Versori delle coordinate sferiche

[fahrenheit1]

Buonasera,
ho alcuni dubbi su come trovare i versori delle coordinate sferiche,
se ad esempio ho le coordinate sferiche

$x = r sin \theta cos \phi$
$y = r sin \theta sin \phi$
$z = r cos \theta$

I versori saranno
$\hat{r}= sin \theta cos \phi \hat{x} + sin \theta sin \phi \hat{y} + cos \theta \hat{z}$
$\hat{\theta}= cos \theta cos \phi \hat{x} + cos \theta sin \phi \hat{y} - sin \theta \hat{z}$
$\hat{\phi}= − sin \phi \hat{x} + cos \phi \hat{y} $

Come mai $\hat{r}$ è costruito così lo capisco (somma di x+y+z diviso la lunghezza del vettore ovvero r) e capisco anche come trovare $\hat{\theta}$ e $\hat{\phi}$ (derivo per $\theta$ e $\phi$), quello che non capisco è come mai si costruiscono così i versori dei due angoli $\hat{\theta}$ e $\hat{\phi}$, ovvero come mai devo derivare $\hat{r}$ per trovarli.

[LoreT314]

Puoi vederla con vari livelli di rigore. I versori $\hat{\theta}$ e $\hat{\phi}$ che tu vuoi trovare sono la base dello spazio tangente alla sfera di raggio $r$ nel punto identificato da $(\theta,\phi)$. In generale data una superficie parametrizzata da due parametri $(u,v)$ (nel nostro caso $\theta$ e $\phi$) una base per lo spazio tangente è data dai due vettori di $RR^3$
$((\partial x)/(\partial u) (u,v),(\partial y)/(\partial u) (u,v),(\partial z)/(\partial u) (u,v))$ e $((\partial x)/(\partial v) (u,v),(\partial y)/(\partial v) (u,v),(\partial z)/(\partial v) (u,v))$
Valutando queste 6 derivate e normalizzando trovi il risultato che vuoi.