrò che l'autofunzione \(\displaystyle \psi(x) \) associata all'autovalore \(\displaystyle E_0 \) di \( \displaystyle \widehat{H}\) sarà anche quella associata all'autovalore \(\displaystyle e^{\text{i} \frac{2 \pi p_0}{N}} \) di \( \displaystyle \widehat{T} \), giusto questo?
Ma avrei potuto anche scegliere una energia maggiore (in una delle bande successive di energie permesse) \(\displaystyle E_1 \) corrispondente allo stesso \(\displaystyle p_0 \) di prima. Quindi fissato \(\displaystyle p_0 \) (cioè preso in considerazione un autovalore di \( \displaystyle \widehat{T} \) ) esistono infiniti autovalori di \( \displaystyle \widehat{H} \) differenti, tali che le autofunzioni ad essi associate sono tutte autofunzioni anche di \( \displaystyle \widehat{T} \) corrispondenti tutte allo stesso autovalore \(\displaystyle e^{\text{i} \frac{2 \pi p_0}{N}} \).
Se questo che ho scritto è corretto, non vedo come mai facendo uscire \(\displaystyle p \) da \(\displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) si trovino energie maggiori. Anzi, a me pare che invece sia possibile il contrario, ovvero 'muovere' le varie energie riuscendo a mantenere \(\displaystyle p \) costante, sempre dentro \(\displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \).
Scusami se ho detto delle cretinate e grazie dell'aiuto.
Sempre a proposito di questo:
riporto una citazione dal libro che sto leggendo: Quantum Mechanics - Bransden Joachain - 2nd ed.
The wave function \(\displaystyle \psi(x) \), as well as the corresponding energy \(\displaystyle E \), are unchanged if \(\displaystyle K \) is increased or decreased by an integral multiple of \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \). We may therefore, without any loss of generality, assume that \(\displaystyle K \) is confined within a given interval of length \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \), for example the interval \(\displaystyle \left[ -\frac{\pi }{L}, \frac{\pi }{L} \right]\).
Il suo \(\displaystyle K \) è ancora $\frac {2\pi p}{NL} $.
ad un k preso nella seconda zona di Brillouin sarà associato un valore di energia maggiore rispetto a quello relativo ad un k nella prima zona.
riporto una citazione dal libro che sto leggendo: Quantum Mechanics - Bransden Joachain - 2nd ed.
The wave function \(\displaystyle \psi(x) \), as well as the corresponding energy \(\displaystyle E \), are unchanged if \(\displaystyle K \) is increased or decreased by an integral multiple of \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \). We may therefore, without any loss of generality, assume that \(\displaystyle K \) is confined within a given interval of length \(\displaystyle \frac{2 \pi}{L} \), for example the interval \(\displaystyle \left[ -\frac{\pi }{L}, \frac{\pi }{L} \right]\).
Il suo \(\displaystyle K \) è ancora $\frac {2\pi p}{NL} $.
Aspetta un momento...ho dato una veloce occhiata a quelle pagine del libro che hai citato e a me sembra da una parte che tu abbia frainteso, e dall'altra che ci sia un refuso nel libro (ma posso benissimo sbagliarmi). Allora
A questo punto del libro, l'autore non ha ancora introdotto le condizioni al contorno periodiche che fanno sì che l'insieme dei possibili valori di $k$ sia discreto (vengono introdotte subito dopo). Quindi in quel grafico non c'è niente di quantizzato, tutte le quantità sono ancore continue (ed infatti anche nei passaggi precedenti non mi sembra che ci sia qualche grandezza discreta), mentre tu stai già dicendo che per $F(E)$ sono possibili solo $N$ valori...questo è ciò che secondo me hai frainteso.
Veniamo ora a quello che secondo me è un refuso del testo
Guardando quella pagina del testo, la frase comincia con "we see from $(4.199)$, $(4.207)$ and $(4.208)$ that the wave function ..." e poi quello che hai citato tu. Ora, dalla $(4.199)$ si vede giustamente che la funzione d'onda non cambia se si cambia $K$ di un valore intero di $\frac {2\pi}{l}$, e questo per via della simmetria della situazione; ma dalla $(4.207)$ e dalla $(4.208)$, cioè in pratica dalla formula $F(E)=cos(Kl)$, ciò che si evince è che, al variare di $K$ di un valore intero di $\frac {2\pi }{l}$, è la quantità $F(E)=cos(Kl)$ che non cambia, non $E$.
"Ianero":
Risolvendo l'equazione di Shröedinger indipendente dal tempo per il potenziale di Kröenig-Penney e imponendo le condizioni al contorno sulla \( \displaystyle \psi(x) \) (continuità nei punti di discontinuità del potenziale periodico) si ottiene una complicata espressione che può essere riassunta come segue:
\( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \)
Ciò significa che l'asse y è quantizzato (dentro \( \displaystyle [-1,1] \) ho \( \displaystyle N \) punti discreti). Se \( \displaystyle p \) lo faccio uscire fuori dall'intervallo \( \displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) comincerò a ricalcare quegli stessi \( \displaystyle N \) punti più volte.
A questo punto del libro, l'autore non ha ancora introdotto le condizioni al contorno periodiche che fanno sì che l'insieme dei possibili valori di $k$ sia discreto (vengono introdotte subito dopo). Quindi in quel grafico non c'è niente di quantizzato, tutte le quantità sono ancore continue (ed infatti anche nei passaggi precedenti non mi sembra che ci sia qualche grandezza discreta), mentre tu stai già dicendo che per $F(E)$ sono possibili solo $N$ valori...questo è ciò che secondo me hai frainteso.
Veniamo ora a quello che secondo me è un refuso del testo
"Ianero":
riporto una citazione dal libro che sto leggendo: Quantum Mechanics - Bransden Joachain - 2nd ed.
The wave function \( \displaystyle \psi(x) \), as well as the corresponding energy \( \displaystyle E \), are unchanged if \( \displaystyle K \) is increased or decreased by an integral multiple of \( \displaystyle \frac{2 \pi}{L} \). We may therefore, without any loss of generality, assume that \( \displaystyle K \) is confined within a given interval of length \( \displaystyle \frac{2 \pi}{L} \), for example the interval \( \displaystyle \left[ -\frac{\pi }{L}, \frac{\pi }{L} \right] \).
Il suo \( \displaystyle K \) è ancora $ \frac {2\pi p}{NL} $.
Guardando quella pagina del testo, la frase comincia con "we see from $(4.199)$, $(4.207)$ and $(4.208)$ that the wave function ..." e poi quello che hai citato tu. Ora, dalla $(4.199)$ si vede giustamente che la funzione d'onda non cambia se si cambia $K$ di un valore intero di $\frac {2\pi}{l}$, e questo per via della simmetria della situazione; ma dalla $(4.207)$ e dalla $(4.208)$, cioè in pratica dalla formula $F(E)=cos(Kl)$, ciò che si evince è che, al variare di $K$ di un valore intero di $\frac {2\pi }{l}$, è la quantità $F(E)=cos(Kl)$ che non cambia, non $E$.
Dopo aver applicato tutte le condizioni al contorno, inclusa quella ciclica di Born-Von-Karman, mi ritrovo questa condizione per le energie ammissibili:
\( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \)
Qui siamo d'accordo?
Fissato \(\displaystyle p \), tutte le \(\displaystyle E \) che la soddisfano sono le energie che il sistema può avere.
Mi occorreranno dunque 2 indici per catalogare tutte le energie (e quindi tutte le autofunzioni): \(\displaystyle E_{p,n} \).
