Velocità in funzione del tempo in un moto di caduta con attrito viscoso (equazioni differenziali)

[BayMax1]

Ciao a tutti !
Eccomi nuovamente in cerca del vostro aiuto su un problema di fisica, ma con un dubbio su analisi matematica. Sto provando a ricavare l'equazione della velocità in funzione del tempo in un moto di caduta in presenza di attrito viscoso. So che potrei ricavarmi la velocità anche derivando l'equazione differenziale del moto, tuttavia sto procedendo in un altro modo, senza passare per questa.
Suppongo di avere un corpo che cade con velocità iniziale $v_0$ (che può essere rivolta sia verso il basso che verso l'alto) e pongo il sistema di riferimento rivolto verso il basso e con origine nel punto di partenza del corpo. Supponiamo che la forza di attrito viscoso abbia equazione $vec(F)=-bvec(v)$, con $b$ coefficiente positivo. Per il secondo principio della dinamica ho che $mv'=mg-bv$. Ora, risolvendo tale equazione considerandola una differenziale lineare del primo ordine, ottengo il risultato cercato, cioè $v(t)=e^(-b/mt)(v_0-gm/b)+gm/b$, che mi pare descrivere bene tutto il moto per qualsiasi velocità ed essendo $gm/b=v_(text(limite))$. Il problema nasce quando provo a risolvere la stessa equazione differenziale trattandola come una variabili separabili (mi pare si possa considerare anche così); in questo caso avrei che

$(dv)/(dt)=g-bm/v->
int_(v_0)^(v(t)) (dv)/(g-b/mv)=int_(0)^(t) dt -> -m/b[ln|g-b/mv|]_(v_0)^(v(t))=t -> |(g-b/mv(t))/(g-b/mv_0)|=e^(-b/mt)$

Ora, essendo il secondo membro sempre positivo (dato che si tratta di un esponenziale), posso togliere il modulo considerando il doppio segno:

$(g-b/mv(t))/(g-b/mv_0)=+-e^(-b/mt)$

giungendo, se ho fatto bene i calcoli, a due diverse soluzioni:

$v(t)=e^(-b/mt)(v_0-gm/b)+gm/b$$(1)$

$v(t)=e^(-b/mt)(-v_0+gm/b)+gm/b (2)$

La $(1)$ è quella corretta ottenuta anche in precedenza, ma la $(2)$, invece, mi restituisce risultati diversi ed incompatibili fisicamente (se, per esempio, sostituisco in questa seconda il tempo zero, non ottengo $v_0$, ma un valore diverso).

Dov'è l'errore ? Cosa mi sfugge ? Ci ho ragionato due giorni, ma non sono riuscito a venirne a capo.

Ringrazio sin da ora quanti mi risponderanno e, come sempre,

saluti

[anonymous_0b37e9]

Il fatto è che:

$AA v_0 in RR : (g-b/mv_0)(g-b/mv) gt= 0$

Quindi:

$AA v_0 in RR : |g-b/mv|=|g-b/mv_0|e^(-b/mt) rarr v=(mg)/b+(v_0-(mg)/b)e^(-b/mt)$

[BayMax1]

Ciao @anonymous_0b37e9 e grazie della risposta !

Tuttavia mi rimane ancora qualche dubbio. Credo mi sia chiara la tua conclusione:

$ AA v_0 in RR : |g-b/mv|=|g-b/mv_0|e^(-b/mt) rarr v=(mg)/b+(v_0-(mg)/b)e^(-b/mt) $

ma non capisco come ricavare la premessa:

$ AA v_0 in RR : (g-b/mv_0)(g-b/mv) gt= 0 $

Potrei abusare della tua pazienza e chiederti, gentilmente, di mostrarmi da dove viene fuori ? Mi rendo conto che sia una relazione sensata e corretta per via della velocità limite, ma questa velocità è qualcosa alla quale vorrei arrivare in un momento successivo, dopo aver ricavato la formula per le velocità e facendone il limite per $t->infty$. In generale $|f(x)|=a hArr f(x)=+-a$ per $a>=0$, ma non capisco perché, in questo caso, non funziona.

[anonymous_0b37e9]

"BayMax":
... ma questa velocità è qualcosa alla quale vorrei arrivare in un momento successivo ...

