Vettori e trigonometria nello spazio
ho un vettore e una retta
qual'è l'ampiezza dell'angolo che formano nello spazio???
spazio XYZ
vettore A->
di componenti (Ax , Ay, Az)
o in coordinate polari (A, alfaXY, alfaZ)
retta passante per l'origine (0,0,0) e per il punto P(Dx, Dy, Dz) quindi identificata dai due angoli (deltaXY, deltaZ)
qual'è l'ampiezza dell'angolo tra la retta e la direzione del vettore A-> ???
e di conseguenza quanto è lungo il segmento ortogonale alla retta che unisce questa all' 'estremità' del vettore A-> ossia al punto P(Ax , Ay, Az) ???
qual'è l'ampiezza dell'angolo che formano nello spazio???
spazio XYZ
vettore A->
di componenti (Ax , Ay, Az)
o in coordinate polari (A, alfaXY, alfaZ)
retta passante per l'origine (0,0,0) e per il punto P(Dx, Dy, Dz) quindi identificata dai due angoli (deltaXY, deltaZ)
qual'è l'ampiezza dell'angolo tra la retta e la direzione del vettore A-> ???
e di conseguenza quanto è lungo il segmento ortogonale alla retta che unisce questa all' 'estremità' del vettore A-> ossia al punto P(Ax , Ay, Az) ???
Risposte
allora..la questione è molto semplice, ma forse sei alle prime armi coi vettori...
basta che tu consideri la definizione di prodotto scalare..
innanzi tutto io lascerei perdere le coordinate polari..non ne vedo la comodità...
cmq..
diciamo che il vettore A è (Ax,Ay,Az) e che il vettore direttore della retta è, come tu hai scritto, r=(Dx,Dy,Dz).
bene...ora dalla definizione di prodotto scalare sai che
$()/(|A||r|)=cos(alpha)$
quindi ti è facile ricavare $alpha$...
ti ricordo che il prodotto scalare $$$=Ax*Dx+Ay*Dy+Az*Dz$ e i moduli dei vettori li ricavi facilmente applicando il th. di Pitagora..
a quel punto per trovare la lunghezza del segmento normale alla retta ti basta fare $|A|sin(alpha)$.
spero sia tutto chiaro..
saluti
il vecchio
basta che tu consideri la definizione di prodotto scalare..
innanzi tutto io lascerei perdere le coordinate polari..non ne vedo la comodità...
cmq..
diciamo che il vettore A è (Ax,Ay,Az) e che il vettore direttore della retta è, come tu hai scritto, r=(Dx,Dy,Dz).
bene...ora dalla definizione di prodotto scalare sai che
$(
quindi ti è facile ricavare $alpha$...
ti ricordo che il prodotto scalare $
a quel punto per trovare la lunghezza del segmento normale alla retta ti basta fare $|A|sin(alpha)$.
spero sia tutto chiaro..
saluti
il vecchio
biagiopas
>forse sei alle prime armi coi vettori...
si a proposito grazie per la chiarezza
ho verificato la formula e va ...
domanda sempre sui vettori:
quali sono le di componenti (Cx , Cy, Cz) del vettore C->
del quale sono noti: il modulo C , l'angolo che forma con il vettore A->. e il piano su cui giace ???
noti
vettore A->
di componenti (Ax , Ay, Az)
e il vettore D->
di componenti (Dx , Dy, Dz)
questi formano un angolo omega che si ricava dalla formula
<A*D> / |A||D| = cos(omega)
omega = cos-1( <A*D> / |A||D| )
questi due vettori essendo applicati all'origine individuano un piano su cui giacciono che taglia lo spazio XYZ
sempre su questo piano sta un altro vettore C-> che forma con A-> un angolo pi/2 del quale conosco solo il modulo C
domanda : quali sono le di componenti (Cx , Cy, Cz) di C-> ???
