Velocità di deriva
Salve,
il mio libro di fisica, quando tratta il modello classico della conduzione elettrica, riporta la dimostrazione della formula per la velocità di deriva in un conduttore metallico, ma c'è qualcosa che non mi torna di questa dimostrazione:
sia $v_i$ la velocità di un elettrone subito dopo un urto e $v_{i+1}$ la velocità subito prima dell'urto successivo, si ha
\[ \vec{v}_{i+1} = \vec{v}_i- \frac{e \vec{E}}{m}\small\tau \]
Quello che non mi torna è che successivamente definisce la velocità di deriva come la media della velocità $v_{i+1}$ ( la velocità subito prima dell'urto successivo) ovvero come la velocità media a fine "percorso libero".
\[\vec{v}_d \ = \ <\vec{v}_{i+1}>\ =\ <\vec{v}_i- \frac{e \vec{E}}{m}\small\tau> \ = \ <\vec{v}_i>- \frac{e \vec{E}}{m}\small\tau\]
E in questo modo, dato che il valore atteso nella distribuzione delle velocità subito dopo l'urto rimane nullo (vettore nullo), gli esce come risultato: \[\vec{v}_d = - \frac{e \tau}{m} \vec{E}\]
Ma non si dovrebbe fare la media sulla velocità media nel cammino libero (tra un urto e il successivo) invece che sulla velocità finale? Se così fosse uscirebbe come risultato una velocità di deriva dimezzata rispetto a quella riportata dal libro.
Grazie
il mio libro di fisica, quando tratta il modello classico della conduzione elettrica, riporta la dimostrazione della formula per la velocità di deriva in un conduttore metallico, ma c'è qualcosa che non mi torna di questa dimostrazione:
sia $v_i$ la velocità di un elettrone subito dopo un urto e $v_{i+1}$ la velocità subito prima dell'urto successivo, si ha
\[ \vec{v}_{i+1} = \vec{v}_i- \frac{e \vec{E}}{m}\small\tau \]
Quello che non mi torna è che successivamente definisce la velocità di deriva come la media della velocità $v_{i+1}$ ( la velocità subito prima dell'urto successivo) ovvero come la velocità media a fine "percorso libero".
\[\vec{v}_d \ = \ <\vec{v}_{i+1}>\ =\ <\vec{v}_i- \frac{e \vec{E}}{m}\small\tau> \ = \ <\vec{v}_i>- \frac{e \vec{E}}{m}\small\tau\]
E in questo modo, dato che il valore atteso nella distribuzione delle velocità subito dopo l'urto rimane nullo (vettore nullo), gli esce come risultato: \[\vec{v}_d = - \frac{e \tau}{m} \vec{E}\]
Ma non si dovrebbe fare la media sulla velocità media nel cammino libero (tra un urto e il successivo) invece che sulla velocità finale? Se così fosse uscirebbe come risultato una velocità di deriva dimezzata rispetto a quella riportata dal libro.
Grazie
Risposte
Un suggerimento? Un'idea?
Ho provato a fare ricerche in rete, ma anche le soluzioni più sofisticate che ho visto di fatto passano sempre attraverso il nodo che ha generato il dubbio.
Grazie
Ho provato a fare ricerche in rete, ma anche le soluzioni più sofisticate che ho visto di fatto passano sempre attraverso il nodo che ha generato il dubbio.
Grazie
Up 
A me la dimostrazione che hai scritto non sembra molto corretta, o comunque molto precisa. La velocità di deriva si calcola facendo una media della velocità che hanno le cariche in un generico istante di tempo. Quindi, prendiamo inizialmente una particella al generico tempo $t$. Se $\vec v_i$ è la velocità della particella subito dopo il suo ultimo urto, al generico istante $t$ la velocità $\vec v'_i$ della particella sarà data da:
$\vec v'_i=\vec v_i-\frac {e\vec E\tau _i}{m}$
dove $\tau _i $ è l'intervallo di tempo che è trascorso dal suo ultimo urto fino al tempo $t$. Siccome gli urti non avvengono tutti nello stesso istante per tutte le particelle (quindi in generale gli intervalli $\tau _i$ saranno diversi per ogni particella), e le velocità delle particelle subito dopo gli urti si assumono del tutto casuali, al tempo $t$ ogni particella avrà la sua velocità finale $\vec v'_i$ in generale diversa dalle altre. Mediando su tutte le particelle, si ha quindi la velocità di deriva:
$\vec v_d=\langle \vec v'_i\rangle =\langle \vec v_i\rangle -\langle \frac {e\vec E\tau _i}{m}\rangle $
Siccome le $\vec v_i$ sono casuali, in media la velocità delle particelle dopo un urto è nulla, cioè $\langle \vec v_i\rangle =0$, quindi in definitiva risulta:
$\langle \vec v_d\rangle=-\langle \frac {e\vec E\tau _i}{m}\rangle=-\frac {1}{N} sum_{i=1}^{N}\frac {e\vec E\tau _i}{m}=-\frac{e\vec E}{m}\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}\tau _i=-\frac {e\vec E}{m }\langle \tau \rangle $
dove $\langle \tau \rangle $ è l'intervallo di tempo che in media è trascorso per le varie particelle dal loro ultimo urto fino al tempo $t$.
Spero di aver contribuito a chiarire i tuoi dubbi
$\vec v'_i=\vec v_i-\frac {e\vec E\tau _i}{m}$
dove $\tau _i $ è l'intervallo di tempo che è trascorso dal suo ultimo urto fino al tempo $t$. Siccome gli urti non avvengono tutti nello stesso istante per tutte le particelle (quindi in generale gli intervalli $\tau _i$ saranno diversi per ogni particella), e le velocità delle particelle subito dopo gli urti si assumono del tutto casuali, al tempo $t$ ogni particella avrà la sua velocità finale $\vec v'_i$ in generale diversa dalle altre. Mediando su tutte le particelle, si ha quindi la velocità di deriva:
$\vec v_d=\langle \vec v'_i\rangle =\langle \vec v_i\rangle -\langle \frac {e\vec E\tau _i}{m}\rangle $
Siccome le $\vec v_i$ sono casuali, in media la velocità delle particelle dopo un urto è nulla, cioè $\langle \vec v_i\rangle =0$, quindi in definitiva risulta:
$\langle \vec v_d\rangle=-\langle \frac {e\vec E\tau _i}{m}\rangle=-\frac {1}{N} sum_{i=1}^{N}\frac {e\vec E\tau _i}{m}=-\frac{e\vec E}{m}\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}\tau _i=-\frac {e\vec E}{m }\langle \tau \rangle $
dove $\langle \tau \rangle $ è l'intervallo di tempo che in media è trascorso per le varie particelle dal loro ultimo urto fino al tempo $t$.
Spero di aver contribuito a chiarire i tuoi dubbi
Ecco, così mi piace molto di più! Grazie 
Scusate se rianimo questa discussione, sto analizzando il problema anche io.
La dimostrazione di albireo è molto chiara, ma avrei una domanda.
La velocità di deriva calcolata è però una funzione del tempo, giusto? In particolare una funzione a dente di sega, perchè ogni \(\displaystyle \tau \) secondi avviene un urto, in media (media fatta sugli N elettroni liberi del metallo). In altre parole l'ultima formula la scriverei equivalentemente così:
\(\displaystyle \tau _i =t-t_{0_i} \) (\(\displaystyle t_{0_i} \) è l'istante di tempo a cui è avvenuto l'urto per la i-esima particella)
\(\displaystyle \langle \vec v_d (t)\rangle=-\langle \frac {e\vec (t-t_{0_i}) E}{m}\rangle=-\frac {1}{N} \sum_{i=1}^{N}\frac {e\vec (t-t_{0_i})E}{m}=-\frac{e\vec E}{m}(t-\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{0_i}) =-\frac{e\vec E}{m}(t-t_0) \)
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * v_d(t)
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 105 115 85 0
LI 115 85 115 105 0
LI 115 105 140 85 0
LI 140 85 140 105 0
LI 140 105 165 85 0
LI 165 85 165 105 0
LI 165 105 190 85 0
LI 190 85 190 105 0
LI 190 105 215 85 0
TY 110 110 4 3 0 0 0 * t0
TY 135 110 4 3 0 0 0 * 2t0
TY 160 110 4 3 0 0 0 * 3t0
TY 185 110 4 3 0 0 0 * 4t0[/fcd]
Quindi anche la corrente avrà questo andamento nel tempo, o sbaglio?
Bisognerà poi mediare anche nel tempo per ottenere una conducibilità che sia un valore costante? In quel caso la velocità è ancora dimezzata.
La dimostrazione di albireo è molto chiara, ma avrei una domanda.
La velocità di deriva calcolata è però una funzione del tempo, giusto? In particolare una funzione a dente di sega, perchè ogni \(\displaystyle \tau \) secondi avviene un urto, in media (media fatta sugli N elettroni liberi del metallo). In altre parole l'ultima formula la scriverei equivalentemente così:
\(\displaystyle \tau _i =t-t_{0_i} \) (\(\displaystyle t_{0_i} \) è l'istante di tempo a cui è avvenuto l'urto per la i-esima particella)
\(\displaystyle \langle \vec v_d (t)\rangle=-\langle \frac {e\vec (t-t_{0_i}) E}{m}\rangle=-\frac {1}{N} \sum_{i=1}^{N}\frac {e\vec (t-t_{0_i})E}{m}=-\frac{e\vec E}{m}(t-\frac {1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{0_i}) =-\frac{e\vec E}{m}(t-t_0) \)
[fcd][FIDOCAD]
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FCJ 2 0 3 2 0 1
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TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
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TY 80 115 4 3 0 0 0 *
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LI 115 85 115 105 0
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TY 160 110 4 3 0 0 0 * 3t0
TY 185 110 4 3 0 0 0 * 4t0[/fcd]
Quindi anche la corrente avrà questo andamento nel tempo, o sbaglio?
Bisognerà poi mediare anche nel tempo per ottenere una conducibilità che sia un valore costante? In quel caso la velocità è ancora dimezzata.
Dente di sega?? No, penso che tu ti stia confondendo: in generale non ci sono degli istanti $t$ in cui tutte le particelle contemporaneamente subiscono degli urti, cioè non esistono istanti fissati $t$ in cui $\tau _i=0$ per tutte le particelle ( anche se in teoria non si può escludere, ma la probabilità che si verifichi è praticamente zero). In ogni istante di tempo, in generale, ci sarà qualche particella che avrà subito un urto in quell'istante, qualche altra che avrà subito un urto da poco tempo, altre ancora che avranno viaggiato indisturbate per per un tempo maggiore...e questo, ripeto, qualsiasi sia l'istante di tempo che prendi...quindi in generale $\langle \tau \rangle$ in ogni istante sarà diverso da zero e a maggior ragione di conseguenza non puoi dire che $\langle \tau \rangle=0$ a intervalli di tempo regolari!
Spero di essere stato chiaro.
Spero di essere stato chiaro.
Ti mostro l'analisi, non capisco dove sia il mio errore.
Analizzo le cose con un campo elettrico applicato costante e uniforme.
Per ipotesi gli elettroni non interagiscono con gli ioni (sempre fissi) se non con urti elastici.
La velocità della i-esima particella sarà dunque (tra l'n-esimo urto e il successivo):
[tex]\underline{v_i}(t)=\underline{v_i}(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex]
dove [tex]\underline{v_i}(t_{n_i})[/tex] è la velocità della i-esima particella subito dopo che sia avvenuto l'n-esimo urto per essa, [tex]\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex] è il campo elettrico esterno costante ed uniforme, [tex]e[/tex] è la carica dell'elettrone e [tex]m[/tex] la sua massa.
Per la prima particella:
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * |v_1(t)|
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 100 115 80 0
LI 115 80 115 90 0
LI 115 90 125 80 0
LI 125 80 125 100 0
LI 125 100 165 70 0
LI 165 70 165 85 0
LI 165 85 190 65 0
LI 190 65 190 100 0
LI 190 100 215 80 0
TY 105 110 4 3 0 0 0 * t1_1
TY 120 110 4 3 0 0 0 * t2_1
TY 160 110 4 3 0 0 0 * t3_1
TY 185 110 4 3 0 0 0 * t4_1[/fcd]
per la seconda:
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * |v_2(t)|
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 100 105 85 0
LI 105 85 105 95 0
LI 105 95 125 75 0
LI 125 75 125 95 0
LI 125 95 145 75 0
LI 145 75 145 85 0
LI 145 85 185 50 0
LI 185 50 185 90 0
LI 185 90 210 70 0
TY 100 110 4 3 0 0 0 * t1_2
TY 120 110 4 3 0 0 0 * t2_2
TY 140 110 4 3 0 0 0 * t3_2
TY 180 110 4 3 0 0 0 * t4_2[/fcd]
e così via...
Siccome voglio calcolare la velocità media [tex]\underline{v_m}(t)[/tex] dell'intero sistema di [tex]N[/tex] elettroni, effettuo una media su tutte:
[tex]\underline{v_m}(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t_{n_i})}_{=0}-\frac{e}{m}\left (t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle} \right )\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex]
dove [tex]\left \langle t_n \right \rangle[/tex] è l'istante di tempo medio a cui avviene l'n-esimo urto per l'intero sistema di particelle.
[fcd][FIDOCAD]
LI 95 125 95 45 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 35 4 3 0 0 0 * |v_m(t)|
TY 100 135 4 3 0 0 0 *
LI 80 110 220 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 215 115 4 3 0 0 0 * t
TY 85 120 4 3 0 0 0 *
LI 95 110 120 90 0
LI 120 90 120 110 0
LI 120 110 160 75 0
LI 160 75 160 110 0
LI 160 110 170 100 0
LI 170 100 170 110 0
LI 170 110 190 95 0
LI 190 95 190 110 0
LI 190 110 230 75 0
TY 115 115 4 3 0 0 0 *
TY 150 115 4 3 0 0 0 *
TY 165 115 4 3 0 0 0 *
TY 185 115 4 3 0 0 0 *[/fcd]
che è ancora una funzione del tempo, ovviamente.
Ora diciamo che approssimo i vari intervalli [tex]\left \langle t_{n+1} \right \rangle - \left \langle t_{n} \right \rangle[/tex] come un valore costante tale che l'area media complessiva di quei triangoli venga preservata e chiamiamo l'intervallo di tempo medio \(\displaystyle \tau \), ottenendo:
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * |v_m(t)|
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 105 115 85 0
LI 115 85 115 105 0
LI 115 105 140 85 0
LI 140 85 140 105 0
LI 140 105 165 85 0
LI 165 85 165 105 0
LI 165 105 190 85 0
LI 190 85 190 105 0
LI 190 105 215 85 0
TY 110 110 4 3 0 0 0 * tau
TY 135 110 4 3 0 0 0 * 2 tau
TY 160 110 4 3 0 0 0 * 3 tau
TY 185 110 4 3 0 0 0 * 4 tau[/fcd]
Se effettuo ora anche una media temporale ottengo una velocità di deriva [tex]\underline{v_d}[/tex]:
[tex]\underline{v_d}=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\underline{v_m}(t)\text{d}t=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau } -\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0t \text{d}t=-\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0\frac{\tau}{2}[/tex].
Analizzo le cose con un campo elettrico applicato costante e uniforme.
Per ipotesi gli elettroni non interagiscono con gli ioni (sempre fissi) se non con urti elastici.
La velocità della i-esima particella sarà dunque (tra l'n-esimo urto e il successivo):
[tex]\underline{v_i}(t)=\underline{v_i}(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex]
dove [tex]\underline{v_i}(t_{n_i})[/tex] è la velocità della i-esima particella subito dopo che sia avvenuto l'n-esimo urto per essa, [tex]\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex] è il campo elettrico esterno costante ed uniforme, [tex]e[/tex] è la carica dell'elettrone e [tex]m[/tex] la sua massa.
Per la prima particella:
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * |v_1(t)|
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 100 115 80 0
LI 115 80 115 90 0
LI 115 90 125 80 0
LI 125 80 125 100 0
LI 125 100 165 70 0
LI 165 70 165 85 0
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per la seconda:
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
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TY 140 110 4 3 0 0 0 * t3_2
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e così via...
Siccome voglio calcolare la velocità media [tex]\underline{v_m}(t)[/tex] dell'intero sistema di [tex]N[/tex] elettroni, effettuo una media su tutte:
[tex]\underline{v_m}(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t_{n_i})}_{=0}-\frac{e}{m}\left (t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle} \right )\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex]
dove [tex]\left \langle t_n \right \rangle[/tex] è l'istante di tempo medio a cui avviene l'n-esimo urto per l'intero sistema di particelle.
[fcd][FIDOCAD]
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che è ancora una funzione del tempo, ovviamente.
Ora diciamo che approssimo i vari intervalli [tex]\left \langle t_{n+1} \right \rangle - \left \langle t_{n} \right \rangle[/tex] come un valore costante tale che l'area media complessiva di quei triangoli venga preservata e chiamiamo l'intervallo di tempo medio \(\displaystyle \tau \), ottenendo:
[fcd][FIDOCAD]
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LI 115 105 140 85 0
LI 140 85 140 105 0
LI 140 105 165 85 0
LI 165 85 165 105 0
LI 165 105 190 85 0
LI 190 85 190 105 0
LI 190 105 215 85 0
TY 110 110 4 3 0 0 0 * tau
TY 135 110 4 3 0 0 0 * 2 tau
TY 160 110 4 3 0 0 0 * 3 tau
TY 185 110 4 3 0 0 0 * 4 tau[/fcd]
Se effettuo ora anche una media temporale ottengo una velocità di deriva [tex]\underline{v_d}[/tex]:
[tex]\underline{v_d}=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\underline{v_m}(t)\text{d}t=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau } -\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0t \text{d}t=-\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0\frac{\tau}{2}[/tex].
"Ianero":
[tex]\underline{v_m}(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t_{n_i})}_{=0}-\frac{e}{m}\left (t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle} \right )\underline{\mathfrak{E}}_0[/tex]
dove [tex]\left \langle t_n \right \rangle[/tex] è l'istante di tempo medio a cui avviene l'n-esimo urto per l'intero sistema di particelle.
Il tuo errore non sta tanto nelle formule quanto all'interpretazione che ne dai. $t_n$ non è il tempo medio a cui avviene l'n-esimo urto per tutte le particelle. Infatti ad un istante $t$ generico tu non puoi dire che tutte le particelle hanno subito $n$ urti e che tutte stanno quindi per subire il loro $n+1$-esimo urto. Ogni particella ha la sua storia e ha il suo $n$-esimo urto in istanti diversi! Invece tu, ripeto, stai considerando questa formula pensando che tutte le particelle hanno il loro $n$-esimo urto contemporaneamente in un dato istante $t_n$, ma non è così. Quel $t_n$ che hai definito, invece, semmai sarebbe il tempo medio a cui le particelle hanno subito il loro ultimo urto rispetto al tempo $t$. Ma ogni istante $t$ che tu consideri avrà un suo $t_n$ associato, e in generale $t>t_n$ perchè come ho detto prima, al tempo $t$ alcune particelle avranno subito l'urto, ma la maggior parte delle altre no.
\(\displaystyle t_{n_i} \) è l'istante di tempo in cui l'i-esima particella conclude l'n-esimo urto.
Mediando su tutte le particelle si cancella l'indice i, ovvero si trova in media, per il sistema, quando si conclude l'urto n-esimo, che mi pare proprio questo:
Ad ogni modo il problema, al di là dell'interpretazione, sta nella matematica. Io davvero non riesco a trovare il problema nei miei passaggi e arrivo a una velocità di deriva dimezzata rispetto a quella proposta dai modelli che ho letto.
Tu vedi qualche passaggio sbagliato?
PS: Grazie delle risposte.
Mediando su tutte le particelle si cancella l'indice i, ovvero si trova in media, per il sistema, quando si conclude l'urto n-esimo, che mi pare proprio questo:
"albireo":
Quel tn che hai definito, invece, semmai sarebbe il tempo medio a cui le particelle hanno subito il loro ultimo urto rispetto al tempo t
Ad ogni modo il problema, al di là dell'interpretazione, sta nella matematica. Io davvero non riesco a trovare il problema nei miei passaggi e arrivo a una velocità di deriva dimezzata rispetto a quella proposta dai modelli che ho letto.
Tu vedi qualche passaggio sbagliato?
PS: Grazie delle risposte.
"Ianero":
Ad ogni modo il problema, al di là dell'interpretazione, sta nella matematica.
