Velocità vettoriale
Salve!
Ho un dubbio su una parte di questo discorso riguardante il moto nel piano:
Consideriamo due posizioni occupate da un punto $P$ al tempo $t$ e al tempo $t + Delta t$: esse sono individuate dai vettori $r(t)$ e $r(t+Delta t) = r(t) + Delta r $.
Si costruisce il rapporto incrementale $frac{r(t+Delta) - r(t)}{Delta t} = frac{Delta r}{Delta t}$ e si definisce velocità vettoriale il limite per $Delta t -> 0$
$v=dr/dt$
La velocità vettoriale è la derivata del raggio vettore rispetto al tempo. Osserviamo che al limite l'incremento $dr$ del raggio vettore risulta in direzione tangente alla traiettoria nel punto $P$ e in modulo eguale allo spostamento infinitesimo $ds$ lungo la traiettoria.
Ora mi chiedo: Perchè in modulo eguale allo spostamento infinitesimo $ds$ lungo la traiettoria?Forse perchè sia $ds$ che $dr$ sono infinitesimi?
Ho un dubbio su una parte di questo discorso riguardante il moto nel piano:
Consideriamo due posizioni occupate da un punto $P$ al tempo $t$ e al tempo $t + Delta t$: esse sono individuate dai vettori $r(t)$ e $r(t+Delta t) = r(t) + Delta r $.
Si costruisce il rapporto incrementale $frac{r(t+Delta) - r(t)}{Delta t} = frac{Delta r}{Delta t}$ e si definisce velocità vettoriale il limite per $Delta t -> 0$
$v=dr/dt$
La velocità vettoriale è la derivata del raggio vettore rispetto al tempo. Osserviamo che al limite l'incremento $dr$ del raggio vettore risulta in direzione tangente alla traiettoria nel punto $P$ e in modulo eguale allo spostamento infinitesimo $ds$ lungo la traiettoria.
Ora mi chiedo: Perchè in modulo eguale allo spostamento infinitesimo $ds$ lungo la traiettoria?Forse perchè sia $ds$ che $dr$ sono infinitesimi?
Risposte
Mica mi è tanto chiaro il tuo dubbio...
Allora rifaccio il tuo ragionamento partendo al contrario.
Mi trovo in un punto P e mi muovo per raggiungere un punto P' molto vicino a P. Misuro la distanza che percorro (immaginandola rettilinea) per passare da P a P', chiamo ds questa distanza. Misuro anche il tempo che ci metto e lo chiamo dt. Definisco velocità scalare il rapporto $(ds)/(dt)$. Questo concetto è perfettamente compatibile con la mia idea intuitiva di velocità.
Adesso però non mi accontento di questa definizione, ma voglio definire una velocità vettoriale, una grandezza cioè che contenga in sé anche il concetto di direzione oltre che quello di velocità scalare. Allora invento il vettore $\vec(dr)$ avente lunghezza $ds$ e direzione "da P a P'". Poi invento l'operazione "differenza tra vettori" e la applico ai vettori posizione $\vecr$ che individua P e $\vec(r')$ che individua P', dicendo che $\vec(dr)=\vec(r')-\vecr$.
Donque $\vec(r')=\vecr+\vec(dr)$, da cui segue la definizione di velocità vettoriale come rapporto incrementale di questo vettorino infinitesimo $\vec(dr)$ col tempo che ci si impiega per lo spostamento infinitesimo (che per come è stato definito è lungo proprio ds).
Allora rifaccio il tuo ragionamento partendo al contrario.
Mi trovo in un punto P e mi muovo per raggiungere un punto P' molto vicino a P. Misuro la distanza che percorro (immaginandola rettilinea) per passare da P a P', chiamo ds questa distanza. Misuro anche il tempo che ci metto e lo chiamo dt. Definisco velocità scalare il rapporto $(ds)/(dt)$. Questo concetto è perfettamente compatibile con la mia idea intuitiva di velocità.
Adesso però non mi accontento di questa definizione, ma voglio definire una velocità vettoriale, una grandezza cioè che contenga in sé anche il concetto di direzione oltre che quello di velocità scalare. Allora invento il vettore $\vec(dr)$ avente lunghezza $ds$ e direzione "da P a P'". Poi invento l'operazione "differenza tra vettori" e la applico ai vettori posizione $\vecr$ che individua P e $\vec(r')$ che individua P', dicendo che $\vec(dr)=\vec(r')-\vecr$.
Donque $\vec(r')=\vecr+\vec(dr)$, da cui segue la definizione di velocità vettoriale come rapporto incrementale di questo vettorino infinitesimo $\vec(dr)$ col tempo che ci si impiega per lo spostamento infinitesimo (che per come è stato definito è lungo proprio ds).
"Falco5x":
Mica mi è tanto chiaro il tuo dubbio...
Allora rifaccio il tuo ragionamento partendo al contrario.
Mi trovo in un punto P e mi muovo per raggiungere un punto P' molto vicino a P. Misuro la distanza che percorro (immaginandola rettilinea) per passare da P a P', chiamo ds questa distanza. Misuro anche il tempo che ci metto e lo chiamo dt. Definisco velocità scalare il rapporto $(ds)/(dt)$. Questo concetto è perfettamente compatibile con la mia idea intuitiva di velocità.
Adesso però non mi accontento di questa definizione, ma voglio definire una velocità vettoriale, una grandezza cioè che contenga in sé anche il concetto di direzione oltre che quello di velocità scalare. Allora invento il vettore $\vec(dr)$ avente lunghezza $ds$ e direzione "da P a P'". Poi invento l'operazione "differenza tra vettori" e la applico ai vettori posizione $\vecr$ che individua P e $\vec(r')$ che individua P', dicendo che $\vec(dr)=\vec(r')-\vecr$.
Donque $\vec(r')=\vecr+\vec(dr)$, da cui segue la definizione di velocità vettoriale come rapporto incrementale di questo vettorino infinitesimo $\vec(dr)$ col tempo che ci si impiega per lo spostamento infinitesimo (che per come è stato definito è lungo proprio ds).
ok ok grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo