Verifica della soluzione di un moto armonico smorzato
Partendo dall' ipotesi che l'ampiezza non sia costante, dovrei effettuare la derivata seconda e poi sostituire nella soluzione.
Visto che sono costretto a dover descrivere ogni singolo passaggio e visto che la derivata
è trasparente alle costanti ,mi chiedo :
"l'ampiezza nel calcola della derivata va portata fuori o si considera come un tutt'uno con la funzione esponenziale ?"
Per intenderci 1) o 2) ?
1) d(A \( e^-(\alpha t) \) )/dt=A d( \( e^-(\alpha t) \) )/dt=A(- \( \alpha \) ) (\( e^-(\alpha t) \))
2)d(A\( e^-(\alpha t) \) )/dt=(- \( \alpha \) )(Ae^(- \( \alpha \) t))
Visto che sono costretto a dover descrivere ogni singolo passaggio e visto che la derivata
è trasparente alle costanti ,mi chiedo :
"l'ampiezza nel calcola della derivata va portata fuori o si considera come un tutt'uno con la funzione esponenziale ?"
Per intenderci 1) o 2) ?
1) d(A \( e^-(\alpha t) \) )/dt=A d( \( e^-(\alpha t) \) )/dt=A(- \( \alpha \) ) (\( e^-(\alpha t) \))
2)d(A\( e^-(\alpha t) \) )/dt=(- \( \alpha \) )(Ae^(- \( \alpha \) t))
Risposte
se $A$ è costante,$D(Ae^(-alphat))=ADe^(-alphat)=-alphaAe^(-alphat)$
Guarda che il mio problema non era la derivata nel caso di una costante ...anche perché da come ho specificato (Ae^-alfat)
è un'AMPIEZZA cioè "un solo termine " che NON è costante.
E qui mi è venuto il dubbio: sé devo considerarli come un solo termine,sapendo che l'intero prodotto non è costante, allora
A lo posso portare o non lo posso portare fuori?
è un'AMPIEZZA cioè "un solo termine " che NON è costante.
E qui mi è venuto il dubbio: sé devo considerarli come un solo termine,sapendo che l'intero prodotto non è costante, allora
A lo posso portare o non lo posso portare fuori?
In qualunque modo tu faccia il risultato è uguale, personalmente preferisco la 1, le costanti moltiplicative preferisco toglierle dai piedi prima possibile.
Quindi mi confermi che anche sé sto facendo la derivata rispetto al tempo di un termine non costante (perché A dipende della funzione esponenziale), A la posso considerare costante e portare fuori dalla derivata?
=)
=)
Scusa, avevo letto affrettatamente, pensavo che A fosse costante, ma se non dipende dal tempo è come se lo fosse. Per curiosità da cosa dipende A?
Allora considera che la soluzione del moto armonico smorzato nel caso di un oscillatore armonico fatto oscillare in un mezzo viscoso è x(t)=Ae^-(alfa t) cos (w t ) dove
t è il tempo e (Ae^-alfa t)
L'oscillazione avviene in un mezzo viscoso quindi a causa dell'azione della forza ritardatrice (che mi dissipa l'energia) l'ampiezza col passare del tempo deve diminuire . Per farla diminuire ,la faccio dipendere dall'esponenziale decrescente scrivendola come (A e^(-alfa t)) , in modo che sé mi metto nel limite di t-->inf tutta sta parentesi (cioè l'ampiezza va a 0)
ORA siccome devo fa la derivata prima di x(t) che è la derivata del prodotto e quindi devo fa la derivata del primo pezzo che è (Ae^-alfa t) , A lo devo portare fuori nel calcolo della derivata o non?
Ps: Sé non ci fosse stata l'ipotesi che tutta sta parentesi non è costante , l'avrei portata fuori senza problemi , MA c'è questa ipotesi che mette in dubbio la correttezza di questo passaggio
t è il tempo e (Ae^-alfa t)
L'oscillazione avviene in un mezzo viscoso quindi a causa dell'azione della forza ritardatrice (che mi dissipa l'energia) l'ampiezza col passare del tempo deve diminuire . Per farla diminuire ,la faccio dipendere dall'esponenziale decrescente scrivendola come (A e^(-alfa t)) , in modo che sé mi metto nel limite di t-->inf tutta sta parentesi (cioè l'ampiezza va a 0)
ORA siccome devo fa la derivata prima di x(t) che è la derivata del prodotto e quindi devo fa la derivata del primo pezzo che è (Ae^-alfa t) , A lo devo portare fuori nel calcolo della derivata o non?
Ps: Sé non ci fosse stata l'ipotesi che tutta sta parentesi non è costante , l'avrei portata fuori senza problemi , MA c'è questa ipotesi che mette in dubbio la correttezza di questo passaggio
Ma scusa, A è una costante, è il fattore esponenziale che cala nel tempo, dunque A si può portare fuori come ci pare, non mi sembra possano esserci dubbi.
Pensandoci a pancia piena forse è così perché anche sé dal punto di vista fisico è tutto il termine che non è costante perché appunto dipende dal tempo , dal punto di vista analitico è solo l'esponenziale ad essere funzione del tempo e non A che quindi viene ad essere costante moltiplicativa .
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