No, è dall'errore di interpretazione che stai commettendo che scaturisce un ragionamento che ti porta a sbagliare. Infatti tu da questa formula,
"Ianero":
\( \underline{v_m}(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t_{n_i})}_{=0}-\frac{e}{m}\left (t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle} \right )\underline{\mathfrak{E}}_0 \)
fai scaturire questo grafico
"Ianero":
[fcd][FIDOCAD]
LI 95 125 95 45 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 35 4 3 0 0 0 * |v_m(t)|
TY 100 135 4 3 0 0 0 *
LI 80 110 220 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 215 115 4 3 0 0 0 * t
TY 85 120 4 3 0 0 0 *
LI 95 110 120 90 0
LI 120 90 120 110 0
LI 120 110 160 75 0
LI 160 75 160 110 0
LI 160 110 170 100 0
LI 170 100 170 110 0
LI 170 110 190 95 0
LI 190 95 190 110 0
LI 190 110 230 75 0
TY 115 115 4 3 0 0 0 *
TY 150 115 4 3 0 0 0 *
TY 165 115 4 3 0 0 0 *
TY 185 115 4 3 0 0 0 *[/fcd]
che è sbagliato. E tu proprio in base a questo grafico sbagliato vedi che la velocità di deriva è una quantità fortemente variabile, che va regolarmente da zero fino a dei valori massimi e per cui vuoi alla fine farne una media che ti dà un valore dimezzato. In realtà la tua errata interpretazione della formula precedente emerge già dalla notazione (sbagliata) che usi e dal conseguente significato che ne dai.
Allora, ricominciamo:
"Ianero":
\( \displaystyle t_{n_i} \) è l'istante di tempo in cui l'i-esima particella conclude l'n-esimo urto.
Ok, ma non proprio. Soffermati bene già da qui perchè è da qui che parte tutto il ragionamento sbagliato. Stiamo fissando un generico istante $t$: se la particella $i$ prima di questo istante ha fatto $n$ urti, in generale la particella $j$ ne avrà fatti $m$ (con $m\ne n$, in generale). Quindi in teoria è già sbagliato usare la notazione $t_{n_i}$, ed infatti questo ti porta poi a sbagliare ancora:
"Ianero":
Mediando su tutte le particelle si cancella l'indice i, ovvero si trova in media, per il sistema, quando si conclude l'urto n-esimo
Ti ripeto, NO. Dovrebbe essere chiaro ora che è sbagliato dire che "il sistema in media conclude l'urto n-esimo" ad un dato istante $t_n$ perchè ad un generico istante $t$, non tutte le particelle hanno fatto $n$ urti. Per esempio, la particella 1 ha fatto 48 urti e al tempo $t$ il suo $t_1$ vale 3s, la particella 2 ne ha fatti 51 e il suo $t_2$ vale 1s, la particella 3 ne ha fatti 49 e il suo $t_3$ vale 1.4s (numeri a caso). Allora quel $t_n$ che hai introdotto rappresenta la media di questi tempi ma come vedi in questo caso tutte le particelle non hanno tutte fatto lo stesso numero $n$ di urti e hanno inoltre valori di versi di $t_i$.
E' chiaro ora? Se hai capito questo, dovrebbe di conseguenza essere chiaro anche che il tuo grafico del dente di sega per la velocità di deriva qui sopra è sbagliato.
Ok, ho capito il problema, insomma quel pedice n è anch'esso funzione di i.
Allora stavo provando a ricominciare seguendo un ragionamento più lineare, ma comunque non riesco a concludere la cosa giusta.
Ti chiedo per favore ancora un pò di pazienza nell'aiutarmi a capire.
L'equazione del moto per la i-esima particella, valida subito dopo l'n-esimo urto e subito prima dell'n+1-esimo urto è sempre questa, giusto?
\( \displaystyle \underline{v_i}(t)=\underline{v_i}(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0 \)
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * |v_1(t)|
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 100 115 80 0
LI 115 80 115 90 0
LI 115 90 125 80 0
LI 125 80 125 100 0
LI 125 100 165 70 0
LI 165 70 165 85 0
LI 165 85 190 65 0
LI 190 65 190 100 0
LI 190 100 215 80 0
TY 105 110 4 3 0 0 0 * t1_1
TY 120 110 4 3 0 0 0 * t2_1
TY 160 110 4 3 0 0 0 * t3_1
TY 185 110 4 3 0 0 0 * t4_1[/fcd]
dove \(\displaystyle t_{n_i} \) è l'istante di tempo in cui viene concluso l'n-esimo urto dalla i-esima particella.
Corretto questo?
Allora stavo provando a ricominciare seguendo un ragionamento più lineare, ma comunque non riesco a concludere la cosa giusta.
Ti chiedo per favore ancora un pò di pazienza nell'aiutarmi a capire.
L'equazione del moto per la i-esima particella, valida subito dopo l'n-esimo urto e subito prima dell'n+1-esimo urto è sempre questa, giusto?
\( \displaystyle \underline{v_i}(t)=\underline{v_i}(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0 \)
[fcd][FIDOCAD]
LI 90 120 90 40 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 90 30 4 3 0 0 0 * |v_1(t)|
TY 95 130 4 3 0 0 0 *
LI 75 105 215 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 210 110 4 3 0 0 0 * t
TY 80 115 4 3 0 0 0 *
LI 90 100 115 80 0
LI 115 80 115 90 0
LI 115 90 125 80 0
LI 125 80 125 100 0
LI 125 100 165 70 0
LI 165 70 165 85 0
LI 165 85 190 65 0
LI 190 65 190 100 0
LI 190 100 215 80 0
TY 105 110 4 3 0 0 0 * t1_1
TY 120 110 4 3 0 0 0 * t2_1
TY 160 110 4 3 0 0 0 * t3_1
TY 185 110 4 3 0 0 0 * t4_1[/fcd]
dove \(\displaystyle t_{n_i} \) è l'istante di tempo in cui viene concluso l'n-esimo urto dalla i-esima particella.
Corretto questo?
Corretto.
Bene, ora in linea di principio è corretto mediare prima nel tempo il moto della i-esima particella (ottenendo una velocità costante) e poi, ottenute dunque le velocità medie delle singole particelle, effettuare una media di questi valori su tutte le N particelle?
In particolare, per la i-esima particella, si approssima \(\displaystyle t_{n_i} \) con \(\displaystyle n_i \tau \)? (\(\displaystyle \tau \) tempo tra un urto e il successivo per la i-esima particella, \(\displaystyle n_i \) ennesimo urto per quanto riguarda la i-esima particella).
In particolare, per la i-esima particella, si approssima \(\displaystyle t_{n_i} \) con \(\displaystyle n_i \tau \)? (\(\displaystyle \tau \) tempo tra un urto e il successivo per la i-esima particella, \(\displaystyle n_i \) ennesimo urto per quanto riguarda la i-esima particella).
Cioè tu vuoi fare $t_{n_i}=n_i\tau _i$, $t_{m_j}=m_j\tau _j$, $t_{l_k}=l_k\tau _k$, ecc. ma poi cosa ne ricavi? Stai solo scrivendo in modo diverso i tuoi tempi, non ne capisco il senso. Scrivi con le formule cosa vorresti farci con questa nuova scrittura...
L'obiettivo è trovare la velocità di deriva del sistema di N particelle.
L'idea era quella di trovare la velocità di deriva della singola particella (mediare nel tempo la sua \(\displaystyle v_i(t) \) ottenendo una costante \(\displaystyle v_{d_i} \))
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 95 125 95 45 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 35 4 3 0 0 0 * |v_1(t)|
TY 100 135 4 3 0 0 0 *
LI 80 110 220 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 215 115 4 3 0 0 0 * t
TY 85 120 4 3 0 0 0 *
LI 95 105 120 85 0
LI 120 85 120 95 0
LI 120 95 130 85 0
LI 130 85 130 105 0
LI 130 105 170 75 0
LI 170 75 170 90 0
LI 170 90 195 70 0
LI 195 70 195 105 0
LI 195 105 220 85 0
TY 110 115 4 3 0 0 0 * t1_1
TY 125 115 4 3 0 0 0 * t2_1
TY 165 115 4 3 0 0 0 * t3_1
TY 190 115 4 3 0 0 0 * t4_1
TY 80 90 4 3 0 0 2 * vd_1
LI 95 94 225 94 2
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]
per poi fare:
\(\displaystyle \underline{v}_d=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v}_{d_i} \)
come linea di principio mi sembra corretto no?
Per ottenere le \(\displaystyle \underline{v}_{d_i} \) dovrei fare:
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\int_{0}^{t_{n_i}}\underline{v}_i(t)\text{d}t \)
e cioè:
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{t_{k_i}}^{t_{{k+1}_i}}\underline{v}_i(t)\text{d}t \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{t_{k_i}}^{t_{{k+1}_i}}\underline{v}_i(t_{k_i})-\frac{e}{m}(t-t_{k_i})\underline{\mathfrak{E}}_0\text{d}t \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\sum_{k=0}^{n-1}\left [\underline{v}_i(t_{k_i})(t_{{k+1}_i}-t_{k_i})-\frac{e}{2m}(t_{{k+1}_i}-t_{k_i})^2\underline{\mathfrak{E}}_0 \right ] \)
da qui non si può andare avanti se non si approssima: \(\displaystyle t_{{k+1}_i}-t_{k_i} \approx \tau \) ...
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{{n_i} \tau}\sum_{k=0}^{n-1}\left [\underline{v}_i(k_i \tau)\tau-\frac{e}{2m}\tau^2\underline{\mathfrak{E}}_0 \right ] \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{{n_i} }\sum_{k=0}^{n-1}\left [\underline{v}_i(k_i \tau)-\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 \right ] \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\underline{v}_i(k_i \tau)}{n_i}}_{=0}-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 }{n_i}=-\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 \)
mediando ancora sulle \(\displaystyle N \) particelle si ottiene la stessa cosa perchè è sparita la dipendenza da \(\displaystyle i \) nell'espressione di \(\displaystyle \underline{v}_{d_i} \).
L'idea era quella di trovare la velocità di deriva della singola particella (mediare nel tempo la sua \(\displaystyle v_i(t) \) ottenendo una costante \(\displaystyle v_{d_i} \))
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
LI 95 125 95 45 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 95 35 4 3 0 0 0 * |v_1(t)|
TY 100 135 4 3 0 0 0 *
LI 80 110 220 110 0
FCJ 2 0 3 2 0 1
TY 215 115 4 3 0 0 0 * t
TY 85 120 4 3 0 0 0 *
LI 95 105 120 85 0
LI 120 85 120 95 0
LI 120 95 130 85 0
LI 130 85 130 105 0
LI 130 105 170 75 0
LI 170 75 170 90 0
LI 170 90 195 70 0
LI 195 70 195 105 0
LI 195 105 220 85 0
TY 110 115 4 3 0 0 0 * t1_1
TY 125 115 4 3 0 0 0 * t2_1
TY 165 115 4 3 0 0 0 * t3_1
TY 190 115 4 3 0 0 0 * t4_1
TY 80 90 4 3 0 0 2 * vd_1
LI 95 94 225 94 2
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]
per poi fare:
\(\displaystyle \underline{v}_d=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v}_{d_i} \)
come linea di principio mi sembra corretto no?
"albireo":
Scrivi con le formule cosa vorresti farci con questa nuova scrittura...
Per ottenere le \(\displaystyle \underline{v}_{d_i} \) dovrei fare:
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\int_{0}^{t_{n_i}}\underline{v}_i(t)\text{d}t \)
e cioè:
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{t_{k_i}}^{t_{{k+1}_i}}\underline{v}_i(t)\text{d}t \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{t_{k_i}}^{t_{{k+1}_i}}\underline{v}_i(t_{k_i})-\frac{e}{m}(t-t_{k_i})\underline{\mathfrak{E}}_0\text{d}t \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{t_{n_i}}\sum_{k=0}^{n-1}\left [\underline{v}_i(t_{k_i})(t_{{k+1}_i}-t_{k_i})-\frac{e}{2m}(t_{{k+1}_i}-t_{k_i})^2\underline{\mathfrak{E}}_0 \right ] \)
da qui non si può andare avanti se non si approssima: \(\displaystyle t_{{k+1}_i}-t_{k_i} \approx \tau \) ...
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{{n_i} \tau}\sum_{k=0}^{n-1}\left [\underline{v}_i(k_i \tau)\tau-\frac{e}{2m}\tau^2\underline{\mathfrak{E}}_0 \right ] \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{{n_i} }\sum_{k=0}^{n-1}\left [\underline{v}_i(k_i \tau)-\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 \right ] \)
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\underline{v}_i(k_i \tau)}{n_i}}_{=0}-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 }{n_i}=-\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 \)
mediando ancora sulle \(\displaystyle N \) particelle si ottiene la stessa cosa perchè è sparita la dipendenza da \(\displaystyle i \) nell'espressione di \(\displaystyle \underline{v}_{d_i} \).
"Ianero":
L'idea era quella di trovare la velocità di deriva della singola particella (mediare nel tempo la sua \(\displaystyle v_i(t) \) ottenendo una costante \(\displaystyle v_{d_i} \))
per poi fare:
\(\displaystyle \underline{v}_d=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v}_{d_i} \)
come linea di principio mi sembra corretto no?
No. La velocità di deriva non è definita in questo modo. Prendiamo un generico istante $t$. In questo istante di tempo si avrà:
Particella1: $\vec v_1(t)=\vec v_{1}(t_n)-\frac {e\vec E(t-t_n)}{m}$
Particella 2: $\vec v_2(t)=\vec v_{2}(t_l)-\frac {e\vec E(t-t_l)}{m}$
Particella 3: $\vec v_3(t)=\vec v_{3}(t_k)-\frac {e\vec E(t-t_k)}{m}$
ecc.
La velocità di deriva è allora definita come la velocità media di tutte le particelle al tempo $t$ (che non è una media temporale), cioè:
$\vec v_d=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec v_i(t)=\frac {1}{N}(\vec v_1(t)+\vec v_2(t)+\ldots +\vec v_N(t))$.
Tu invece hai fatto a modo tuo e hai introdotto la tua nuova definizione di "velocità di deriva della singola particella" definendola come media temporale della velocità della singola particella. E poi hai calcolato la "vera" velocità di deriva (cioè quella relativa all'insieme delle N particelle) facendo una media su tutte le particelle delle "velocità di deriva delle singole particelle".
Tra l'altro, anche volendo inventare nuovi concetti, alla fine commetti sempre lo stesso errore che ti sto ripetendo dall'inizio e che evidentemente anche se dici di averlo capito, non è così. Infatti tu alla fine dici questo:
"Ianero":
\(\displaystyle \underline{v}_{d_i} =\underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\underline{v}_i(k_i \tau)}{n_i}}_{=0}-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 }{n_i}=-\frac{e}{2m}\tau\underline{\mathfrak{E}}_0 \)
mediando ancora sulle \(\displaystyle N \) particelle si ottiene la stessa cosa perchè è sparita la dipendenza da \(\displaystyle i \) nell'espressione di \(\displaystyle \underline{v}_{d_i} \).
Niente di più sbagliato: stai ancora assumendo che tutte le particelle subiscono gli urti ad intervalli regolari di tempo $\tau $, cioè subiscono gli urti negli stessi identici istanti, cosa che assolutamente non è vera, come ti ho già detto più volte.