non so se si può risolvere con le regole di composizione dei vettori
ho provato a mettere a sistema e l'ho dato in pasto a Derive (software di matematica) sperando in una soluzione analitica
a causa dei quadrati nella terza espressione Derive mi ha dato due soluzioni
(Cx , Cy, Cz)1 (Cx , Cy, Cz)2
e pure piuttosto lunghe
sistema
/ |A||C| = cos(pi/2)
/ |C||D| = cos(pi/2-omega)
sqr(Cx^2 + Cy^2 + Cz^2) = C
sistema
h1*Cx + h2*Cy + h3*Cz = 0
w1*Cx + w2*Cy + w3*Cz = 0
Cx^2 + Cy^2 + Cz^2 = C^2
ci sarebbero delle formule più sbrigative per risalire a (Cx , Cy, Cz) usando le regole di composizione dei vettori ???
ciao
biagiopas
>forse sei alle prime armi coi vettori...
si a proposito grazie per la chiarezza
ho verificato la formula e va ...
domanda sempre sui vettori:
quali sono le di componenti (Cx , Cy, Cz) del vettore C->
del quale sono noti: il modulo C , l'angolo che forma con il vettore A->. e il piano su cui giace ???
noti
vettore A->
di componenti (Ax , Ay, Az)
e il vettore D->
di componenti (Dx , Dy, Dz)
questi formano un angolo omega che si ricava dalla formula
<A*D> / |A||D| = cos(omega)
omega = cos-1( <A*D> / |A||D| )
questi due vettori essendo applicati all'origine individuano un piano su cui giacciono che taglia lo spazio XYZ
sempre su questo piano sta un altro vettore C-> che forma con A-> un angolo pi/2 del quale conosco solo il modulo C
domanda : quali sono le di componenti (Cx , Cy, Cz) di C-> ???
non so se si può risolvere con le regole di composizione dei vettori
ho provato a mettere a sistema e l'ho dato in pasto a Derive (software di matematica) sperando in una soluzione analitica
a causa dei quadrati nella terza espressione Derive mi ha dato due soluzioni
(Cx , Cy, Cz)1 (Cx , Cy, Cz)2
e pure piuttosto lunghe
sistema
sqr(Cx^2 + Cy^2 + Cz^2) = C
sistema
h1*Cx + h2*Cy + h3*Cz = 0
w1*Cx + w2*Cy + w3*Cz = 0
Cx^2 + Cy^2 + Cz^2 = C^2
ci sarebbero delle formule più sbrigative per risalire a (Cx , Cy, Cz) usando le regole di composizione dei vettori ???
ciao
biagiopas
inizio dal primo...
immagino tu non sappia cosa sia uno Span di vettori...nè cosa sono i vettori di giacitura di un piano...
dunque..
come si fa descrivere un piano? o in coordinate cartesiane o parametriche...in entrambi i casi ti è suffieciente conoscere due vettori indipendenti (cioè che non hanno la stessa direzione - in realtà la definizione è un'altra...ma per ora va bene così -) che giacciono sul piano. C'è il th infatti che ti assicura che per tre punti passa uno e un solo piano...(per due punti passa una e una sola retta...)...sicchè...per due rette secanti (o al più parallale) passa uno e un solo piano. (Se le rette fossero sghembe..no).
adesso si dimostra che conoscendo questi due vettori del piano, da essi puoi generare qualsiasi altro vettore del piano. Riesci un po' a figurartelo in mente? Tu hai questi due vettori, con il vertice in comune, e sui quali puoi compiere le operazioni di omotetia (li allunghi e accorci quanto vuoi)...a questo punto con le regole di somma vettoriale, puoi ottenere qualunque vettore. se chiami u e v i vettori direttori (uso il grassetto per evitare le frecce ok?), allora qualunque vettore w=au+bv.
