Verso momento angolare
Buona sera . Ho bisogno di un rapido chiarimento riguardo il calcolo del momento angolare per questo esercizio svolto nel mio eserciziario . " Un'asta AB di lunghezza $ d=3m $ e massa $ m=12,5kg $ è ferma su una superficie orizzontale liscia . Ad un certo punto istante un impulso $ J=8Ns $ ortogonale all'asta viene applicato in un punto distante $ d/4 $ da A . Dopo un giro completo l'estremo A urta contro un piolo infisso nel piano e vi rimane agganciato . Calcolare la distanza percorsa dall'asta prima dell'urto , la velocità angolare dell'asta dopo l'urto , l'impulso applicato al piolo nell'urto , l'energia dissipata nell'urto " .
L'immagine rappresenta solo l'asta ( vista dall'alto , noi dall'alto vediamo l'asta in tutta la sua lunghezza ) e la direzione dell'impulso ortogonale . Scusate ma non riesco a caricare le immagini ultimamente , non so davvero perché .
Nell'istante dell'urto si conserva il momento angolare rispetto a P ( piolo ) :
$ L_(i n)=mvd/2-1/12md^2omega=L_(fi n )=1/3md^2Omega^2 $
Il mio dubbio consiste nel capire come questi vettori $ vecL $ vengono ad orientarsi dato che come si vede c'è un segno + e un segno - . Quale regola utilizzate voi , dato che ce sono molte ( anche se comunque servono tutte per la stessa cosa ) ? Come la applichereste a questo caso particolare ?
Grazie e buonaserata
L'immagine rappresenta solo l'asta ( vista dall'alto , noi dall'alto vediamo l'asta in tutta la sua lunghezza ) e la direzione dell'impulso ortogonale . Scusate ma non riesco a caricare le immagini ultimamente , non so davvero perché .
Nell'istante dell'urto si conserva il momento angolare rispetto a P ( piolo ) :
$ L_(i n)=mvd/2-1/12md^2omega=L_(fi n )=1/3md^2Omega^2 $
Il mio dubbio consiste nel capire come questi vettori $ vecL $ vengono ad orientarsi dato che come si vede c'è un segno + e un segno - . Quale regola utilizzate voi , dato che ce sono molte ( anche se comunque servono tutte per la stessa cosa ) ? Come la applichereste a questo caso particolare ?
Grazie e buonaserata
Risposte
Io personalmente mi trovo bene con la regola della mano destra: il prodotto vettoriale $vecaxxvecb$ e' un vettore orientato nella direzione del pollice, se si mette la mano destra di taglio sul foglio, con le dita che seguono la rotazione di a verso b, e il pollice alzato.
In altre parole, il vettore prodotto interno di a e b e' uscente dal piano del foglio.
Il segno dipende dal sistema di riferimento: se l'asse l'ho scelto uscente dal foglio, sara' positivo, altrimenti negativo.
Spero che sia chiaro, e' un po' difficile spiegarsi a parole!
In altre parole, il vettore prodotto interno di a e b e' uscente dal piano del foglio.
Il segno dipende dal sistema di riferimento: se l'asse l'ho scelto uscente dal foglio, sara' positivo, altrimenti negativo.
Spero che sia chiaro, e' un po' difficile spiegarsi a parole!
A dir la verità non ho ben capito . Come lo applicheresti al caso in esame? Magari con l'esempio capisco meglio
Provo a dare un contributo alla discussione. Se vuoi procedere più intuitivamente, puoi aiutarti con l'esempio sottostante:
Se devi calcolare il momento angolare rispetto al punto $O$ mediante la seguente formula:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega]$
dovrebbe essere piuttosto evidente che i due contributi hanno segno opposto. Mentre il primo termine:
$[mvecv_Gxx(O-G)]$
"tende a ruotare" in senso orario attorno al punto $O$ (considera la velocità del centro di massa), il secondo termine:
$[I_Gvec\omega]$
"tende a ruotare" in senso antiorario (avendo braccio maggiore, considera la velocità, dovuta alla sola rotazione, dei punti del disco più lontani dal punto $O$, non dei punti più vicini che hanno braccio minore). Per quanto riguarda il segno assoluto, dovendo tipicamente impostare un'equazione con una sola incognita (una velocità oppure una velocità angolare), se vuoi che l'equazione fornisca una soluzione positiva, devi attribuire un segno positivo al momento rispetto al punto $O$ del termine in cui la medesima incognita compare.
