Vettori.
Torniamo indietro di qualche anno, quando ero al liceo. Nell'introdurmi le grandezze vettoriali, il mio testo, a proposito della forza, diceva che per determinare "realmente" una forza occorrevano, oltre all'intensità, la direzione e il verso.
Il "senso fisico" del vettore era quindi quello di una freccia.
Adesso ho cominciato a vedere i vettori più che come "freccia", come collettore di "scalari". Grandezze come la "forza", che al liceo mi sembravano tanto "pregnanti", alla fine assumerebbero, in questa nuova "visione", un carattere meramente legato allo spazio, perdendo agli occhi di chi non ha ancora una mente "matematica" il vecchio "significato" che avevano al liceo, che comunque deve avere un qualche fondo di verità. Se do' un pugno e immagino un vettore collegato ad esso la cosa è facile, meno facile è se collegato ad esso immagino spazi e movimenti. Tuttavia quest' ultima cosa riesco ad immaginarla, solo che non riesco necessariamente a trovare il "nesso" tra le due visioni, è questo il problema.
Forse perché il "senso" dell' applicabilità dell' algebra vettoriale alla fisica mi è ancora oscuro, non vedo da dove si "parta" per associarla alla fisica. Quindi, accanto alla richiesta per vedere come voi abbiate superato tali difficoltà (sempre che le abbiate avute), chiedo anche da dove si è cominciata a sentire, storicamente, l'esigenza di costruire costrutti dell'algebra e dell'analisi vettoriale nel modo in cui noi la conosciamo.
Io cerco di studiare ingegneria: quindi chiedo, alla fine, se nel mio percorso di studi incontrerò l'analisi vettoriale in maniera sistematica.
Il "senso fisico" del vettore era quindi quello di una freccia.
Adesso ho cominciato a vedere i vettori più che come "freccia", come collettore di "scalari". Grandezze come la "forza", che al liceo mi sembravano tanto "pregnanti", alla fine assumerebbero, in questa nuova "visione", un carattere meramente legato allo spazio, perdendo agli occhi di chi non ha ancora una mente "matematica" il vecchio "significato" che avevano al liceo, che comunque deve avere un qualche fondo di verità. Se do' un pugno e immagino un vettore collegato ad esso la cosa è facile, meno facile è se collegato ad esso immagino spazi e movimenti. Tuttavia quest' ultima cosa riesco ad immaginarla, solo che non riesco necessariamente a trovare il "nesso" tra le due visioni, è questo il problema.
Forse perché il "senso" dell' applicabilità dell' algebra vettoriale alla fisica mi è ancora oscuro, non vedo da dove si "parta" per associarla alla fisica. Quindi, accanto alla richiesta per vedere come voi abbiate superato tali difficoltà (sempre che le abbiate avute), chiedo anche da dove si è cominciata a sentire, storicamente, l'esigenza di costruire costrutti dell'algebra e dell'analisi vettoriale nel modo in cui noi la conosciamo.
Io cerco di studiare ingegneria: quindi chiedo, alla fine, se nel mio percorso di studi incontrerò l'analisi vettoriale in maniera sistematica.
Risposte
I vettori in matematica non sono né ‘frecce’ né ‘collezioni di numeri’. I vettori sono gli elementi di uno spazio vettoriale su un particolare campo $K$ (in ingegneria incontrerai credo quasi solo $RR$ e $CC$) che godono di alcune proprietà particolari (che sicuramente sono descritte su di un qualsiasi libro di testo di algebra lineare). Sia le ‘frecce’ che ti avevano descritto al liceo sia questi nuovi oggetti che stai imparando ad usare adesso sono casi particolari di vettori. Ma anche insiemi come i polinomi omogenei di grado n formano uno spazio vettoriale e sono quindi vettori. Data una base di uno spazio vettoriale (un insieme di elementi tali che ogni altro elemento è loro composizione lineare) tutti i vettori sono isomorfi (si possono rappresentare - se non sai cosa significa) a quella collezione di numeri che ti stanno insegnando ad ingegneria. Le ‘frecce’ della fisica ad esempio le puoi scomporre nelle componenti lungo gli assi principali. Le lunghezze delle proiezioni lungo gli assi determinano univocamente quella ‘freccia’. Non c’è comunque alcun motivo per cui tu non possa continuare a vedere i vettori come a delle ‘frecce’. Può essere un utile interpretazione in diverse circostanze, anche se a volte sarà invece più comodo pensare in modo più numerico. Pensa ai numeri complessi, a seconda delle circostanze è più utile vederli come formati da una parte reale e da una immaginaria oppure in coordinate polari.
P.S. In ingegneria li incontrerai parecchio...
è quindi meglio abituarsi...
P.S. In ingegneria li incontrerai parecchio...
è quindi meglio abituarsi...
Ci sono passato anch'io per queste forche caudine: trovare sempre un modo per "figurarsi" come vanno in realtà le cose. Il guaio è che più vai avanti e peggio è. Le tecniche matematiche che si usano, avanzando negli studi, lasciano sempre meno spazio alla possibilità di "visualizzare" il motivo che ne rende ineludibile l'uso.