Se ci fai caso è proprio quello che fai quando lavori nel piano xy...ogni punto (che sarebbe la punta del vettore con origine in 0) è individuato da un'opportuna combinazione dei versori u_x e u_y. mi spiego? in altre parole il punto P=(3,2) in realtà equivale a scrivere le coordinate del vettore OP=3u_x+2u_y. (un altro esempio, ma non so se ti è familiare ce l'hai col piano di Gauss...praticamente la stessa cosa).
bene...
questa combinazioni con opportuni coefficienti si chiama combinazione lineare. Che si può scrivere con Span{v_1,v_2...}. ok?
perciò secondo questa dicitura, un piano è uno span di due vettori linearmente indipendenti. nel nostro caso li abbiamo chiamati u e v.
ok? ci sei fin qui? (è chiaro che una retta è lo Span di un solo vettore, e uno spazio è lo Span di 3 vettori e così via). quando i vettori dello span sono linearmente indipendenti (nel caso del piano basta che abbiano direzioni differenti), allora si dice che quei vettori sono una base del sottospazio vettoriale. cioè che a partire da essi possiamo formare qualunque vettore del sottospazio vettoriale (nel nostro caso un piano). (se addirittura i vettori sono indipendenti, ortogonali tra loro e di modulo 1, allora la base si dice ortonormale...ma a te adesso non credo che freghi un bel niente
)
veniamo al tuo problema...
diamo per assodato che conosci i due vettori direttori del piano u e v.
dal testo sai inoltre che il tuo vettore c appartiene al piano. quindi per quanto abbiamo detto prima, sicuramente puoi scrivere c=au+bv. ok? adesso scrivi il modulo del vettore...e ottieni la prima equazione..
a questo punto conosci l'angolo che forma con A. Se hai in mente la situazione tridimensionale...ti accorgerai che, fissato il piano e la retta A, non è detto che la soluzione sia unica. Per prima cosa infatti $alpha$ potrebbe essere 90°, il che significa che il tuo piano è ortogonale alla retta data...e quindi ogni vettore del piano è soluzione -> infinite soluzioni.
se il piano non è ortogonale alla retta, allora potresti avere una sola soluzione (se il vettore soluzione e il vettore direttore della retta gicciono su un piano ortogonale al piano dato), oppure due soluzioni. ci sei? qui ci vuole un po' di fantasia per poterlo "vedere"...io per fortuna ero bravo in disegno
cmq non ti preoccupare..che tutto alla fine esce dalle equazioni..però certo che un po' "visione" aiuta..
quindi...
abbiamo la nostra bella equazione di prima..
ora non resta che fare il prodotto scalare tra il vettore c e A, imponendo che l'angolo sia $alpha$:
<c,A>/(|c||A|)=cos($alpha$)
a questo punto hai ottenuto la seconda equazione...metti a sistema con la prima...e risolvi...
immagino tu non sappia cosa sia uno Span di vettori...nè cosa sono i vettori di giacitura di un piano...
dunque..
come si fa descrivere un piano? o in coordinate cartesiane o parametriche...in entrambi i casi ti è suffieciente conoscere due vettori indipendenti (cioè che non hanno la stessa direzione - in realtà la definizione è un'altra...ma per ora va bene così -) che giacciono sul piano. C'è il th infatti che ti assicura che per tre punti passa uno e un solo piano...(per due punti passa una e una sola retta...)...sicchè...per due rette secanti (o al più parallale) passa uno e un solo piano. (Se le rette fossero sghembe..no).
adesso si dimostra che conoscendo questi due vettori del piano, da essi puoi generare qualsiasi altro vettore del piano. Riesci un po' a figurartelo in mente? Tu hai questi due vettori, con il vertice in comune, e sui quali puoi compiere le operazioni di omotetia (li allunghi e accorci quanto vuoi)...a questo punto con le regole di somma vettoriale, puoi ottenere qualunque vettore. se chiami u e v i vettori direttori (uso il grassetto per evitare le frecce ok?), allora qualunque vettore w=au+bv.
Se ci fai caso è proprio quello che fai quando lavori nel piano xy...ogni punto (che sarebbe la punta del vettore con origine in 0) è individuato da un'opportuna combinazione dei versori u_x e u_y. mi spiego? in altre parole il punto P=(3,2) in realtà equivale a scrivere le coordinate del vettore OP=3u_x+2u_y. (un altro esempio, ma non so se ti è familiare ce l'hai col piano di Gauss...praticamente la stessa cosa).
bene...
questa combinazioni con opportuni coefficienti si chiama combinazione lineare. Che si può scrivere con Span{v_1,v_2...}. ok?
perciò secondo questa dicitura, un piano è uno span di due vettori linearmente indipendenti. nel nostro caso li abbiamo chiamati u e v.
