Velocità di fuga ed energia di legame

[igol10]

"Un missile di 100 tonnellate parte verticalmente dalla superficie della terra con una velocità pari a $ v = v_0/3 $, ove $ v_0 $ è la velocità di fuga (velocità iniziale che consentirebbe al missile di raggiungere distanza infinita dalla terra con velocità nulla). Quale distanza dalla superficie della terra viene raggiunta dal missile? (il raggio della terra è di circa R = 6373 km). Si calcoli l'energia di legame del sistema missile-terra."

Soluzione: (forse )

Intanto mi calcolo la velocità di fuga attraverso la conservazione dell'energia meccanica:
$ E_{i n} = 1/2mv_0^2 - (GMm)/R $
$ E_{fi n} = 0 $
$ v_0 = sqrt(2GM/R) $

Quindi il nostro missile parte con una velocità inferiore a quella di fuga, quindi:
$ E_{i n} = 1/2mv^2 - (GMm)/R $
$ E_{fi n} = - (GMm)/r $
Risolvo in funzione della distanza finale r:
$ (GM)/r = (GM)/R - 1/2v^2 $

$ (GM)/r = (GM)/R - 1/2(v_0/3)^2 $

$ (GM)/r = (GM)/R - (GM)/(9R) => 1/r = 8/(9R) => r = 9/8R = 7169 km$

Ora devo calcolare l'energia di legame del sistema Terra-missile.
Questo sistema è un sistema legato: infatti l'energia meccanica totale del sistema è minore di 0.
L'energia di legame è l' energia minima che deve essere fornita per spezzare il legame: cioè è l'energia che consente al sistema di raggiungere distanze infinite con velocità nulla. Allora:
$ E_{i n} = 1/2mv_0^2 - (GMm)/R $
$ E_{fi n} = 0 = E_{lib} $

Allora: $ DeltaE = E_{lib} - E_{i n} = (GMm)/R - 1/2mv_0^2 $ è l'energia di legame

E' giusto ?? Grazie per l'attenzione.

[donald_zeka]

Mi sembra giusto fino all'energia di legame...non so la definizione di energia di legame, ma sono sicuro che non sia come hai fatto tu...il sistema missile+terra è un sistema conservativo, e quindi quanto vale $DeltaE$?

[igol10]

Ok, essendo conservativo la variazione di energia meccanica totale è zero. Ma io qui sto parlando di energia di legame che mi viene definita come energia minima da fornire per spezzare il legame. Questa definizione sinceramente non aiuta neanche me.

Questo problema è un problema di un tema d'esame e purtroppo non ho la soluzione. Se qualcuno è in grado di calcolare l'energia di legame del sistema sarebbe di grande aiuto .

[donald_zeka]

energia di legame che mi viene definita come energia minima da fornire per spezzare il legame

Allora pensa a cos'è la velocità di fuga, cosa permette di fare la velocità di fuga? Da li la risposta è immediata ( e anzi la risposta l'hai gia ricavata duranti i procedimenti che hai fatto).

[igol10]

Allora è pari proprio all'energia iniziale ?

[donald_zeka]

È quell'energia che la fa arrivare all'infinito con velocità nulla, quindi dall'uguaglianza:

$1/2mv_0^2=GMm/R$

Si nota che l'energia da fornire al missile è $1/2mv_0^2$, e data l'uguaglianza, l'energia di legame è proprio $GMm/R$

[igol10]

ok, ho capito.. grazie mille!