Velocità limite di una spira che attraversa un magnete permanente
Buonasera a tutti,
vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto per il seguente quesito:
Abbiamo una spira quadrata di lato L e resistenza R, che attraversa con velocità iniziale V0 un magnete permanente (pure quadrato di lato L) che genera un campo magnetico uniforme B perpendicolare al magnete stesso (e dunque alla spira).
Durante l'attraversamento, la spira è ovviamente frenata per via dei fenomeni di induzione magnetica.
Si dimostra dunque che la velocità della spira varia con legge esponenziale dal valore iniziale V0 al valore finale V assunto quando la spira ha attraversato completamente il magnete.
Bene, il quesito chiede di dimostrare che, se la velocità iniziale V0 è inferiore ad un valore limite, la spira non riesce a
superare il magnete permanente. Determinare inoltre l'espressione letterale di tale velocità limite.
Ciò che non capisco è da dove provenga questo vincolo della velocità limite, visto che la legge di variazione della velocità tende asintoticamente a zero per un tempo infinito, ovvero la spira dovrebbe avere sempre velocità maggiori di zero, che le permettano di attraversare completamente il magnete.
Grazie mille del vostro aiuto.
vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto per il seguente quesito:
Abbiamo una spira quadrata di lato L e resistenza R, che attraversa con velocità iniziale V0 un magnete permanente (pure quadrato di lato L) che genera un campo magnetico uniforme B perpendicolare al magnete stesso (e dunque alla spira).
Durante l'attraversamento, la spira è ovviamente frenata per via dei fenomeni di induzione magnetica.
Si dimostra dunque che la velocità della spira varia con legge esponenziale dal valore iniziale V0 al valore finale V assunto quando la spira ha attraversato completamente il magnete.
Bene, il quesito chiede di dimostrare che, se la velocità iniziale V0 è inferiore ad un valore limite, la spira non riesce a
superare il magnete permanente. Determinare inoltre l'espressione letterale di tale velocità limite.
Ciò che non capisco è da dove provenga questo vincolo della velocità limite, visto che la legge di variazione della velocità tende asintoticamente a zero per un tempo infinito, ovvero la spira dovrebbe avere sempre velocità maggiori di zero, che le permettano di attraversare completamente il magnete.
Grazie mille del vostro aiuto.
Risposte
Non confondere tempo e spazio.
Dalle relazioni fondamentali per la fem indotta e per la forza elettromagnetica (frenante) ti sarà facile scrivere l'equazione differenziale del primo ordine in $v(t)$ e da questa, integrando ed imponendo il vincolo per lo spazio $x(\infty)<2L$, ricavare la $V_{0_{lim}}$.
Dalle relazioni fondamentali per la fem indotta e per la forza elettromagnetica (frenante) ti sarà facile scrivere l'equazione differenziale del primo ordine in $v(t)$ e da questa, integrando ed imponendo il vincolo per lo spazio $x(\infty)<2L$, ricavare la $V_{0_{lim}}$.
La funzione $v(t) = V_0e^(-kt)$ è sempre maggiore di zero, ma il suo integrale fra $0$ e $infty$, ossia lo spazio percorso, è finito.
Se ci pensi, la situazione è quella di un moto in un regime di attrito viscoso, con la forza di attrito proporzionale alla velocità.
L'esperienza comune dice che un corpo frenato in questo modo non percorre uno spazio infinito.
Qui il frenamento è dovuto alla forza di Lorentz, appunto proporzionale alla velocità.
Da ciò vien fuori una equazione differenziale, come dice il buon RenzoDF, del tipo $ddotx = -kdotx$, che ha per soluzione un esponenziale decrescente.
Se ci pensi, la situazione è quella di un moto in un regime di attrito viscoso, con la forza di attrito proporzionale alla velocità.
L'esperienza comune dice che un corpo frenato in questo modo non percorre uno spazio infinito.
Qui il frenamento è dovuto alla forza di Lorentz, appunto proporzionale alla velocità.
Da ciò vien fuori una equazione differenziale, come dice il buon RenzoDF, del tipo $ddotx = -kdotx$, che ha per soluzione un esponenziale decrescente.
grazie mille ragazzi, ora è chiarissimo.
... e quindi, se vogliamo che al tempo infinito la spira non sia uscita dal magnete, il vincolo sarà $V_0/k<2L$, ovvero $V_{0_{lim}}=2k L$.
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