ok? ci sei fin qui? (è chiaro che una retta è lo Span di un solo vettore, e uno spazio è lo Span di 3 vettori e così via). quando i vettori dello span sono linearmente indipendenti (nel caso del piano basta che abbiano direzioni differenti), allora si dice che quei vettori sono una base del sottospazio vettoriale. cioè che a partire da essi possiamo formare qualunque vettore del sottospazio vettoriale (nel nostro caso un piano). (se addirittura i vettori sono indipendenti, ortogonali tra loro e di modulo 1, allora la base si dice ortonormale...ma a te adesso non credo che freghi un bel niente
)veniamo al tuo problema...
diamo per assodato che conosci i due vettori direttori del piano u e v.
dal testo sai inoltre che il tuo vettore c appartiene al piano. quindi per quanto abbiamo detto prima, sicuramente puoi scrivere c=au+bv. ok? adesso scrivi il modulo del vettore...e ottieni la prima equazione..
a questo punto conosci l'angolo che forma con A. Se hai in mente la situazione tridimensionale...ti accorgerai che, fissato il piano e la retta A, non è detto che la soluzione sia unica. Per prima cosa infatti $alpha$ potrebbe essere 90°, il che significa che il tuo piano è ortogonale alla retta data...e quindi ogni vettore del piano è soluzione -> infinite soluzioni.
se il piano non è ortogonale alla retta, allora potresti avere una sola soluzione (se il vettore soluzione e il vettore direttore della retta gicciono su un piano ortogonale al piano dato), oppure due soluzioni. ci sei? qui ci vuole un po' di fantasia per poterlo "vedere"...io per fortuna ero bravo in disegno
cmq non ti preoccupare..che tutto alla fine esce dalle equazioni..però certo che un po' "visione" aiuta..
quindi...
abbiamo la nostra bella equazione di prima..
ora non resta che fare il prodotto scalare tra il vettore c e A, imponendo che l'angolo sia $alpha$:
<c,A>/(|c||A|)=cos($alpha$)
a questo punto hai ottenuto la seconda equazione...metti a sistema con la prima...e risolvi...
faccio 3 esempi (piuttosto banali)...così capisci meglio i 3 casi che ti ho posto.
1°caso (infinite soluzioni).
piano xy, di equazione $pi=l*(1,0,0)+m*(0,1,0)$. (quelli che vedi scritti tra parentesi sono i versori x e y scritti in coordinate cartesiane ok? si capisce? se vuoi sono le coordinate dei vettori unitari che giacciono sulle rette x e y...ok?). l e m sono scalari.
il vettore A=(0,0,3), quindi sta proprio sull'asse z ed è quindi ortogonale al piano $pi$.
$aplha$ è per forza 90°; |c| = 2.
capisci bene che ci sono infiniti vettori C che soddisfano a questa proprietà...immagina un vettore, con origine in 0, che ruota ai piedi del vettore A. in ogni istante esso soddiferà alle condizioni imposte dal problema...quindi tutto il piano $pi$ è soluzione al tuo problema.
volendolo vedere algebricamente, imposti le due equazioni che abbiamo detto prima.
poichè c appartiene a $pi$, allora c=(l,m,0). Adesso sfrutti il fatto che conosci il |c| e imposti la prima equazione:
|c| = $sqrt(l^2+m^2)$ (in questo modo ai limitato la scelta del tuo vettore al cerchio di raggio R=|c|)
$4=l^2+m^2$
la seconda equazione abbiamo detto di ricavarla dal prodotto scalare
<(l,m,0),(0,0,3)>=2*3*cos(90°)=0
0=0.
ora se metto a sistema le due equazioni (la seconda è assolutamente inutile) ottiene un sistema in due incognite (l,m) con una sola equazione...quindi il sistema ammette infinite soluzioni...cioè tutti i vettori che stanno sul cerchio di raggio R.
