Velocità media su traiettoria andata-ritorno
Un esercizio sul calcolo della velocità media è il seguente:
Un automobile compie un percorso di andata di 50km in un'ora e poi, senza sostare, torna al punto di partenza, lungo la stessa strada dell'andata, in 2 ore.
Si vuole conoscere (in modulo):
a) la velocità media nell'intervallo di tempo compreso tra $t_1 = 0$ e $t_2 = 1h$;
b) la velocità media nell'intervallo di tempo compreso tra tra $t_1 = 0$ e $t_2 = 3h$
Per il punto a), supponendo di rappresentare la traiettoria dell'automobile come ho disegnato di seguito
risulta che
$v_m = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{50 km}{1 h} = 50 {km}/h$
che è in linea con quanto riportato dalla soluzione.
Per quanto riguarda il punto b), osservando che l'automobile parte dall'origine e ritorna dopo 3h allo stesso punto, concludo che la velocità media è un vettore nullo (perchè lo spostamento è un vettore nullo) e di conseguenza il suo modulo è zero.
Invece, la soluzione del libro riporta questo calcolo:
$v_m = \frac{100 km}{3 h} = 33.3 {km}/h$
e poi dice, in aggiunta:
NB: Essendo $\vec{\Delta r} = \bar{0}$, la velocità media vettoriale sul percorso andata-ritorno è nulla.
Com'è possibile che prima dica che il modulo sia pari a 33.3 e poi sia pari a zero?
Un automobile compie un percorso di andata di 50km in un'ora e poi, senza sostare, torna al punto di partenza, lungo la stessa strada dell'andata, in 2 ore.
Si vuole conoscere (in modulo):
a) la velocità media nell'intervallo di tempo compreso tra $t_1 = 0$ e $t_2 = 1h$;
b) la velocità media nell'intervallo di tempo compreso tra tra $t_1 = 0$ e $t_2 = 3h$
Per il punto a), supponendo di rappresentare la traiettoria dell'automobile come ho disegnato di seguito
risulta che
$v_m = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{50 km}{1 h} = 50 {km}/h$
che è in linea con quanto riportato dalla soluzione.
Per quanto riguarda il punto b), osservando che l'automobile parte dall'origine e ritorna dopo 3h allo stesso punto, concludo che la velocità media è un vettore nullo (perchè lo spostamento è un vettore nullo) e di conseguenza il suo modulo è zero.
Invece, la soluzione del libro riporta questo calcolo:
$v_m = \frac{100 km}{3 h} = 33.3 {km}/h$
e poi dice, in aggiunta:
NB: Essendo $\vec{\Delta r} = \bar{0}$, la velocità media vettoriale sul percorso andata-ritorno è nulla.
Com'è possibile che prima dica che il modulo sia pari a 33.3 e poi sia pari a zero?
Risposte
É una cosa che inganna spesso uno studente.
LA macchina , fra andata e ritorno, percorre 100 km , in tre ore di tempo. Perciò la velocità media in questo percorso chiuso è $33.3 (km)/h$. Ma questo valore non è il modulo di un vettore velocità media, perchè il punto iniziale e finale del viaggio coincidono, quindi lo “spostamento vettoriale” è nullo.
LA macchina , fra andata e ritorno, percorre 100 km , in tre ore di tempo. Perciò la velocità media in questo percorso chiuso è $33.3 (km)/h$. Ma questo valore non è il modulo di un vettore velocità media, perchè il punto iniziale e finale del viaggio coincidono, quindi lo “spostamento vettoriale” è nullo.
Continuo a non cogliere la differenza tra i due numeri.
Mi sembra che rappresentino esattamente la stessa cosa.
Mi sembra che rappresentino esattamente la stessa cosa.
Un vettore non è un numero. Il vettore spostamento totale è un vettore nullo:
$vec(Deltar) = vec0$
Ma l’automobile si è spostata da A a B e poi di nuovo in A. Non vedi la differenza?
Se esco in macchina dal mio garage, faccio un bel giro e poi torno a casa e rimetto la macchina in garage, dal punto di vista vettoriale il mio spostamento totale è un vettore nullo. Io però mi trovo ad aver consumato della benzina, fatto soste e ripartenze ai semafori e detto pure qualche parolaccia a qualcuno.
$vec(Deltar) = vec0$
Ma l’automobile si è spostata da A a B e poi di nuovo in A. Non vedi la differenza?
Se esco in macchina dal mio garage, faccio un bel giro e poi torno a casa e rimetto la macchina in garage, dal punto di vista vettoriale il mio spostamento totale è un vettore nullo. Io però mi trovo ad aver consumato della benzina, fatto soste e ripartenze ai semafori e detto pure qualche parolaccia a qualcuno.
Grazie.
Diciamo che il libro non è scritto da persone particolarmente erudite. La velocità media non è definita come la lunghezza totale percorsa diviso il tempo impiegato. Questa è la definizione della velocità media di percorrenza. La velocità media (nel caso unidimensionale) è definita come il rapporto tra lo spostamento e l'intervallo di tempo. In altri termini
$v_m=\frac{Delta s}{Delta t}$ e non come $v_m=\frac{int_{t_0}^{t_f }||gamma'(s)||ds}{Deltat}$
$v_m=\frac{Delta s}{Delta t}$ e non come $v_m=\frac{int_{t_0}^{t_f }||gamma'(s)||ds}{Deltat}$
Sono d'accordo con Brufus: la risposta al punto 2, così come è posto, è zero.
La risposta fornita come esatta è la velocità media sul percorso che è un concetto diverso.
A rigore infatti la velocità media è data da:
$1/(t_f-t_i)int_{t_i}^{t_f} vec v(t)dt$
ed è un vettore.
La velocità media sul percorso è invece è:
$1/(t_f-t_i)int_{t_i}^{t_f} |vec v(t)| dt$
ed è uno scalare, ($vec v(t)$ è la velocità istantanea).
Ovviamente nel linguaggio comune, e non solo, spesso si fa confusione tra i due termini, ma in un testo di fisica sarebbe necessario un maggior rigore, anche perché quelli sono concetti fondamentali.
La risposta fornita come esatta è la velocità media sul percorso che è un concetto diverso.
A rigore infatti la velocità media è data da:
$1/(t_f-t_i)int_{t_i}^{t_f} vec v(t)dt$
ed è un vettore.
La velocità media sul percorso è invece è:
$1/(t_f-t_i)int_{t_i}^{t_f} |vec v(t)| dt$
ed è uno scalare, ($vec v(t)$ è la velocità istantanea).
Ovviamente nel linguaggio comune, e non solo, spesso si fa confusione tra i due termini, ma in un testo di fisica sarebbe necessario un maggior rigore, anche perché quelli sono concetti fondamentali.
Finalmente si spiega: son due concetti diversi, che il libro chiama con lo stesso nome.
Grazie a tutti.
Grazie a tutti.
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