Buongiorno e buon Natale. 
Queste equazioni valgono dopo l'n-esimo urto e prima dell'n+1-esimo per la prima particella, dopo l'l-esimo urto e prima dell'l+1-esimo per la seconda particella, dopo il k-esimo urto e prima del k+1-esimo per la terza particella, e così via..
Per scrivere l'espressione di queste velocità in tutto l'asse tempi dal primo urto in poi, posso usare la funzione rettangolo. Ad esempio per per la prima particella (pedice n), la funzione \(\displaystyle R_n(t) \) è definita così (seleziona la parte del moto tra l'urto n e l'urto n+1 della prima particella):
\(\displaystyle R_n(t)=\left\{\begin{matrix}
1 \; \;\;\;\text{se}\;\;\; \; t_n
\end{matrix}\right. \)
per cui:
\(\displaystyle \underline{v}_1(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left (\underline{v}_1(t_n)-\frac{e}{m}(t-t_n)\underline{\mathfrak{E}}_0 \right )R_n(t) \)
poiché per ogni particella bisogna usare indici differenti come hai fatto anche tu, per la prima userò \(\displaystyle n_1 \) (finora chiamato n) per la seconda \(\displaystyle n_2 \) (al posto di l), per la terza \(\displaystyle n_3 \) (al posto di k) e così via.
Dunque deve essere questa qui:
\(\displaystyle \underline{v}_d(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \left [\sum_{n_i=0}^{\infty}\left (\underline{v}_i(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0 \right )R_{n_i}(t) \right ] \)
\(\displaystyle \underline{v}_d(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sum_{n_i=0}^{\infty}\underline{v}_i(t_{n_i})R_{n_i}(t)}_{=0} -\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sum_{n_i=0}^{\infty}(t-t_{n_i}) R_{n_i}(t)}_{\tau?} \)
Sperando che almeno stavolta non abbia fatto errori, non riesco a vedere come possa quel \(\displaystyle \tau \) essere una costante e non una funzione del tempo.
Ancora buona giornata e grazie di tutto
$ \vec v_1(t)=\vec v_{1}(t_n)-\frac {e\vec E(t-t_n)}{m} $
$ \vec v_2(t)=\vec v_{2}(t_l)-\frac {e\vec E(t-t_l)}{m} $
$ \vec v_3(t)=\vec v_{3}(t_k)-\frac {e\vec E(t-t_k)}{m} $
Queste equazioni valgono dopo l'n-esimo urto e prima dell'n+1-esimo per la prima particella, dopo l'l-esimo urto e prima dell'l+1-esimo per la seconda particella, dopo il k-esimo urto e prima del k+1-esimo per la terza particella, e così via..
Per scrivere l'espressione di queste velocità in tutto l'asse tempi dal primo urto in poi, posso usare la funzione rettangolo. Ad esempio per per la prima particella (pedice n), la funzione \(\displaystyle R_n(t) \) è definita così (seleziona la parte del moto tra l'urto n e l'urto n+1 della prima particella):
\(\displaystyle R_n(t)=\left\{\begin{matrix}
1 \; \;\;\;\text{se}\;\;\; \; t_n
\end{matrix}\right. \)
per cui:
\(\displaystyle \underline{v}_1(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left (\underline{v}_1(t_n)-\frac{e}{m}(t-t_n)\underline{\mathfrak{E}}_0 \right )R_n(t) \)
poiché per ogni particella bisogna usare indici differenti come hai fatto anche tu, per la prima userò \(\displaystyle n_1 \) (finora chiamato n) per la seconda \(\displaystyle n_2 \) (al posto di l), per la terza \(\displaystyle n_3 \) (al posto di k) e così via.
"albireo":
La velocità di deriva è allora definita come la velocità media di tutte le particelle al tempo t (che non è una media temporale), cioè:
$ \vec v_d=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec v_i(t)=\frac {1}{N}(\vec v_1(t)+\vec v_2(t)+\ldots +\vec v_N(t)) $
Dunque deve essere questa qui:
\(\displaystyle \underline{v}_d(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \left [\sum_{n_i=0}^{\infty}\left (\underline{v}_i(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0 \right )R_{n_i}(t) \right ] \)
\(\displaystyle \underline{v}_d(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sum_{n_i=0}^{\infty}\underline{v}_i(t_{n_i})R_{n_i}(t)}_{=0} -\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \sum_{n_i=0}^{\infty}(t-t_{n_i}) R_{n_i}(t)}_{\tau?} \)
Sperando che almeno stavolta non abbia fatto errori, non riesco a vedere come possa quel \(\displaystyle \tau \) essere una costante e non una funzione del tempo.
Ancora buona giornata e grazie di tutto
Ciao e Buon Natale. Così va meglio, anche se hai usato una scrittura un po' più complicata per dire la stessa cosa, e quel $\tau $ che hai scritto in realtà è l'intervallo di tempo che in media è trascorso dall'ultimo urto, quindi sarebbe meglio scriverlo come $\langle \tau \rangle $, ma è solo questione di notazione. Comunque nessuno ha detto che questo sia costante, avrà sicuramente le sue fluttuazioni ma di certo non sarà una funzione così fortemente variabile come quel dente di sega che pensavi tu, spero che ora sia chiaro.
Grazie mille 
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