1°caso (infinite soluzioni).
piano xy, di equazione $pi=l*(1,0,0)+m*(0,1,0)$. (quelli che vedi scritti tra parentesi sono i versori x e y scritti in coordinate cartesiane ok? si capisce? se vuoi sono le coordinate dei vettori unitari che giacciono sulle rette x e y...ok?). l e m sono scalari.
il vettore A=(0,0,3), quindi sta proprio sull'asse z ed è quindi ortogonale al piano $pi$.
$aplha$ è per forza 90°; |c| = 2.
capisci bene che ci sono infiniti vettori C che soddisfano a questa proprietà...immagina un vettore, con origine in 0, che ruota ai piedi del vettore A. in ogni istante esso soddiferà alle condizioni imposte dal problema...quindi tutto il piano $pi$ è soluzione al tuo problema.
volendolo vedere algebricamente, imposti le due equazioni che abbiamo detto prima.
poichè c appartiene a $pi$, allora c=(l,m,0). Adesso sfrutti il fatto che conosci il |c| e imposti la prima equazione:
|c| = $sqrt(l^2+m^2)$ (in questo modo ai limitato la scelta del tuo vettore al cerchio di raggio R=|c|)
$4=l^2+m^2$
la seconda equazione abbiamo detto di ricavarla dal prodotto scalare
<(l,m,0),(0,0,3)>=2*3*cos(90°)=0
0=0.
ora se metto a sistema le due equazioni (la seconda è assolutamente inutile) ottiene un sistema in due incognite (l,m) con una sola equazione...quindi il sistema ammette infinite soluzioni...cioè tutti i vettori che stanno sul cerchio di raggio R.
2° caso (1 soluzione)
(complichiamolo leggermente)
$pi$ sia il piano passante per le bisettrici dei quadranti xz e yz. I vettori di giacitura di tale piano sono dunque (i più facili da vedere...poi potresti prendere quelli che vuoi..) u=(1,0,1) e v=(0,1,1).
quindi
$pi$=l*(1,0,1)+m*(0,1,1)
sia inoltre A=(1,1,0), |c|=2 e $cos(alpha)$=$1/sqrt(3)$.
quindi, come prima...c=(l,m,l+m), in quanto appartiene al piano.
quindi
prima equazione:
$l^2+m^2+(l+m)^2=4$
prodotto scalare:
<(1,1,0),(l,m,l+m)>=$sqrt(2)$*2*$1/sqrt(3)$
quindi:
l+m=$sqrt(2/3)*2$.
metto a sistema con la prima equazione e sostituisco:
$l^2+m^2+8/3=4$
insomma...poi fai conti...e cosa scopri?? che qui vengono fuori due soluzioni!! altro che 1!!! (eh eh è utile anche per me fare gli esempi...). Perchè ottieni due soluzioni?? perchè io in mente avevo un disegno "orientato"...mi spiego...io consideravo il vettore A orientato in una certa maniera...e per cui mi aspettavo una sola soluzione...
ma le nostre povere equazioni non sanno qual è il verso dei nostri vettori...loro "vedono" solo le direzioni delle rette..quindi di fatto il nostro sistema trova due soluzioni: una sarà quella cercata da noi...l'altra è proprio in verso opposto!! spero che tu riesca a vedere il tutto..
magari, visto che sai usare il Derive, prova a farlo graficare a lui...io, vista l'ora, neanche ci provo...
per il 3° esempio, senza che ne faccio uno io...basta che cambi l'angolo di inclinazione sull'esercizio precedente (attento però a non scegliere un angolo che non è compatibile con il resto dei dati....45° per esempio non va bene..vedi che succede). in questo caso, visto l'esempio precedente, mi aspetto che il sistema restituisca 4 soluzioni, ma solo 2 sono quelle che interessano il nostro vettore orientato A.
spero di essere stato il più chiaro possibile...