Il motivo è questo:
[fcd][FIDOCAD]
LI 70 15 70 75 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 35 45 188 45 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
CV 0 30 15 35 35 40 65 44 74 47 70 53 49 58 26 60 19 64 15 70 25 75 40 80 53 86 63 93 68 103 59 117 35 128 24 137 19 154 21 171 42 178 62 177 63 178 63 0
LI 25 30 185 30 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 25 60 185 60 0
FCJ 0 0 3 1 1 0
TY 63 24 4 3 0 0 0 * +1
TY 63 62 4 3 0 0 0 * -1
TY 195 45 4 3 0 0 0 * E
TY 70 5 4 3 0 0 0 * F(E)
LI 25 55 180 55 2
LI 25 40 180 40 11[/fcd]
Fissato un \(\displaystyle p \) (linea blu), ho infinite energie corrispondenti (tutti i punti di intersezione tra la linea blu e la curva \(\displaystyle F(E) \) in nero).
Fisso un altro \(\displaystyle p \) (linea rossa) ed ho altre infinite energie.
Quanti \(\displaystyle p \) diversi posso fissare? \(\displaystyle N \). In particolare scelgo di far variare \(\displaystyle p \) nell'intervallo \( \displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \).
Ora che io fisso \(\displaystyle p=N \) (uscendo quindi dall'intervallo \( \displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) ) che ho ottenuto? Nulla, ciò che trovo sono tutte le energie che avevo già trovato ponendo \(\displaystyle p=0 \), e sono le infinite \(\displaystyle E_{0,n} \).
Poi:
Qui non mi trovo, basta vedere il grafico, mica è una costante?
Grazie ancora.
\( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \)
Qui siamo d'accordo?
Fissato \(\displaystyle p \), tutte le \(\displaystyle E \) che la soddisfano sono le energie che il sistema può avere.
Mi occorreranno dunque 2 indici per catalogare tutte le energie (e quindi tutte le autofunzioni): \(\displaystyle E_{p,n} \).
Il motivo è questo:
[fcd][FIDOCAD]
LI 70 15 70 75 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 35 45 188 45 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
CV 0 30 15 35 35 40 65 44 74 47 70 53 49 58 26 60 19 64 15 70 25 75 40 80 53 86 63 93 68 103 59 117 35 128 24 137 19 154 21 171 42 178 62 177 63 178 63 0
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TY 195 45 4 3 0 0 0 * E
TY 70 5 4 3 0 0 0 * F(E)
LI 25 55 180 55 2
LI 25 40 180 40 11[/fcd]
Fissato un \(\displaystyle p \) (linea blu), ho infinite energie corrispondenti (tutti i punti di intersezione tra la linea blu e la curva \(\displaystyle F(E) \) in nero).
Fisso un altro \(\displaystyle p \) (linea rossa) ed ho altre infinite energie.
Quanti \(\displaystyle p \) diversi posso fissare? \(\displaystyle N \). In particolare scelgo di far variare \(\displaystyle p \) nell'intervallo \( \displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \).
Ora che io fisso \(\displaystyle p=N \) (uscendo quindi dall'intervallo \( \displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) ) che ho ottenuto? Nulla, ciò che trovo sono tutte le energie che avevo già trovato ponendo \(\displaystyle p=0 \), e sono le infinite \(\displaystyle E_{0,n} \).
Poi:
Cioè, al variare di E, è F(E) che assumerà sempre gli stessi valori.
Qui non mi trovo, basta vedere il grafico, mica è una costante?
Grazie ancora.
"Ianero":
Dopo aver applicato tutte le condizioni al contorno, inclusa quella ciclica di Born-Von-Karman, mi ritrovo questa condizione per le energie ammissibili:
\( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \)
Qui siamo d'accordo?
D'accordo.
"Ianero":
Fissato p, tutte le E che la soddisfano sono le energie che il sistema può avere.
