Vincolo di puro rotolamento
Buongiorno a tutti,
vi scrivo perché non mi è chiaro il vincolo di puro rotolamento.
Supponiamo di avere un piano cartesiano in tre dimensioni, di versori ${\bbe_1,\bbe_2,\bbe_3}$.
Supponiamo inoltre che un disco possa rotolare, senza strisciare, lungo una guida rettilinea posta sul piano $z=0$, tale che formi (la guida) un angolo $\theta$ con la direzione $\bbe_1$. Chiamiamo $R$ il raggio del disco e indichiamo con $s$ la coordinata libera relativa alla distanza dal centro del disco all'asse $z$.
Qui di seguito ho postato un disegno per rendermi più chiaro.
Il mio problema sta fondamentalmente nel determinare una terna che sia solidale al disco.
In generale so che è conveniente scegliere una nuova terna in modo tale che il nuovo versore $\hat\bbe_3$ sia ortogonale al piano contenente il disco stesso. A questo punto io direi che una terna solidale è contraddistinta dalla velocità angolare:
ma questa relazione non tiene conto della velocità del punto di contatto del disco con la guida; so che la velocità del disco deve in qualche modo far parte della velocità angolare, ma non ho ben chiaro come fare.
Nelle soluzioni che ho io, scelta una terna "cappello" come quella in figura si ottiene:
ma non capisco perché.
Un grazie di cuore a chi saprà aiutarmi
vi scrivo perché non mi è chiaro il vincolo di puro rotolamento.
Supponiamo di avere un piano cartesiano in tre dimensioni, di versori ${\bbe_1,\bbe_2,\bbe_3}$.
Supponiamo inoltre che un disco possa rotolare, senza strisciare, lungo una guida rettilinea posta sul piano $z=0$, tale che formi (la guida) un angolo $\theta$ con la direzione $\bbe_1$. Chiamiamo $R$ il raggio del disco e indichiamo con $s$ la coordinata libera relativa alla distanza dal centro del disco all'asse $z$.
Qui di seguito ho postato un disegno per rendermi più chiaro.
Il mio problema sta fondamentalmente nel determinare una terna che sia solidale al disco.
In generale so che è conveniente scegliere una nuova terna in modo tale che il nuovo versore $\hat\bbe_3$ sia ortogonale al piano contenente il disco stesso. A questo punto io direi che una terna solidale è contraddistinta dalla velocità angolare:
$\bb\omega=\dot\theta\bbe_3$,
ma questa relazione non tiene conto della velocità del punto di contatto del disco con la guida; so che la velocità del disco deve in qualche modo far parte della velocità angolare, ma non ho ben chiaro come fare.
Nelle soluzioni che ho io, scelta una terna "cappello" come quella in figura si ottiene:
$\bb\omega=\dot\theta\bbe_3+\dot(s)/R\hat\bbe_3$,
ma non capisco perché.
Un grazie di cuore a chi saprà aiutarmi
Risposte
Ciao 
Sto preparando questo esame da un pò di giorni e credo di poter rispondere alla tua domanda.
Il vincolo di puro rotolamento supponiamo sia s=R \psi
Dove \psi è l'angolo di rotazione propria del disco. Dato che questo angolo ruoterà attorno all'asse e3 "cappello" ,sostituisci \psi con s/R derivato.
Sto preparando questo esame da un pò di giorni e credo di poter rispondere alla tua domanda.
Il vincolo di puro rotolamento supponiamo sia s=R \psi
Dove \psi è l'angolo di rotazione propria del disco. Dato che questo angolo ruoterà attorno all'asse e3 "cappello" ,sostituisci \psi con s/R derivato.
Ho risolto, ringrazio comunque valendjn 
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