Zeeman + spin-orbita

[sgrisolo]

Ho un dubbio che mi tormenta...

Ho visto come per l'effetto zeeman sia utile rappresentare con il set di numeri quantici che discende dalle variabili commutanti: ${l,s,m_l,m_s}$ la situazione poiché l'interazione crea uno split a seconda del valore ml.
La spettroscopia infatti ci regala uno split dello spettrogramma ottenuto.

Altresì è comoda la rappresenzaione data dal set ${j,m_j,l,s}$ per lo spin-orbita. In tal caso è anche inutile parlare di ml poiché non è ben definito data la non commutazione di $L_z$ con le restanti quantità.
Anche qui la separazione è ben visibile per l'accoppiamento spin e campo B "orbitale", e avrò righe spettali distinte analizzando l'emissione atomica.

Ma da qui il dubbio: lo spin-orbita è un effetto sicuramente sempre presente, ma se accendo un campo esterno B (zeeman) come tratto i due fenomeni? Se uso una rappresentazione non riesco a rendere conto dell'atro effetto eppure essi vivono in contemporanea. Questo dubbio mi affligge D:

Tra l'altro un dubbio simile l'ho anche per:

Inizialmente lo spettro di emissione di un atomo di idrogeno, ad esempio, viene mostrato sfruttando il set di numeri quantici che discende dalle variabili commutanti: ${l,s,m_l,m_s}$ e i grafici di grotrian sembrano coincidere con quanto si vede sperimentalmente sottostando alla regola di approssimazione di dipolo $Deltam_l=0,+-1$

Salvo poi scoprire che c'è una struttura più fine delle linee spettrali dovute ad esempio allo spin orbita, qui conviene usare ${j,m_j,l,s}$. Ebbene in tal caso ho altre regole, ad esempio $Deltam_j=(0),+-1$. E abbiamo uno split spettrale su quello che prima era l'orbitale p, ora ho due linee a seconda se parto da: $P_(1/2)$ o $P_(3/2)$.

Da qui il dubbio: se io guardo con uno strumento poco potente vedo quello che modellizzo con ${l,s,m_l,m_s}$ ma se guardo con uno più potente allora devo sfruttare la base ${j,m_j,l,s}$. Ma questa cosa mi lascia un po' perplesso perché di fatto la natura è univoca, quindi o l'una o l'altra sono quelle corrette.
Di fatto quindi dovrei poter "inglobare" la descrizione più spiccola data da ${l,s,m_l,m_s}$ in quella data da ${j,m_j,l,s}$. ma non riesco bene a vedere come.

Qualcuno sa darmi una mano?

[Lampo1089]

Da qui il dubbio: se io guardo con uno strumento poco potente vedo quello che modellizzo con {l,s,ml,ms} ma se guardo con uno più potente allora devo sfruttare la base {j,mj,l,s}. Ma questa cosa mi lascia un po' perplesso perché di fatto la natura è univoca, quindi o l'una o l'altra sono quelle corrette.

Vedila così: ovviamente l'Hamiltoniana esatta contiene l'effetto di tutte le interazioni (attrazione protone-elettrone, interazione spin-orbita, correzioni all'energia cinetica non relativistica ... ) e tutte queste assieme determinano lo spettro in energia.
Fortunatamente per noi, possiamo sfruttare il fatto che solo alcune (la prima interazione) sono molto più intense delle altre, per cui possiamo studiare l'effetto in maniera perturbativa.
Inoltre, non è detto nemmeno che nel modello vengano introdotti tutte le interazioni possibili (eg anche il nucleo possiede dei gradi di libertà, lo spin, e un momento magnetico che interagisce con il momento magnetico degli elettroni dando luogo alla struttura iperfine - che è un effetto ancora più piccino della struttura fine, ma comunque esistente ...)

Ritornando al tuo esempio, il punto è che nessuna delle due descrizioni è, in termini assoluti, corretta.
Se decidi di usare un modello che considera la sola interazione protone-elettrone, lo fai perché sai che le altre interazioni presenti sono trascurabili per i tuoi scopi: in questo modo ritrovi nel modello lo spettro energetico con degenerazione n^2 per livello (che ovviamente non è così in natura, ma è compatibile con l'assunzione fatta a priori).

Se invece decidi di considerare l'effetto della perturbazione spin-orbita - magari perché osservi transizioni energetiche con una migliore risoluzione -, risolvi il nuovo modello dove gli autostati corretti saranno quelli del momento angolare totale dell'elettrone e dove i livelli "imperturbati" si splittano rendendo conto della struttura fine osservata.

In termini assoluti, è corretta la prima o la seconda? Per quanto detto prima, nessuna delle due. Tutte e due hanno ben definiti limiti di validità (in soldoni, dipende da quanto vuoi essere accurato), ma in nessuno dei due casi né lo spettro energetico né gli autostati di energia sono quelli "esatti" della Natura.

[Lampo1089]

Ma da qui il dubbio: lo spin-orbita è un effetto sicuramente sempre presente, ma se accendo un campo esterno B (zeeman) come tratto i due fenomeni? Se uso una rappresentazione non riesco a rendere conto dell'atro effetto eppure essi vivono in contemporanea. Questo dubbio mi affligge D:

Dipende dalla situazione in esame. Tipicamente uno dei due effetti è dominante rispetto all'altro. In questa situazione quindi uno dei due è inglobabile nell'hamiltoniana imperturbata e l'altro è trattabile come perturbazione per cui:
1) spin orbita dominante rispetto a campo B (limite Zeeman): H imperturbata comprende l'interazione spin-orbita, gli autostati dell'energia di ordine zero sono quelli momento angolare totale, e quindi tratti come perturbazione il campo esterno B
2) l'interazione con il campo esterno B è molto più intenso rispetto a spin-orbita (limite di Paschen-Back), il caso opposto

Nel caso intermedio, in cui le due interazioni abbiano lo stesso ordine di grandezza, l'approccio perturbativo non funziona e quindi auguri

[sgrisolo]

Grazie per la spiegazione.

Riprendendo in considerazione

Da qui il dubbio: se io guardo con uno strumento poco potente vedo quello che modellizzo con {l,s,ml,ms} ma se guardo con uno più potente allora devo sfruttare la base {j,mj,l,s}. Ma questa cosa mi lascia un po' perplesso perché di fatto la natura è univoca, quindi o l'una o l'altra sono quelle corrette.

Mi sembra di capire la tua risposta, ma c'è un piccolo punto che mi sfugge, di fatto storicamente mi pare di capire che inizialmente si vedeva ciò che modellizzo con {l,s,ml,ms}, ma poi per giustificare la struttura più fine che viene evidenziata da strumenti più accurati devo sfruttare {j,mj,l,s}.
Però a questo punto allora mi dico: {j,mj,l,s} deve "contenere" in un certo limite di per principio di corrispondenza quanto trovo con {l,s,ml,ms}: il modello più preciso deve contenere quello più impreciso.
Però non capisco come unificare le due cose, non mi sembra di trovare le stesse righe spettrali in {j,mj,l,s} vs {l,s,ml,ms} (anche "compattando" certe righe, cioè fingendo peggior precisione proprio perché uso basi diverse da cui faccio partire le righe nel diagramma di grotrian).

[Lampo1089]

Però a questo punto allora mi dico: {j,mj,l,s} deve "contenere" in un certo limite di per principio di corrispondenza quanto trovo con {l,s,ml,ms}: il modello più preciso deve contenere quello più impreciso.

Lo riproduce nel limite "artificioso" di perturbazione (es spin-orbita) "spenta".

[sgrisolo]

Sì certo chiaro, artificioso. Però voglio dire nei primi anni e studi pionieristici della spettroscopia si vedevano in effetti solo quelle linee (poiché il resto cadeva sotto la precisione strumentale).

Però il fatto è che non mi tornava dal grafico di grotrian, cioè non riesco a vedere come far combaciare le "visioni" spegnendo spin-orbita ma rimanendo in {j,mj,l,s}. Ora non ho sotto mano il grafico quindi andavo a memoria di quello che mi ero creato, però quanto avevo postato il messaggio l'altro giorno mi pareva non tornare.

Forse un esempio chiarisce meglio:
in LS se guardo le transizioni da 2p a 1s sono:
da $m_l=-1$ di 2p a $m_l=0$ di 1s
da $m_l=0$ di 2p a $m_l=0$ di 1s
da $m_l=+1$ di 2p a $m_l=0$ di 1s
quindi avrei 6 transizioni possibili giusto? (anche perché non credo che se parte da spin up possa rilassare a spin down sbaglio? quindi up finisce in up e down in down ma non up in down e viceversa)

in LJ ho invece:
da $m_j=-1/2$ di $2p_(1/2)$ a $m_j=-1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=-1/2$ di $2p_(1/2)$ a $m_j=+1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=+1/2$ di $2p_(1/2)$ a $m_j=-1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=+1/2$ di $2p_(1/2)$ a $m_j=+1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=-3/2$ di $2p_(3/2)$ a $m_j=-1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=-1/2$ di $2p_(3/2)$ a $m_j=-1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=+1/2$ di $2p_(3/2)$ a $m_j=-1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=-1/2$ di $2p_(3/2)$ a $m_j=+1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=+1/2$ di $2p_(3/2)$ a $m_j=+1/2$ di $1s_(1/2)$
da $m_j=+3/2$ di $2p_(3/2)$ a $m_j=+1/2$ di $1s_(1/2)$

quindi ho notevolmente in più transizioni possibili, e non racchiudono le precedenti, invece mi aspetterei di si dato che uno è uno spettro più grossolano e questo invece quello più fine (quindi un sottocaso dovrebbe essere contenuto in questo più generico)

[sgrisolo]

@Lampo1089 ho provato a rieditare meglio la domanda.