La proprietà sottostante:

$AA v_0 in RR : (g-b/mv_0)(g-b/mv) gt= 0$

può essere ricavata senza fare alcun riferimento alla velocità limite.

Caso 1

Se, all'istante $t=0$:

$g-b/mv_0 gt 0$

allora, in ogni istante $t gt 0$:

$g-b/mv gt 0$

Caso 2

Se, all'istante $t=0$:

$g-b/mv_0 lt 0$

allora, in ogni istante $t gt 0$:

$g-b/mv lt 0$

Caso 3

Se, all'istante $t=0$:

$g-b/mv_0=0$

allora, in ogni istante $t gt 0$:

$g-b/mv=0$

Basta analizzare, se si vuole, facendo il grafico di a in funzione di v:

$a=g-b/mv$

Proprio per questo motivo:

$|g-b/mv|=|g-b/mv_0|e^(-b/mt) rarr g-b/mv=(-g+b/mv_0)e^(-b/mt)$

non ha alcun senso.

[BayMax1]

Apprezzo tantissimo l'impegno ed il tempo che mi stai dedicando @anonymous_0b37e9, ma purtroppo ancora non riesco a venirne a capo. Se, ad esempio, mi metto nel caso 1, supponendo a $t=0$ $v_0<0$ (cioè rivolta verso l'alto nel mio sistema di riferimento), avrei sicuramente che $ g-b/mv_0 gt 0 $ poiché somma di due termini positivi, ma $ g-b/mv gt 0 $ non $AA t>0$, ma solo fintanto che $v

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[anonymous_0b37e9]

Proviamo a considerare il problema nel piano xy delle soluzioni. Uguagliando a zero il secondo membro della seguente equazione differenziale:

$(dy)/(dx)=ay+b$

si ottiene la soluzione costante:

$y=-b/a$

Ebbene, questa soluzione divide il piano xy in due semipiani tali che, per il teorema di esistenza e unicità, una qualsiasi altra soluzione (tra l'altro, definita su tutto R) è contenuta in uno solo dei due. Quindi, delle due l'una:

$AA x in RR: ay+b gt 0$

$AA x in RR: ay+b lt 0$

Per questo motivo, giunti a questo punto:

$|(ay+b)/(ay_0+b)|=e^(a(x-x_0))$

si deve contemplare solo un caso:

$[(ay+b)/(ay_0+b)=e^(a(x-x_0))] rarr [y=(b/a+y_0)e^(a(x-x_0))-b/a]$

e non l'altro:

$(ay+b)/(ay_0+b)=-e^(a(x-x_0))$

Ovviamente, nel tuo problema:

$[x-=t] ^^ [y-=v]$

Come puoi osservare, se consideri il problema da un punto di vista prettamente matematico, non sono necessarie ipotesi aggiuntive.

[BayMax1]

Accidenti ! Grazie davvero @anonymous_0b37e9 ! Mi mancava proprio un bel pezzo di teoria sulle equazioni differenziali a variabili separabili, che, rispetto alle lineari del primo ordine (per cui questo problema mi pare non si presenti), nascondono delle magagne a cui bisogna fare attenzione, ma sulle quali io, per profonda ignoranza, ho sempre glissato, concentrandomi, in modo che più sbagliato non si può, sull'automatismo di risoluzione invece che approfondire la teoria che c'è dietro. Nelle differenziali a variabili separabili va visto e considerato, se ho ben capito, l'intervallo massimale delle soluzioni, stando attenti ad esistenza ed unicità del problema di Cauchy. Dato che sono una capra, non ho mai dato importanza ad una cosa del genere e questi sono i risultati .

Credimi, non so davvero come ringraziarti della disponibilità, pazienza e del tempo buttato per rispondermi ed illuminarmi .

Grazie infinite !

E, come sempre,

Saluti

[anonymous_0b37e9]

"BayMax":
Nelle differenziali a variabili separabili va visto e considerato, se ho ben capito, l'intervallo massimale delle soluzioni, stando attenti ad esistenza ed unicità del problema di Cauchy.

Certamente. Ad ogni modo, sono cose un po' sottili. In questo caso, anche solo a posteriori:

$y=(b/a+y_0)e^(a(x-x_0))-b/a$

1. Vale il teorema di esistenza e di unicità.
2. Ogni soluzione è definita su tutto R.
Per quanto riguarda il caso generale, anche io sono piuttosto arrugginito. Buon proseguimento.