Se devi calcolare il momento angolare rispetto al punto $O$ mediante la seguente formula:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega]$
dovrebbe essere piuttosto evidente che i due contributi hanno segno opposto. Mentre il primo termine:
$[mvecv_Gxx(O-G)]$
"tende a ruotare" in senso orario attorno al punto $O$ (considera la velocità del centro di massa), il secondo termine:
$[I_Gvec\omega]$
"tende a ruotare" in senso antiorario (avendo braccio maggiore, considera la velocità, dovuta alla sola rotazione, dei punti del disco più lontani dal punto $O$, non dei punti più vicini che hanno braccio minore). Per quanto riguarda il segno assoluto, dovendo tipicamente impostare un'equazione con una sola incognita (una velocità oppure una velocità angolare), se vuoi che l'equazione fornisca una soluzione positiva, devi attribuire un segno positivo al momento rispetto al punto $O$ del termine in cui la medesima incognita compare.
D'accordo , grazie dell'esempio @anonymous_0b37e9 . Provo anche a mettere in pratica quello che mi hai detto alla luce degli esercizi che sto svolgendo dove sto incontrando questa situazione . Fancendo riferimento al caso presentato da te e applicando il teorema di Konig rispetto al polo O , il termine $ vecL_(cm) $risulta entrante nella pagina dato che vediamo ruotare il braccio in senso orario sul vettore velocità . Infatti seguo questo procedimento : disegno il braccio $ vec(OG) $ e porto la sua coda nel centro del cilindro per farla coincidere con quella di $ vecv $ e procedere poi alla rotazione del braccio sul vettore velocità stesso . La rotazione è infatti oraria e quindi $ vecL $ risulta entrante . Per quanto riguarda il secondo termine del teorema di Konig ovvero il momento angolare rispetto al centro di massa io ho sempre proceduto così : disegno ancora una volta il braccio partendo dal polo e la velocità tangenziale rispetto al centro di massa ( valutata nel punto sommitale del cerchio ) è opposta alla velocità disegnata , ovvero essa è rivolta verso sinistra ; porto come la coda del braccio nella coda del vettore velocità e procedo alla rotazione che risulta essere antioraria , come nel post precedente . Corretto ?
Veramente, era mia intenzione semplificare senza nemmeno scomodare il verso entrante oppure uscente del prodotto vettoriale. Tipicamente, quando il moto è piano, è sufficiente considerare il senso orario e antiorario nei termini descritti nel mio messaggio precedente, senza riferirsi alla sovrapposizione dei due vettori che compaiono nel prodotto vettoriale. Mi sorge il dubbio che tu non abbia compreso a fondo che cosa io intendessi per senso orario e antiorario. Intendevo procedere intuitivamente come si fa con la potenza e la resistenza nello studio di una leva, sostituendo le forze con le velocità e il fulcro con $O$, il punto rispetto al quale si calcolano i momenti delle velocità medesime. Tra l'altro, anche volendo utilizzare il verso del prodotto vettoriale, ho l'impressione che, mentre io mi servo di $[mvecv_Gxx(O-G)]$, tu ti serva di $[G-O)xxmvecv_G]$, con tutte le complicazioni che ne derivano, i due vettori non hanno la stessa origine per intenderci. Se questo è il caso, ciò che hai scritto, nonostante sia estremamente e inutilmente macchinoso, è corretto.
A me interessava il verso ( entrante o uscente che sia ) del momento angolare
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