Velocità relative

[manuxy1]

Ciao a tutti.
Ho un problema con un esercizio sulle velocità relative.

$A$ e $B$ viaggiano lungo l'asse x con velocità $4*c/5$ e $3*c/5$ rispetto al suolo. Anche $C$ viaggia nella stessa direzione: a quale velocità rispetto al suolo deve muoversi $C$ per vedere $A$ e $B$ che gli si avvicinano alla stessa velocità? [Soluzione $5*c/7$]

Io ho applicato le trasformate di Lorentz per le velocità per trovare le velocità di $A$ e $B$ rispetto a $C$ e poi le ho eguagliate:

$v'_a=(v_a-v_c)/(1-((v_c*v_a)/c^2)) $
$v'_b=(v_b-v_c)/(1-((v_c*v_b)/c^2)) $

$v'_a=v'_b$

Così facendo ottengo però $v_c=c$ che ovviamente è diverso dalla soluzione.
Cosa ho sbagliato?
Grazie

[step982]

A e B si avvicinano a C, ma non è possibile che si avvicinino entrambe dalla sinistra o dalla destra di C, perchè ciò implicherebbe che a due velocità diverse rispetto al suolo corrispondano velocità uguali rispetto a C; perciò A e B si devono avvicinare a C l'uno da destra e l'altro da sinistra, quindi le loro velocità rispetto a C hanno lo stesso modulo ma verso opposto; questo vuol dire che le prime due equazioni sono esatte, mentre l'ultima è:
$ v'_a=-v'_b $

[Sk_Anonymous]

Giusta l'osservazione di step98. Le due velocità di A e di B possono anche essere equiverse rispetto al riferimento inerziale $O(t,x)$. Ma la velocità di C rispetto al suolo deve essere intermedia tra le due : basta tracciare nel diagramma di Minkowski le linee di universo di A e B, e piazzare bene quella di C, per rendersi conto. Per cui una delle due composizioni relativistiche va "rovesciata".

Si ha, in valore :

$V_a = 0.8c$
$V_b = 0.6c $

LA velocità di C rispetto al suolo è una frazione $x<1$ di $c$ : $V_C = xc $

Per cui l'equazione corretta, componendo le velocità rispetto al suolo relativisticamente nel modo corretto, è :

$(x-0.6)/(1-0.6x) = (0.8-x)/(1-0.8x)$

Si arriva così all'equazione di 2° grado : $1.4x^2 - 2.96x + 1,4 = 0 $

ovvero : $x^2 - 2.11428 x + 1 = 0$

risolvendo la quale, e prendendo la soluzione $<1$ , si trova : $x = 0.71428 \approx 5/7 $ .

[manuxy1]

Grazie mille!