No, non è proprio così. Stai fissando $F(E)=cos(Kl)=cos(\frac {2\pi p}{N})$, non $p$. Prendendo $p$ diversi di una quantità pari a $nN$ con $n$ intero, cioè prendendo $p'=p+ nN$ troverai lo stesso valore di $F(E)$. Infatti in questo caso avrai
$cos(\frac {2\pi p'}{N})=cos(\frac {2\pi p}{N}+2n\pi)=cos(\frac {2\pi p}{N})=F(E)$.
"Ianero":
Fissato un \(\displaystyle p \) (linea blu), ho infinite energie corrispondenti (tutti i punti di intersezione tra la linea blu e la curva \(\displaystyle F(E) \) in nero).
Fisso un altro \(\displaystyle p \) (linea rossa) ed ho altre infinite energie.
Come prima, non è così perchè, ripeto, stai fissando $F(E)=cos(Kl)$ e non $p$ e questo significa che il primo punto di intersezione tra la linea blu e la curva $F(E)$ in nero corrisponderà a $p$, il secondo a $p+N$, e così via. Quindi si vede che all'aumentare di $p$ (e quindi di $K$), le intersezioni avvengono ad energie via via crescenti.
"Ianero":
Quanti \(\displaystyle p \) diversi posso fissare? \(\displaystyle N \).
Non proprio, per essere precisi ribadisco ancora che ne puoi fissare $N$ in ogni zona di Brillouin.
"Ianero":
Ora che io fisso \(\displaystyle p=N \) (uscendo quindi dall'intervallo \( \displaystyle \left[ -\frac{N}{2} , \frac{N}{2}\right] \) ) che ho ottenuto? Nulla, ciò che trovo sono tutte le energie che avevo già trovato ponendo \(\displaystyle p=0 \), e sono le infinite \(\displaystyle E_{0,n} \).
Alla luce di quanto appena detto, dovrebbe essere chiaro che se prendi $p$ al di fuori dell'intervallo $[-\frac {N}{2}, \frac {N}{2}]$ avrai un altro punto di intersezione che corrisponderà ad una energia maggiore.
"Ianero":
Cioè, al variare di E, è F(E) che assumerà sempre gli stessi valori.Qui non mi trovo, basta vedere il grafico, mica è una costante?
Lì ho sbagliato a scrivere, volevo dire al variare di $K$ di un valore intero di $\frac {2\pi}{L}$, non al variare di $E$.
Buon anno nuovo.
Scusami ma non riesco proprio a capire come mai dici che sto fissando prima \(\displaystyle F(E) \), e poi di conseguenza ricavo \(\displaystyle p \). O ho capito male io?
Quello che voglio dire è che partendo da \( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \), ovvero da:
\( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi }{N} p \right )=F(E) \)
io devo andare a vedere quando \(\displaystyle F(E) \) è uguale a tutti quei valori possibili (\(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi }{N} p \right ) \)) che si ottengono muovendo \(\displaystyle p \), no?
A me pare naturale (sapendo già da Born-Von-Karman quali devono essere i valori di \(\displaystyle p \)) prendere un \(\displaystyle p \) alla volta tra quelli possibili e vedere quando \(\displaystyle F(E) \) è uguale a \(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi }{N} p \right ) \)
Se ho interpretato bene quello che mi hai scritto al messaggio precedente questo che ho detto è sbagliato, ma non vedo proprio il motivo. Perché mai dovrei fare al contrario? Cioè fissare \(\displaystyle F(E) \) a un certo valore e poi vedere i \(\displaystyle p \) che soddisfano l'uguaglianza?
Scusami ma non riesco proprio a capire come mai dici che sto fissando prima \(\displaystyle F(E) \), e poi di conseguenza ricavo \(\displaystyle p \). O ho capito male io?
Quello che voglio dire è che partendo da \( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi p}{NL} \cdot L \right )=F(E) \), ovvero da:
\( \displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi }{N} p \right )=F(E) \)
io devo andare a vedere quando \(\displaystyle F(E) \) è uguale a tutti quei valori possibili (\(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi }{N} p \right ) \)) che si ottengono muovendo \(\displaystyle p \), no?
A me pare naturale (sapendo già da Born-Von-Karman quali devono essere i valori di \(\displaystyle p \)) prendere un \(\displaystyle p \) alla volta tra quelli possibili e vedere quando \(\displaystyle F(E) \) è uguale a \(\displaystyle \cos\left ( \frac{2\pi }{N} p \right ) \)
Se ho interpretato bene quello che mi hai scritto al messaggio precedente questo che ho detto è sbagliato, ma non vedo proprio il motivo. Perché mai dovrei fare al contrario? Cioè fissare \(\displaystyle F(E) \) a un certo valore e poi vedere i \(\displaystyle p \) che soddisfano l'uguaglianza?
"Ianero":
Buon anno nuovo.
Scusami ma non riesco proprio a capire come mai dici che sto fissando prima \( \displaystyle F(E) \), e poi di conseguenza ricavo \( \displaystyle p \). O ho capito male io?
Ciao e buon anno anche a te. Non hai capito male: è semplicemente perché il grafico che hai riportato rappresenta $F(E)$ in funzione di $E$, quindi le linee orizzontali che hai disegnato sono le rette $F(E)=\text{cost}$. Siamo d‘accordo su questo?
"Ianero":
Se ho interpretato bene quello che mi hai scritto al messaggio precedente questo che ho detto è sbagliato, ma non vedo proprio il motivo. Perché mai dovrei fare al contrario? Cioè fissare \( \displaystyle F(E) \) a un certo valore e poi vedere i \( \displaystyle p \) che soddisfano l'uguaglianza?
Per il motivo che ho appena detto. Facciamo un esempio con valori a caso. Prendi una retta orizzontale che hai disegnato: questa per esempio corrisponderà a $F(E)=0.7$. Allora gli stati che soddisfano questa condizione saranno dati dall'intersezione di questa retta con la curva $F(E)= \cos ( \frac {2\pi p}{N})$, cioè saranno quelli per cui $F(E)\equiv \cos ( \frac {2\pi p}{N})=0.7$. Questa condizione si verificherà per esempio per $p=2$ che rappresenta un dato punto di intersezione tra la retta orizzontale $F(E)=0.7$ e la curva $F(E)=cos ( \frac {2\pi p}{N})$ nella prima zona di Brillouin . Il punto di intersezione nella seconda zona di Brillouin corrisponderà a $p'=2+N$ perché come ho scritto prima quel coseno rimane invariato, e così via. Quindi ricapitolando abbiamo fissato un particolare valore di $F(E)$, cioè $F(E)=0.7$ e abbiamo visto che ci sono diversi valori di $p$ che realizzano questa condizione. Non so se mi sono spiegato, non saprei come dirlo diversamente...
Aspetta, forse ho capito. Tu dici giustamente che siccome non tutti i possibili valori di $F(E)$ sono possibili, bisogna partire fissando inizialmente il valore di $p$. Prendiamo per esempio $p=2$. A questo $p$ corrisponderà un certo valore di $F(E)$, per esempio $F(E)=0.7$. A questo punto, però, vediamo che in base al grafico ci sono diversi valori di $E$ (e quindi di $p$, visto che $F(E)=\cos (\frac {2\pi p}{N})$) che corrispondono a $F(E)=0.7$. Consideriamo quindi sul grafico la retta orizzontale corrispondente a $F(E)=0.7$ e valutiamo quali sono tutti i punti di intersezione con la curva. Il valore $p=2$ corrisponderà in particolare ad un punto di intersezione nella prima zona di Brillouin. Gli altri punti di intersezione sono tutti quei punti per cui $p'=p+nN$ perchè $\cos (\frac {2\pi p'}{N})=\cos (\frac {2\pi p}{N}+2n\pi)=\cos(\frac {2\pi p}{N})$. Questi corrisponderanno a punti di intersezione nelle altre zone di Brillouin che quindi, in base al grafico, avranno energie $E$ via via crescenti. Va meglio ora?
"albireo":
Prendiamo per esempio p=2. A questo p corrisponderà un certo valore di F(E), per esempio F(E)=0.7. A questo punto, però, vediamo che in base al grafico ci sono diversi valori di E
Perfetto.
"albireo":
e quindi di \(\displaystyle p \), visto che $F(E)=\cos (\frac {2\pi p}{N})$
Questo è ciò che non capisco proprio.
\(\displaystyle p=2 \Rightarrow F(E)=0.7 \Rightarrow E=-1, 3, 12, 46, ..., \infty\) (numeri a caso)
In altre parole, il fatto che \(\displaystyle F(E)=\cos (\frac {2\pi p}{N}) \) mica implica che passando da \(\displaystyle p=2 \) a \(\displaystyle p=2+N \) passo dal prendere E=-1 al prendere E=3, oppure ancora E=12, e così via...
L'unica cosa che implica è invece che che passando da \(\displaystyle p=2 \) a \(\displaystyle p=2+N \) ottengo lo stesso \(\displaystyle F(E) \) di prima.
Con \(\displaystyle p=2 \) già le ho prese tutte (le energie corrispondenti a \(\displaystyle F(E)=0.7 \)) poiché \(\displaystyle p=2 \) impone \(\displaystyle F(E)=0.7 \), che impone \(\displaystyle E=-1,3,12,46, ... \).
Ok, penso di aver capito cosa ti sfugge. Secondo me ciò che non hai ben chiaro è che se tu risolvessi le equazioni per l'energia date in forma implicita nel testo che hai citato (le formule $(4.207)$ e $(4.208)$) troveresti proprio una funzione $E(K)$. In particolare, la rappresentazione di questa funzione in un grafico $E$ in funzione di $K$ fornirebbe il tipico andamento in cui i valori dell'energia seguono la parabola che rappresenta l'energia di un elettrone libero per $K$ lontano dagli estremi delle zone di Brillouin, discostandosene tendendo ad appiattirsi per $K$ vicino a tali estremi e presentando infine delle discontinuità per $K$ uguale ai valori degli estremi delle zone di Brillouin. Quello che voglio dire, se non è ancora chiaro, è che si ha proprio una funzione $E(K)$ che ad ogni $K$ associa il suo valore di $E$. Quindi, la successione logica non è quella che hai scritto tu
ma piuttosto (sempre con numeri a caso e unità arbitrarie)
$p=2\Rightarrow K=\frac {2\pi\cdot 2 }{NL} \Rightarrow E(K)=10 \Rightarrow F(E)=0.7$
$p=2+N\Rightarrow K=(\frac {2\pi \cdot 2}{NL}+\frac {2\pi}{L}) \Rightarrow E(K)=15 \Rightarrow F(E)=0.7$
ecc. Ci siamo ora?
"Ianero":
\( \displaystyle p=2 \Rightarrow F(E)=0.7 \Rightarrow E=-1, 3, 12, 46, ..., \infty \) (numeri a caso)
ma piuttosto (sempre con numeri a caso e unità arbitrarie)
$p=2\Rightarrow K=\frac {2\pi\cdot 2 }{NL} \Rightarrow E(K)=10 \Rightarrow F(E)=0.7$
$p=2+N\Rightarrow K=(\frac {2\pi \cdot 2}{NL}+\frac {2\pi}{L}) \Rightarrow E(K)=15 \Rightarrow F(E)=0.7$
ecc. Ci siamo ora?
Yes!
Grazie mille
Grazie mille
Ole' 
Di niente, anzi è servito anche a me per approfondire questo argomento e schiarirmi maggiormente le idee a riguardo 
Di niente, anzi è servito anche a me per approfondire questo argomento e schiarirmi maggiormente le idee a riguardo
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