Velocità finale corpi che si attraggono per gravità
Ciao, amici! Se due corpi di massa rispettivamente $m$ e $M$ sono a grande distanza (cioè, direi, a distanza approssimativente infinita, in cui per convenzione si può porre energia potenziale gravitazionale nulla per entrambi i corpi \(U_m=0=U_M\)) e inizialmente in quiete, ed esercitano uno sull'altro la forza di gravità, che è anche l'unica che agisca su di essi, il mio testo propone di dimostrare che la velocità finale del corpo di massa $m$ è\[v=\sqrt{\frac{2GM^2}{(m+M)r}}.\]
Il mio tentativo di soluzione è basato sul fatto che la nullità della forza esterna preserva la quantità di moto, per cui, chiamata $V$ la velocità della massa $M$, si ha \(mv=MV\). D'altra parte supponendo che siano assenti forze non conservative, data la nullità dell'energia meccanica al momento in cui i corpi hanno distanza infinita, avrei detto che \[\frac{1}{2}mv^2+U_m=0,\quad\quad\quad\frac{1}{2}MV^2+U_M=0 \]dove avrei posto \(U_m=U_m(r)=-\frac{GMm}{r}=U_M(r)=U_M\) (e direi proprio che il mio errore sia qui), da cui, da \(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2-2\frac{GMm}{r}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2+U_m+U_M=0\) e \(V=M^{-1}mv\), ottengo \(v=\sqrt{\frac{4GM^2}{(m+M)r}}\).
Ora, credo che il mio errore stia nel fatto che la differenza di energia potenziale \[U_f-U_i=-\int_{t_i}^{t_f}\mathbf{F}_G(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt=-\int_{r_i}^{r_f} -\frac{Gm_1 m_2}{r^2} dr=-\frac{Gm_1m_2}{r_f}-\Big(-\frac{Gm_1m_2}{r_i}\Big)\]cioè l'opposto del lavoro effettuato dalla forza di gravità esercitata, diciamo, dal corpo puntiforme di massa $m_1$ sul corpo puntiforme di massa $m_2$ che si muove sulla curva parametrizzata da \(\mathbf{r}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}^3\), sia calcolata assumendo il corpo di massa $m_1$ fermo. Qui, invece, le due masse accelerano l'una verso l'altra, attratte da una forza che non è neppure costante, ma crescente e perciò non è legittimo scrivere \(U_{mf}-U_{mi}=U_{mf}=-\frac{GMm}{r_f}\).
Come si arriva, quindi, a \(v=\sqrt{\frac{2GM^2}{(m+M)r}}\)? Noto che è esattamente il risultato che si otterrebbe ponendo \(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2-\frac{GMm}{r}=0\), come se \(-\frac{GMm}{r}\) fosse la somma delle energie potenziali gravitazionali di $M$ rispetto a $m$ e di $m$ rispetto a $M$. Come si giustifica ciò matematicamente?
Tante grazie quanta è la distanza iniziale tra i due corpi del problema!
Il mio tentativo di soluzione è basato sul fatto che la nullità della forza esterna preserva la quantità di moto, per cui, chiamata $V$ la velocità della massa $M$, si ha \(mv=MV\). D'altra parte supponendo che siano assenti forze non conservative, data la nullità dell'energia meccanica al momento in cui i corpi hanno distanza infinita, avrei detto che \[\frac{1}{2}mv^2+U_m=0,\quad\quad\quad\frac{1}{2}MV^2+U_M=0 \]dove avrei posto \(U_m=U_m(r)=-\frac{GMm}{r}=U_M(r)=U_M\) (e direi proprio che il mio errore sia qui), da cui, da \(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2-2\frac{GMm}{r}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2+U_m+U_M=0\) e \(V=M^{-1}mv\), ottengo \(v=\sqrt{\frac{4GM^2}{(m+M)r}}\).
Ora, credo che il mio errore stia nel fatto che la differenza di energia potenziale \[U_f-U_i=-\int_{t_i}^{t_f}\mathbf{F}_G(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)dt=-\int_{r_i}^{r_f} -\frac{Gm_1 m_2}{r^2} dr=-\frac{Gm_1m_2}{r_f}-\Big(-\frac{Gm_1m_2}{r_i}\Big)\]cioè l'opposto del lavoro effettuato dalla forza di gravità esercitata, diciamo, dal corpo puntiforme di massa $m_1$ sul corpo puntiforme di massa $m_2$ che si muove sulla curva parametrizzata da \(\mathbf{r}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}^3\), sia calcolata assumendo il corpo di massa $m_1$ fermo. Qui, invece, le due masse accelerano l'una verso l'altra, attratte da una forza che non è neppure costante, ma crescente e perciò non è legittimo scrivere \(U_{mf}-U_{mi}=U_{mf}=-\frac{GMm}{r_f}\).
Come si arriva, quindi, a \(v=\sqrt{\frac{2GM^2}{(m+M)r}}\)? Noto che è esattamente il risultato che si otterrebbe ponendo \(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2-\frac{GMm}{r}=0\), come se \(-\frac{GMm}{r}\) fosse la somma delle energie potenziali gravitazionali di $M$ rispetto a $m$ e di $m$ rispetto a $M$. Come si giustifica ciò matematicamente?
Tante grazie quanta è la distanza iniziale tra i due corpi del problema!
Risposte
Scusa, cosa vuol dire "velocità finale"? Che forma hanno i corpi? Cos'è $r$ nella formula?
Grazie per l'intervento, Arturo!
"anonymous_ad4c4b":Il testo non specifica che cos'è $r$, ma direi proprio, da quella che è la consuetudine del mio testo, che sia la distanza tra i centri dei corpi di massa $m$ e $M$, che si assumono puntiformi (o sferici, che per le forze centrali a simmetria sferica, è equivalente se non si compenetrano). In questo contesto per "velocità finale" intendo la velocità quando la distanza tra i corpi è $r$.
Scusa, cosa vuol dire "velocità finale"? Che forma hanno i corpi? Cos'è $r$ nella formula?
Direi che baste fare il sistema:
$m v = M V$ (conservazione quantità di moto)
$1/2 m v^2 + 1/2 M V^2 - \frac{G M m}{r}=0$ (conservazione energia).
$m v = M V$ (conservazione quantità di moto)
$1/2 m v^2 + 1/2 M V^2 - \frac{G M m}{r}=0$ (conservazione energia).
Già, infatti direi che la somma del lavoro compiuto dalla forza di gravità \(\mathbf{F}_{G}\) di $M$ su $m$ (identifico i corpi con la loro massa per non essere prolisso) e di quello compiuto dalla gravità, che vale \(-\mathbf{F}_{G}\), di $m$ su $M$ sia lo stesso del lavoro \(\frac{GMm}{r_f}-\frac{GMm}{r_i}\) compiuto dalla gravità di uno dei due corpi, diciamo $M$, pensato fermo sull'altro che muove lungo la curva \(\mathbf{r}_{mM}:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}^3\), infatti, chiamato $W_{Mm}$ il lavoro fatto dal corpo di massa $M$ su quello di massa $m$ e $\mathbf{r}_{mI}$ la posizione di $m$ rispetto ad un sistema inerziale, abbiamo che \[W_{Mm}=\int_{t_i}^{t_f} \mathbf{F}_{G}(t)\cdot\mathbf{r}_{mI}'(t)dt\]\[W_{mM}=\int_{t_i}^{t_f} -\mathbf{F}_{G}(t)\cdot\mathbf{r}_{MI}'(t)dt\]e quindi \[W_{Mm}+W_{mM}=\int_{t_i}^{t_f} \mathbf{F}_{G}(t)\cdot(\mathbf{r}_{mI}'(t)-\mathbf{r}_{MI}'(t))dt =\int_{t_i}^{t_f} \mathbf{F}_{G}(t)\cdot\mathbf{r}_{mM}'(t)dt\]\[=\frac{GMm}{\|\mathbf{r}_{mM}(t_f)\|}-\frac{GMm}{\|\mathbf{r}_{mM}(t_i)\|} \]
Perciò, da \(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2-(W_{Mm}+W_{mM})\), si ottiene la formula che hai scritto che, insieme alla conservazione della quantità di moto, dà la formula del libro.
Spero di non dire scemenze...
Grazie di cuore!
Perciò, da \(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}MV^2-(W_{Mm}+W_{mM})\), si ottiene la formula che hai scritto che, insieme alla conservazione della quantità di moto, dà la formula del libro.
Spero di non dire scemenze...
Grazie di cuore!
Mi sembra che la stai complicando troppo 
Non basta parlare in termini di energia cinetica e potenziale, quest'ultima ben nota? In altre parole, perchè passare dal lavoro?
Non basta parlare in termini di energia cinetica e potenziale, quest'ultima ben nota? In altre parole, perchè passare dal lavoro?
"anonymous_ad4c4b":Il fatto è che io sapevo che cos'è l'energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa $m$ rispetto ad un'altra massa $M$ ferma che esercita su $m$ la forza di gravità e tale energia è definita (a meno di una costante) dalla propria variazione che è proprio l'opposto del lavoro compiuto su $m$ da tale forza di gravità. Dato che tale forza di gravità è una forza centrale a simmetria sferica diretta verso il corpo, immobile, di massa $M$, conosco per questo caso la dimostrazione che essa è conservativa, e da ciò le note formule di conservazione dell'energia, che non ero certo di derivare con rigore senza aver prima verificato che la formula \( \frac{GMm}{r_f}-\frac{GMm}{r_i} \) esprime proprio la somma del lavoro eseguito dalla gravità di $M$ su $m$ e di $m$ su $M$. Tuttavia, osservando che i due corpi del problema esercitano forze opposte l'uno sull'altro e che \(\mathbf{r}_{mI}'-\mathbf{r}_{MI}'=\mathbf{r}_{mM}'\), mi pare di aver risolto...
Mi sembra che la stai complicando troppo
Non basta parlare in termini di energia cinetica e potenziale, quest'ultima ben nota? In altre parole, perchè passare dal lavoro?
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