Poi te ne farai una ragione. La fisica è fatta di modelli. Qualche studioso, a forza di rimurginare, ha creduto di poter descrivere bene il comportamento di un dato fenomeno attraverso l'impiego di quella determinata tecnica matematica. Anche le stesse grandezze fisiche sono puro frutto dell'immensa fantasia dei nostri illustri predecessori. Se avrai modo di studiare la meccanica quantistica, dovrai farti coraggio. Il senso comune delle grandezze ti sfuggirà continuamente e l'unico conforto che ti resterà è l'incontrovertibile evidenza dell'accordo con i risultati sperimentali. Anche quando, dopo un po', avrai familiarizzato con i nuovi strumenti matematico-fisici (funzioni d'onda et similia) e ti sembrerà che stai "capendo", scoprirai solo che ti sarai solo disposto ad ingoiare per buone, una buona dose di cose di per sè astrattissime. Tuttavia il modello funziona, ti sentirai rispondere dai più tra i prof., e questa è l'unica cosa che conta. Io ho persino assistito, ai miei tempi, ad un'agone ideologico interminabile, tra quanti sostenevano Heisemberg ed il suo principio di indeterminatezza e quanti, il mio prof di Fisica II, vero luminare e personaggio di rilievo internazionale nel suo campo, che chiosò un giorno bruscamente sulla questione: "... per quello che ha scritto, Heisemberg, avrebbe dovuto solo nascondersi!"... lui (il mio prof), di certo, non amava tutto il carrozzone della meccanica quantistica, e non ne faceva mistero.
Poi te ne farai una ragione. La fisica è fatta di modelli. Qualche studioso, a forza di rimurginare, ha creduto di poter descrivere bene il comportamento di un dato fenomeno attraverso l'impiego di quella determinata tecnica matematica. Anche le stesse grandezze fisiche sono puro frutto dell'immensa fantasia dei nostri illustri predecessori. Se avrai modo di studiare la meccanica quantistica, dovrai farti coraggio. Il senso comune delle grandezze ti sfuggirà continuamente e l'unico conforto che ti resterà è l'incontrovertibile evidenza dell'accordo con i risultati sperimentali. Anche quando, dopo un po', avrai familiarizzato con i nuovi strumenti matematico-fisici (funzioni d'onda et similia) e ti sembrerà che stai "capendo", scoprirai solo che ti sarai solo disposto ad ingoiare per buone, una buona dose di cose di per sè astrattissime. Tuttavia il modello funziona, ti sentirai rispondere dai più tra i prof., e questa è l'unica cosa che conta. Io ho persino assistito, ai miei tempi, ad un'agone ideologico interminabile, tra quanti sostenevano Heisemberg ed il suo principio di indeterminatezza e quanti, il mio prof di Fisica II, vero luminare e personaggio di rilievo internazionale nel suo campo, che chiosò un giorno bruscamente sulla questione: "... per quello che ha scritto, Heisemberg, avrebbe dovuto solo nascondersi!"... lui (il mio prof), di certo, non amava tutto il carrozzone della meccanica quantistica, e non ne faceva mistero.
Si può benissimo associare i due modi di vedere le cose.. può essere facile..
allora diciamo che un vettore nello spazio a tre dimensioni è una freccia, o volendo un bi-punto!
La definizione algebrica di vettore è moderna, prima c'erano le frecce o bi-punti..
Certo la definizione moderna è molto più potente, ma la capirai pian piano.. e in ogni modo nel caso tri dimensionale corrisponde!
come si fa rappresentare questo vettore?
Si pone un sistema di riferimento (tre assi)
e servono tre numeri!
Questi tre numeri sono le coordinate del vettore..
Poi potranno essere coordinate cartesiane, oppure no..
potranno essere coordinate polari: i due numeri possono essere una lunghezza e due angoli!
L'importante è che ad ogni tripletta di numeri corrisponda una freccia, e ad ogni freccia una tripletta di numeri...
certo ora questo concetto è molto più potente!!!
Se il vettore si trova in quattro imensioni è difficile immaginare la freccia in quattro dimensioni! ma è facile scrivere quattro numeri..
quello che voglio dire è questo.
quando capisci una cosa, scopri che dietro ci sono altre mille cose che non hai ancora capito, ma non per questo di devi astenere dal capire!
Un altra cosa che voglio dire è che non si può cominciare a studiare la matematica moderna ignorando 3000 anni di pensiero, penso che per archimede i vettori fossero freccie, e archimede non era proprio un patacca!
allora diciamo che un vettore nello spazio a tre dimensioni è una freccia, o volendo un bi-punto!
La definizione algebrica di vettore è moderna, prima c'erano le frecce o bi-punti..
Certo la definizione moderna è molto più potente, ma la capirai pian piano.. e in ogni modo nel caso tri dimensionale corrisponde!
come si fa rappresentare questo vettore?
Si pone un sistema di riferimento (tre assi)
e servono tre numeri!
Questi tre numeri sono le coordinate del vettore..
Poi potranno essere coordinate cartesiane, oppure no..
potranno essere coordinate polari: i due numeri possono essere una lunghezza e due angoli!
L'importante è che ad ogni tripletta di numeri corrisponda una freccia, e ad ogni freccia una tripletta di numeri...
certo ora questo concetto è molto più potente!!!
Se il vettore si trova in quattro imensioni è difficile immaginare la freccia in quattro dimensioni! ma è facile scrivere quattro numeri..
quello che voglio dire è questo.
quando capisci una cosa, scopri che dietro ci sono altre mille cose che non hai ancora capito, ma non per questo di devi astenere dal capire!
Un altra cosa che voglio dire è che non si può cominciare a studiare la matematica moderna ignorando 3000 anni di pensiero, penso che per archimede i vettori fossero freccie, e archimede non era proprio un patacca!
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