Velocità di un getto d'acqua che esce da un rubinetto.
Ciao a tutti.
C'è una cisterna contenente acqua. La pressione alla base di quest'ultima è $P_c=1.4atm$. Sempre alla base della cisterna c'è un rubinetto con sezione $S=1cm^2$ da cui fuoriesce un getto d'acqua diretto verticalmente verso il basso. Dovrei calcolare la velocità di questo getto d'acqua.
Mi trovo in difficoltà perchè, per effettuare il calcolo, al posto di avere l'altezza dell'acqua nella cisterna, mi ritrovo, la pressione atmosferica alla base di quest'ultima.
C'è una cisterna contenente acqua. La pressione alla base di quest'ultima è $P_c=1.4atm$. Sempre alla base della cisterna c'è un rubinetto con sezione $S=1cm^2$ da cui fuoriesce un getto d'acqua diretto verticalmente verso il basso. Dovrei calcolare la velocità di questo getto d'acqua.
Mi trovo in difficoltà perchè, per effettuare il calcolo, al posto di avere l'altezza dell'acqua nella cisterna, mi ritrovo, la pressione atmosferica alla base di quest'ultima.
Risposte
Credo manchi qualche dato nel tuo testo...Deve essere fornita per esempio la sezione delle cisterna oppure una indicazione del fattto che si tratti di una cisterna in pressione oppure a pelo libero..
In effetti sembra strano anche a me come problema.
La traccia dell'eserzio fornisce i seguenti dati:
La pressione alla base della cisterna: $P_c=1.4atm$
La sezione del rubinetto $S=1cm^2$
Il rubinetto, da cui fuoriesce il getto d'acqua, si trova alla base della cisterna.
Da questi dati devo ricavare la velocità ('in modulo' ...che neppure ho capito cosa sia) del getto d'acqua che esce dal rubinetto e poi dovrei ricavare anche la sezione del getto d'acqua dopo che quest'ultimo è sceso verso il basso, rispetto al rubinetto, per un tratto pari a $l=20cm$ (la sezione del getto d'acqua se non erro dovrebbe restringersi).
La traccia dell'eserzio fornisce i seguenti dati:
La pressione alla base della cisterna: $P_c=1.4atm$
La sezione del rubinetto $S=1cm^2$
Il rubinetto, da cui fuoriesce il getto d'acqua, si trova alla base della cisterna.
Da questi dati devo ricavare la velocità ('in modulo' ...che neppure ho capito cosa sia) del getto d'acqua che esce dal rubinetto e poi dovrei ricavare anche la sezione del getto d'acqua dopo che quest'ultimo è sceso verso il basso, rispetto al rubinetto, per un tratto pari a $l=20cm$ (la sezione del getto d'acqua se non erro dovrebbe restringersi).
Sul fondo del serbatoio esiste la pressione di 1,4 atm, mentre la pressione esterna è (si suppone) 1 atm. Dunque la differenza di pressione tra interno e esterno è 0,4 atm, ovvero 40520 Pa. Questa differenza di pressione è responsabile del lavoro eseguito su un volumetto d'acqua espulsa. Questo volumetto lo chiamiamo dV. Dunque il lavoro di espulsione di questo volumetto è [tex]dL = \left( {p - {p_0}} \right)dV[/tex]. Questo lavoro deve essere uguale all'incremento di energia cinetica acquistato dal volumetto mesedimo. Ipotizzando l'acqua praticamente ferma all'interno del serbatoio e avente velocità [tex]{v_0}[/tex] all'uscita del foro, l'energia cinetica acquisita dal volumetto è [tex]dT = \frac{1}{2}{v_0}^2dm = \frac{1}{2}{v_0}^2\rho dV[/tex]. Eguagliando questa energia al lavoro fatto dalla differenza di pressione si ha: [tex]\left( {p - {p_0}} \right)dV = \frac{1}{2}{v_0}^2\rho dV[/tex] ovvero:
[tex]{v_0} = \sqrt {\frac{{2\left( {p - {p_0}} \right)}}{\rho }}[/tex]
Come si vede la sezione del buco è ininfluente in questo modello semplificato che non tiene conto della viscosità e attriti vari. Basta che il buco sia abbastanza piccolo da poter approssimare a zero la velocità dell'acqua dentro il serbatoio e costante la pressione a ridosso del buco.
Con i dati numerici si ha [tex]{v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {\rm{40520}}}}{{1000}}} = 9{m \mathord{\left/
{\vphantom {m s}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} s}[/tex]
Dopo 20 cm di discesa la velocità è aumentata diventando [tex]{v_1}^2 = {v_0}^2 + 2gh[/tex] (trasformazione di energia potenziale in energia cinetica). Questa variazione interessa il modulo della velocità. Supponiamo adesso che nel tempo [tex]dt[/tex] esca dal buco un volumetto [tex]dV[/tex] con velocità [tex]{v_0}[/tex]; lo possiamo rappresentare come un cilindretto di sezione [tex]{S_0}[/tex] e lungo [tex]d{l_0} = {v_0}dt[/tex]. Dopo una caduta pari a h=20 cm lo stesso volumetto ha una maggiore velocità, dunque è più lungo perché ha lunghezza [tex]d{l_1} = {v_1}dt[/tex]. Ma siccome il volumetto è sempre lo stesso deve avere minore sezione, infatti [tex]dV = {S_0}{v_0}dt = {S_1}{v_1}dt[/tex].
Dunque la sezione del getto sarà [tex]{S_1} = {S_0}\frac{{{v_0}}}{{{v_1}}} = {S_0}\frac{{{v_0}}}{{\sqrt {{v_0}^2 + 2gh} }}[/tex].
Mettendo i numeri risulta [tex]{S_1} = 1 \cdot \frac{9}{{\sqrt {81 + 2 \cdot 9,8 \cdot 0,2} }} = \frac{9}{{\sqrt {81 + 2 \cdot 9,8 \cdot 0,2} }} \simeq 0,977c{m^2}[/tex]
[tex]{v_0} = \sqrt {\frac{{2\left( {p - {p_0}} \right)}}{\rho }}[/tex]
Come si vede la sezione del buco è ininfluente in questo modello semplificato che non tiene conto della viscosità e attriti vari. Basta che il buco sia abbastanza piccolo da poter approssimare a zero la velocità dell'acqua dentro il serbatoio e costante la pressione a ridosso del buco.
Con i dati numerici si ha [tex]{v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {\rm{40520}}}}{{1000}}} = 9{m \mathord{\left/
{\vphantom {m s}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} s}[/tex]
Dopo 20 cm di discesa la velocità è aumentata diventando [tex]{v_1}^2 = {v_0}^2 + 2gh[/tex] (trasformazione di energia potenziale in energia cinetica). Questa variazione interessa il modulo della velocità. Supponiamo adesso che nel tempo [tex]dt[/tex] esca dal buco un volumetto [tex]dV[/tex] con velocità [tex]{v_0}[/tex]; lo possiamo rappresentare come un cilindretto di sezione [tex]{S_0}[/tex] e lungo [tex]d{l_0} = {v_0}dt[/tex]. Dopo una caduta pari a h=20 cm lo stesso volumetto ha una maggiore velocità, dunque è più lungo perché ha lunghezza [tex]d{l_1} = {v_1}dt[/tex]. Ma siccome il volumetto è sempre lo stesso deve avere minore sezione, infatti [tex]dV = {S_0}{v_0}dt = {S_1}{v_1}dt[/tex].
Dunque la sezione del getto sarà [tex]{S_1} = {S_0}\frac{{{v_0}}}{{{v_1}}} = {S_0}\frac{{{v_0}}}{{\sqrt {{v_0}^2 + 2gh} }}[/tex].
Mettendo i numeri risulta [tex]{S_1} = 1 \cdot \frac{9}{{\sqrt {81 + 2 \cdot 9,8 \cdot 0,2} }} = \frac{9}{{\sqrt {81 + 2 \cdot 9,8 \cdot 0,2} }} \simeq 0,977c{m^2}[/tex]
Grazie per l'esauriente risposta 
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