Vincoli
Ciao ragazzi ho bisogni di un aiuto concettuale. Vorrei sapere se il mio approccio è giusto. Consideriamo il sistema in figura:
Discutere il moto.
--------------------
Allora per prima cosa figuro tutte le forze in gioco. La forza peso del blocco $m_1g$, la reazione vincolare del piano al blocco $R_n$, la tensione della stringa $T$. Scelgo un sistema di riferimento per il moto del primo blocco $xy$ e scompongo le forze nelle componenti $x$ e $y$.
Ora il secondo blocco. Agisce la forza peso $m_2g$ e la tensione della stringa che sappiamo essere sempre $T$ con l'ipotesi di stringa e carrucola ideali. Per questo secondo blocco scelgo un altro sistema $y'x'$ .
I vincoli con le relative equazioni vincolari sono:
$R_n$ $->$ $a_(1,y) = 0$
$T$ $->$ $a_(1,x) = a_(2,y')$
Le equazioni di Newton per il primo blocco:
$m_1 a_(1,x) = T - m_1 g sin \alpha$
$m_1 a_(1,y) = R_n - m_1 g cos \alpha$
Per il secondo:
$m_2 a_(2,x') = 0$
$m_2 a_(2,y') = T - m_2 g$
Ricavo:
$R_n = m_1 g cos\alpha$
Sottraggo la prima del secondo blocco dalla prima del primo blocco e uso l'eq vincolare seconda:
$(m_1 + m_2)a_(1,x) = (m_2 g - m_1 g sin\alpha)$
$a_(1,x)= (m_2 g - m_1 g sin\alpha)/(m_1 + m_2)$
dai cui si nota che, fissata la pendenza del piano, $a_(1,x) >0$ se e solo se:
$m_2 > m_1 sin\alpha$
Mentre fissate le masse, $a_(1,x) > 0$ se e solo se
$sin\alpha < m_2 / m_1$
che è sempre verificato se $m_2 > m_1$.
Ora mi chiedo, innanzitutto se è tutto giusto, ma principalmente se l'approccio è giusto, e in particolare se ho fatto una stupidaggine a considerare due sistemi di riferimento: il mio problema è stato quello di scrivere le equazioni vincolari, come facevo con un sistema solo?
Vi ringrazio per la pazienza...
Discutere il moto.
--------------------
Allora per prima cosa figuro tutte le forze in gioco. La forza peso del blocco $m_1g$, la reazione vincolare del piano al blocco $R_n$, la tensione della stringa $T$. Scelgo un sistema di riferimento per il moto del primo blocco $xy$ e scompongo le forze nelle componenti $x$ e $y$.
Ora il secondo blocco. Agisce la forza peso $m_2g$ e la tensione della stringa che sappiamo essere sempre $T$ con l'ipotesi di stringa e carrucola ideali. Per questo secondo blocco scelgo un altro sistema $y'x'$ .
I vincoli con le relative equazioni vincolari sono:
$R_n$ $->$ $a_(1,y) = 0$
$T$ $->$ $a_(1,x) = a_(2,y')$
Le equazioni di Newton per il primo blocco:
$m_1 a_(1,x) = T - m_1 g sin \alpha$
$m_1 a_(1,y) = R_n - m_1 g cos \alpha$
Per il secondo:
$m_2 a_(2,x') = 0$
$m_2 a_(2,y') = T - m_2 g$
Ricavo:
$R_n = m_1 g cos\alpha$
Sottraggo la prima del secondo blocco dalla prima del primo blocco e uso l'eq vincolare seconda:
$(m_1 + m_2)a_(1,x) = (m_2 g - m_1 g sin\alpha)$
$a_(1,x)= (m_2 g - m_1 g sin\alpha)/(m_1 + m_2)$
dai cui si nota che, fissata la pendenza del piano, $a_(1,x) >0$ se e solo se:
$m_2 > m_1 sin\alpha$
Mentre fissate le masse, $a_(1,x) > 0$ se e solo se
$sin\alpha < m_2 / m_1$
che è sempre verificato se $m_2 > m_1$.
Ora mi chiedo, innanzitutto se è tutto giusto, ma principalmente se l'approccio è giusto, e in particolare se ho fatto una stupidaggine a considerare due sistemi di riferimento: il mio problema è stato quello di scrivere le equazioni vincolari, come facevo con un sistema solo?
Vi ringrazio per la pazienza...
Risposte
Non ho seguito i calcoli, ma l'approccio non mi convince così tanto: qual era il problema nell'utilizzare solamente il secondo riferimento? La trigonometria può fare il resto, no?
Il problema è che mi riesce difficile l'equazione vincolare su T.. Ci provo: in teoria l'accelerazione lungo la componente x del primo blocco dovrebbe essere in modulo la stessa della accelerazione che tira su o giù il secondo blocchetto. Utilizzando solo il primo sistema di riferimento, devo scomporre la $T$ nelle componenti
$T_x = T sin\alpha$
$T_y = T cos\alpha$
e la forza peso
$P_x = mg cos\alpha$
$P_y = mg sin\alpha$
Adesso non so come andare avanti. Come scrivo l'equazione vincolare di $T$ ?
$T_x = T sin\alpha$
$T_y = T cos\alpha$
e la forza peso
$P_x = mg cos\alpha$
$P_y = mg sin\alpha$
Adesso non so come andare avanti. Come scrivo l'equazione vincolare di $T$ ?
Praticamente devi scrivere l'uguaglianza tra i vettori $T$, giusto? In tal caso, $T_2$ è già parallelo ad uno degli assi, mentre $T_1 = T_{1,x} + T_{1,y}$. Giusto?
Ma i vettori $T$ non sono uguali, solo la loro intensità è la stessa! Io so che che devo imporre che la variazione di velocità del secondo blocchetto deve essere la stessa variazione del primo blocchetto, con segno opposto.. Cosa sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo