Velocità media in un moto rettilineo uniformemente accelerato

[vitoge478]

Come faccio a dimostrare che in un moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità media in un certo intervallo di tempo è pari alla metà della somma della velocità all'inizio ed alla fine dell'intervallo?

[Brufus1]

basta fare i calcoli.

supponiamo che la legge oraria sia del tipo:
$x(t)=x(t_0)+v(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2$

per definizione la velocità media valutata tra gli istanti $t_1$ e $t_2$ vale:

$v_m=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$

sostituisci ed esegui il calcolo a mano:

$v_m=\frac{x(t_0)+v(t_0)(t_2-t_0)+\frac{1}{2}a(t_2-t_0)^2-[x(t_0)+v(t_0)(t_1-t_0)+\frac{1}{2}a(t_1-t_0)^2]}{t_2-t_1}$

$v_m=\frac{v(t_0)(t_2-t_1)+\frac{1}{2}a(t_2-t_1)(t_2+t_1-2t_0)}{t_2-t_1}$

$v_m=v(t_0)+\frac{1}{2}a(t_2+t_1-2t_0)$

ora calcola

$\frac{v(t_1)+v(t_2)}{2}$ e verifica che i due risultati coincidano.

$v(t_1)=\frac{d}{dt}x(t)|_(t=t_1)$
$v(t_2)=\frac{d}{dt}x(t)|_(t=t_2)$

finisci di fare i calcoli e concludi la dimostrazione

[vitoge478]

"Brufus":basta fare i calcoli.

Il problema è che il libro fa questa affermazione prima di aver introdotto l'equazione oraria del moto uniformemente accelerato. Quindi si dovrebbe poter dimostrare senza usare la legge oraria.

[RenzoDF]

Visto che in un moto uniformemente accelerato la velocità cresce linearmente nel tempo, la dimostrazione è banale, non credi?

[Brufus1]

la definizione di velocitá media é
$v_m:= \frac{\Delta x}{\Delta t}$

ora per dimostrare quell'uguaglianza

$v_m = \frac{v_f+v_i}{2}$

o lavori per via algebrica (unica vera dimostrazione rigorosa) oppure lavori per via grafica con le rette tangenti e secanti ed i relativi coefficienti angolari(pseudo dimostrazione non bourbaki).Non vedo alternative per intraprendere una dimostrazione.