Velocità di fuga di un corpo dalla Terra.

[turtle87crociato]

Mi trovo a studiare il classico problema che chiede di calcolare quanto debba essere la velocità di fuga di un corpo per uscire dall'orbita terrestre.

Vorrei capire perché si imposta in un certo modo, ossia perché alla fine si ottiene $v=sqrt(2GM/r_T)$.

Io parto dal principio di conservazione dell'energia, e dico che, in un campo di forze gravitazionali:

$E=1/2 mv^2 - (GMm)/R_T= cost.$

Adesso mi chiedo:

Come si fa da questo semplice assunto a passare alla disequazione che ci dice che la velocità minima di fuga si può estrapolare esplicitando $v_f$ nella seguente equazione?

$1/2 m (v_f)^2- (GMm)/R_T = 0$

[Faussone]

L'espressione per arrivare a quella formula è questa:

$U_2-U_1=T_1-T_2$

Dove U è l'energia potenziale gravitazionale e T l'energia cinetica: in pratica la variazione di energia potenziale del corpo è bilanciata dalla variazione di energia cinetica.
Il corpo va portato dalla superficie della terra a distanza infinita, dove arriverà a velocità nulla.

Quindi:
$U_2=-G (m M_T)/R_i=0$
dato che $R_i$ è "infinito".
$U_1=G (m M_T)/(R_T)$
$T1=1/2mvf^2$
$T2=0$

Sostituendo ottieni la formula che dici.

[turtle87crociato]

arriverà a velocità nulla.

Scusa l' ignoranza, ma se un corpo esce da un' orbita gravitazionale e nel punto di massima lontananza da un campo gravitazionale esso ha una certa velocità $v_max$, che mantiene per il principio di inerzia una volta uscito dal campo gravitazionale e quindi lontano da ogni attrazione, come fa ad avere velocità nulla?

[Faussone]

Il corpo a mano mano che si allontana dalla terra (mettiamo caso) tende teoricamente a rallentare sempre più perché spende la sua energia cinetica per vincere l'attrazione gravitazionale della terra quindi al limite arriverà a distanza infinita a velocità nulla (se la sua velocità di partenza era uguale esattamente alla velocità di fuga).

Ho usato le espressioni "teoricamente" e "al limite" perchè quello che succede in realtà è che ad una certa distanza l'attrazione gravitazionale della terra diventa trascurabile rispetto a quella di altri corpi, in primis del sole, quindi ad una distanza grande abbastanza dalla terra il corpo sarà attratto dagli altri corpi celeste e non risentirà più dell'attrazione terrestre.

In ogni caso se il corpo ha una velocità almeno pari a quella di fuga hai la sicurezza che uscirà fuori dall'orbita terrestre.
Se nell'universo fosse presente solo la terra il corpo man mano che si allontana tende a rllentare sempre più ma è un fenomeno al limite....

Chiaro?