(complichiamolo leggermente)
$pi$ sia il piano passante per le bisettrici dei quadranti xz e yz. I vettori di giacitura di tale piano sono dunque (i più facili da vedere...poi potresti prendere quelli che vuoi..) u=(1,0,1) e v=(0,1,1).
quindi
$pi$=l*(1,0,1)+m*(0,1,1)
sia inoltre A=(1,1,0), |c|=2 e $cos(alpha)$=$1/sqrt(3)$.
quindi, come prima...c=(l,m,l+m), in quanto appartiene al piano.
quindi
prima equazione:
$l^2+m^2+(l+m)^2=4$
prodotto scalare:
<(1,1,0),(l,m,l+m)>=$sqrt(2)$*2*$1/sqrt(3)$
quindi:
l+m=$sqrt(2/3)*2$.
metto a sistema con la prima equazione e sostituisco:
$l^2+m^2+8/3=4$
insomma...poi fai conti...e cosa scopri?? che qui vengono fuori due soluzioni!! altro che 1!!! (eh eh è utile anche per me fare gli esempi...). Perchè ottieni due soluzioni?? perchè io in mente avevo un disegno "orientato"...mi spiego...io consideravo il vettore A orientato in una certa maniera...e per cui mi aspettavo una sola soluzione...
ma le nostre povere equazioni non sanno qual è il verso dei nostri vettori...loro "vedono" solo le direzioni delle rette..quindi di fatto il nostro sistema trova due soluzioni: una sarà quella cercata da noi...l'altra è proprio in verso opposto!! spero che tu riesca a vedere il tutto..
magari, visto che sai usare il Derive, prova a farlo graficare a lui...io, vista l'ora, neanche ci provo...
per il 3° esempio, senza che ne faccio uno io...basta che cambi l'angolo di inclinazione sull'esercizio precedente (attento però a non scegliere un angolo che non è compatibile con il resto dei dati....45° per esempio non va bene..vedi che succede). in questo caso, visto l'esempio precedente, mi aspetto che il sistema restituisca 4 soluzioni, ma solo 2 sono quelle che interessano il nostro vettore orientato A.
spero di essere stato il più chiaro possibile...
Con quello che ti ho spiegato dovresti saper risolvere anche il 2° esercizio...dovresto trovare due soluzioni in quel caso..
per stasera può bastare..
ciao ciao
il vecchio
per stasera può bastare..
ciao ciao
il vecchio
>spero di essere stato il più chiaro possibile...
ammazza ...ao
altrochè
faccio un riepilogo
A e D possono essere usati come versori del piano
l'equazione di un generico vettore nel piano ppp è w = h A + mD , h e m sono due scalari,
c'è una corrispondenza biunivoca tra le coppie (h, m) appartenenti a R^2 e i punti del piano ppp
quindi hA + mD identifica il piano ppp, ppp = h A-> + m D->
nel mio problema C appartiene al piano quindi
1°equazione del sistema
si ottiene dalla combianzione di
C = h A + m D e |C| = sqr(Cx^2 + Cy^2 + Cz^2)
2°equazione
inoltre di C conosco il modulo |C| e so che forma con D un angolo di pi/2
D * C = |D||C| cos(pi/2)
facendo i passaggi ottengo un sistema di due equazioni nelle due variabili h, m e nei parametri zi
z0 h^2 + z1 h m + z2 m^2 = 1
h + z4 m = 0
ottengo due soluzioni
(h1, m1) (h2, m2)
soluziao:
C1= h1 A + m1 D
C2 = h2 A + m2 D
ammazza ...ao
altrochè
faccio un riepilogo
A e D possono essere usati come versori del piano
l'equazione di un generico vettore nel piano ppp è w = h A + mD , h e m sono due scalari,
c'è una corrispondenza biunivoca tra le coppie (h, m) appartenenti a R^2 e i punti del piano ppp
quindi hA + mD identifica il piano ppp, ppp = h A-> + m D->
nel mio problema C appartiene al piano quindi
1°equazione del sistema
si ottiene dalla combianzione di
C = h A + m D e |C| = sqr(Cx^2 + Cy^2 + Cz^2)
2°equazione
inoltre di C conosco il modulo |C| e so che forma con D un angolo di pi/2
D * C = |D||C| cos(pi/2)
facendo i passaggi ottengo un sistema di due equazioni nelle due variabili h, m e nei parametri zi
z0 h^2 + z1 h m + z2 m^2 = 1
h + z4 m = 0
ottengo due soluzioni
(h1, m1) (h2, m2)
soluziao:
C1= h1 A + m1 D
C2 = h2 A + m2 D
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo