Velocità di deformazione di un fluido
Allora sto studiando un po' meccanica dei fluidi, e mi sono imbattuta in questo:
Una particella fluida per effetto del gradiente di velocità in figurahttp://i67.tinypic.com/2zricr7.jpg, la velocità verticale dei due vertici O e A non è la stessa. Il vertice a destra avrà una velocità superiore, tale che la differenza tra i due spostamenti sia:
$d\xi_2= (delu_2)/(delx_1)\Deltax_1 dt$
Questa parte non riesco a capirla molto bene, perchè per descrivere questo spostamento si scrive cosi?
Una particella fluida per effetto del gradiente di velocità in figurahttp://i67.tinypic.com/2zricr7.jpg, la velocità verticale dei due vertici O e A non è la stessa. Il vertice a destra avrà una velocità superiore, tale che la differenza tra i due spostamenti sia:
$d\xi_2= (delu_2)/(delx_1)\Deltax_1 dt$
Questa parte non riesco a capirla molto bene, perchè per descrivere questo spostamento si scrive cosi?
Risposte
Ma ancora questi metodi primitivi vi insegnano? MA come si fa a capirci qualcosa con quei disegnini? Ecco come sta la questione per bene:
Sia $v(x)$ il campo di velocità di un continuo (non c'è nessun bisogno che sia un fluido, la teoria è generale, a discapito di quanto vi insegnano), possiamo farne l'espansione in serie di Taylor attorno a un generico punto $x_0$:
$v(x)=v(x_0)+gradv(x_0)(x-x_0)+o(abs(x-x_0))$
Possiamo scomporre il gradiente di v in parte simmetrica e antisimmetrica:
$gradv=1/2(gradv+gradv^T)+1/2(gradv-gradv^T)$
Chiamiamo $D=1/2(gradv+gradv^T)$ la velocità di deformazione (è un tensore simmetrico) e $Omega=1/2(gradv-gradv^T)$ la velocità di rotazione (è un tensore antisimmetrico).
Quindi:
$v=v(x_0)+D(x-x_0)+Omega(x-x_0)$
Ossia in un intorno di ogni punto $x_0$ la velocità è ottenuta come somma della velocità del punto $x_0$, della velocità di deformazione in un intorno di x_0 e della velocità di rotazione attorno a $x_0$
Il termine $D=1/2(gradv+gradv^T)=1/2(grad((du)/(dt))+grad((du)/(dt))^T)=d/(dt)1/2(gradu+gradu^T)=dotepsilon$
e' proprio la derivata temporale del tensore delle piccole deformazioni, quello che il tuo testo vuole ottenere con quel metodo osceno.
Inoltre si parte proprio da quella espressione di v per ottenere le equazioni di Navier-Stokes, perché quella equazione ci dice che quando D=0 il moto in un intorno di x_0 è un moto rigido, ossia SENZA deformazione, da qui si parte col cercare un tensore degli sforzi che dipenda linearmente da D e che si annulli quando D=0, perché quando D=0 non c'è scorrimento relativo e quindi non si manifesta la viscosità. Mentre nei tipici testi danno le equazioni di navier-stokes come se uscissero fuori da qulche cilindro magico senza motivo.
Sia $v(x)$ il campo di velocità di un continuo (non c'è nessun bisogno che sia un fluido, la teoria è generale, a discapito di quanto vi insegnano), possiamo farne l'espansione in serie di Taylor attorno a un generico punto $x_0$:
$v(x)=v(x_0)+gradv(x_0)(x-x_0)+o(abs(x-x_0))$
Possiamo scomporre il gradiente di v in parte simmetrica e antisimmetrica:
$gradv=1/2(gradv+gradv^T)+1/2(gradv-gradv^T)$
Chiamiamo $D=1/2(gradv+gradv^T)$ la velocità di deformazione (è un tensore simmetrico) e $Omega=1/2(gradv-gradv^T)$ la velocità di rotazione (è un tensore antisimmetrico).
Quindi:
$v=v(x_0)+D(x-x_0)+Omega(x-x_0)$
Ossia in un intorno di ogni punto $x_0$ la velocità è ottenuta come somma della velocità del punto $x_0$, della velocità di deformazione in un intorno di x_0 e della velocità di rotazione attorno a $x_0$
Il termine $D=1/2(gradv+gradv^T)=1/2(grad((du)/(dt))+grad((du)/(dt))^T)=d/(dt)1/2(gradu+gradu^T)=dotepsilon$
e' proprio la derivata temporale del tensore delle piccole deformazioni, quello che il tuo testo vuole ottenere con quel metodo osceno.
Inoltre si parte proprio da quella espressione di v per ottenere le equazioni di Navier-Stokes, perché quella equazione ci dice che quando D=0 il moto in un intorno di x_0 è un moto rigido, ossia SENZA deformazione, da qui si parte col cercare un tensore degli sforzi che dipenda linearmente da D e che si annulli quando D=0, perché quando D=0 non c'è scorrimento relativo e quindi non si manifesta la viscosità. Mentre nei tipici testi danno le equazioni di navier-stokes come se uscissero fuori da qulche cilindro magico senza motivo.
Scusate se mi intrometto
@Vulplasir, per caso conosci qualche libro che riporti in maniera più dettagliata il procedimento da te esposto? Mi interesserebbe approfondirlo perché mi è nuovo e sembra più immediato di quello a cui sono abituato. In particolare mi interessa il collegamento che hai fatto con le equazioni di NS (che non ho capito molto bene)
@Vulplasir, per caso conosci qualche libro che riporti in maniera più dettagliata il procedimento da te esposto? Mi interesserebbe approfondirlo perché mi è nuovo e sembra più immediato di quello a cui sono abituato. In particolare mi interessa il collegamento che hai fatto con le equazioni di NS (che non ho capito molto bene)
Io l'ho studiata in questo corso che ho seguito http://www.dma.unifi.it/~frosali/didatt ... parte4.pdf
Il problema è essenzialmente questo:
Quando localmente in un punto il campo di velocità non è rigido, ci sono scorrimenti/deformazioni relative, che sono alla base della viscosità. Vogliamo quindi tenere conto della viscosità per modificare l'espressione dello sforzo in un fluido, che nel caso ideale non viscoso era $sigma=-pI$, mentre adesso dovrà essere $sigma=-pI+S$. con S un tensore che tenga conto della viscosità. Per quanto detto questo S deve avere queste proprietà:
1) Deve essere lineare rispetto alla velocità di deformazione $D$, e che si annulli quando D=0, infatti per quanto detto quando D=0 il campo di moto locale è rigido e non c'è deformazione/scorrimento relativo che possa far inorgere viscosità (perché lineare? perché lo decidiamo noi, gran parte degli effetti viscosi è lineare nella velocità, ma niente ci vieta di scegliere una relazione csotitutiva quadratica nelle velocità o quant'altro, basta solo che questa relazione poi sia effettivamente verificata nei fluidi reali, e quella lineare lo è nella maggior parte)
2) deve essere isotropo
2) deve essere simmetrico (perché il tensore degli sforzi è simmetrico)
Adesso, se hai fatto un po' di meccanica dei continui, ti accorgerai che questo problema è del tutto analogo al problema della ricerca della relazione costitutiva elastica lineare (che è spiegata in quel pdf alla fine), solo che il tensore delle piccole deformazioni $epsilon$ è sostituito dal tensore velocità di deformazione $D=dotepsilon$, ma le richieste sono le stesse (linearità, isotropia, simmetria). e quindi, se la soluzione del problema elastico lineare ci dice:
$sigma=lamdatrepsilonI+2muepsilon$
Allora il problema della ricerca del tensore viscoso S ci deve dire:
$S=lamdatrDI+2muD$
Quindi il tensore degli sforzi in un fluido viscoso è:
$sigma=-pI+lamdatrD+2muD$ dove $lamda$ e $mu$ sono i coefficienti di viscosità. Con opportune trasformazioni algebriche, imponendo $2u+3lamda=0$, condizione che caratterizza i cosiddetti fluidi newtoniani, si arriva a eliminare $lamda$ dalle equazioni di navier stokes, ecco perché quando si parla di viscosità ci si riferisce sempre a $mu$
Il problema è essenzialmente questo:
Quando localmente in un punto il campo di velocità non è rigido, ci sono scorrimenti/deformazioni relative, che sono alla base della viscosità. Vogliamo quindi tenere conto della viscosità per modificare l'espressione dello sforzo in un fluido, che nel caso ideale non viscoso era $sigma=-pI$, mentre adesso dovrà essere $sigma=-pI+S$. con S un tensore che tenga conto della viscosità. Per quanto detto questo S deve avere queste proprietà:
1) Deve essere lineare rispetto alla velocità di deformazione $D$, e che si annulli quando D=0, infatti per quanto detto quando D=0 il campo di moto locale è rigido e non c'è deformazione/scorrimento relativo che possa far inorgere viscosità (perché lineare? perché lo decidiamo noi, gran parte degli effetti viscosi è lineare nella velocità, ma niente ci vieta di scegliere una relazione csotitutiva quadratica nelle velocità o quant'altro, basta solo che questa relazione poi sia effettivamente verificata nei fluidi reali, e quella lineare lo è nella maggior parte)
2) deve essere isotropo
2) deve essere simmetrico (perché il tensore degli sforzi è simmetrico)
Adesso, se hai fatto un po' di meccanica dei continui, ti accorgerai che questo problema è del tutto analogo al problema della ricerca della relazione costitutiva elastica lineare (che è spiegata in quel pdf alla fine), solo che il tensore delle piccole deformazioni $epsilon$ è sostituito dal tensore velocità di deformazione $D=dotepsilon$, ma le richieste sono le stesse (linearità, isotropia, simmetria). e quindi, se la soluzione del problema elastico lineare ci dice:
$sigma=lamdatrepsilonI+2muepsilon$
Allora il problema della ricerca del tensore viscoso S ci deve dire:
$S=lamdatrDI+2muD$
Quindi il tensore degli sforzi in un fluido viscoso è:
$sigma=-pI+lamdatrD+2muD$ dove $lamda$ e $mu$ sono i coefficienti di viscosità. Con opportune trasformazioni algebriche, imponendo $2u+3lamda=0$, condizione che caratterizza i cosiddetti fluidi newtoniani, si arriva a eliminare $lamda$ dalle equazioni di navier stokes, ecco perché quando si parla di viscosità ci si riferisce sempre a $mu$
Finalmente ho "capito" da dove viene quel $\tau_{ij} = 2\mu \epsilon_{ij}$ 
L'ho sempre preso come dogma della meccanica dei fluidi...
Grazie per il pdf comunque
L'ho sempre preso come dogma della meccanica dei fluidi...
Grazie per il pdf comunque
$tau=2mudotepsilon$ è valido solo per i fluidi incomprimibili, e chiaramente deriva da quella generale ponendo $trD=0$, che vale quando il fluido è incomprimibile. Un'altra cosa importante che non viene detta è che la viscosità non riguarda solo gli sforzi di taglio, ma chiaramente anche gli sforzi normali, a discapito di quello che viene detto quando si introduce la viscosità, infatti gli ammortizzatori idraulici funzionano proprio su questo principio, c'è una compressione normale sul fluido a una certa velocità, e il fluido reagisce con forza sempre maggiore all'aumentare della velocità di compressione, ma essendo una compressione non ci sono tagli, quindi la viscosità non ha niente a che fare con il taglio ma è solo una dipendenza del tensore degli sforzi, oltre dal gradiente di deformazione, anche dalla velocità di deformazione $sigma=sigma(epsilon, dotepsilon)$...si potrebbe dimostrare che una relazione costitutiva viscosa non può essere scelta a caso ma deve soddisfare $sigma*dotepsilon>=0$ (e la relazione di prima lo soddisfa), ma qui si va oltre.
grazie Vulplasir, sono stata impegnata in questi giorni, quando ho tempo lo guardo e vedo se c’è ancora qualcosa che mi dà dubbio
Grazie Vulplasir, però non mi hai spiegato il perchè di quella scrittura per descrivere lo spostamento da una parte di questa particella fluida, cioè ho capito adesso a cosa vuole arrivare il libro che ho, ma non il metodo, e poi perchè sarebbe osceno?
Ho bisogno di capirlo perchè può anche essere che il professore lo chieda all’esame e non so se spiegandoglielo come hai fatto tu possa andare bene.
Ho bisogno di capirlo perchè può anche essere che il professore lo chieda all’esame e non so se spiegandoglielo come hai fatto tu possa andare bene.
Il metodo è osceno perché fa quello che ho fatto io ma non dichiarandolo. Quello fatto nel libro e solo una approssimazione con Taylor al primo ordine, che è la cosa che ho fatto io, solo che è fatta con le componenti, non in una ottica generale, e soprattutto fa perdere di mira il fatto che la approssimazione con Taylor del campo di velocità e pure del campo degli spostamenti coinvolge un tensore di rotazione e uno di deformazione(tu avrai sentito parlare del tensore delle piccole deformazioni/deformazioni infinitesime...ma scommetto che non hai mai sentito parlare del tensore delle piccole rotazioni...questo perché si usa quel metodo osceno che non ti fa capire cosa stai facendo).
Innanzitutto non è la velocità di una particella che si studia, NON esistono le particelle, esiste solo il continuo, e in ogni punto x del continuo è associata una velocità $v(x)$, quello che si vuole fare è vedere come varia il campo di velocità v(x) in un intorno del punto x (ossia vedere qual è la velocità dei punti vicini a x, NON la velocità dsel punto x, quella la conosciamo), ossia vogliamo determinare la velocità relativa tra il punto x e un punto x' vicino a x.
RIferendoci al tuo disegno, il punto O corrisponde al punto x che ti dicevo prima, è il punto di cui conosciamo la velocità, ci si pone in un sdr solidale ad O, e vogliamo determinare la velocità verticale di A. Chiamiamo $v_2(x_1)$ il campo di velocità verticale, ossia l'andamento della velocità verticale lungo l'asse $x_1$, essendo A vicino a O, possiamo fare una approssimazione con Taylor, che ci dice: $v_2(A)=v_2(O)+(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1$, sicome siamo nel sdr di O allora $v_2(O)=0$, quindi
$v_2(A)=(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1$ (dove la derivata parziale in questione è calcolata in $x_1=O$, ossia in O, che appunto è il punto di cui conosciamo la velocità.
Ma la velocità verticale di A sarà pari al rapporto tra lo spostamento elementare $d xi_2$ nel tempo $dt$, quindi:
$d xi_2=(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1dt$
C'è qualche differenza con l'applicare subito Taylor al campo di velocità?:
$vecv(x)=vecv(x_0)+gradvecv(x_0)(x-x_0)$? e poi dividere il gradiente in parte simmetrica (deformazione) e parte antisimmetrica (rotazione)?
Innanzitutto non è la velocità di una particella che si studia, NON esistono le particelle, esiste solo il continuo, e in ogni punto x del continuo è associata una velocità $v(x)$, quello che si vuole fare è vedere come varia il campo di velocità v(x) in un intorno del punto x (ossia vedere qual è la velocità dei punti vicini a x, NON la velocità dsel punto x, quella la conosciamo), ossia vogliamo determinare la velocità relativa tra il punto x e un punto x' vicino a x.
RIferendoci al tuo disegno, il punto O corrisponde al punto x che ti dicevo prima, è il punto di cui conosciamo la velocità, ci si pone in un sdr solidale ad O, e vogliamo determinare la velocità verticale di A. Chiamiamo $v_2(x_1)$ il campo di velocità verticale, ossia l'andamento della velocità verticale lungo l'asse $x_1$, essendo A vicino a O, possiamo fare una approssimazione con Taylor, che ci dice: $v_2(A)=v_2(O)+(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1$, sicome siamo nel sdr di O allora $v_2(O)=0$, quindi
$v_2(A)=(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1$ (dove la derivata parziale in questione è calcolata in $x_1=O$, ossia in O, che appunto è il punto di cui conosciamo la velocità.
Ma la velocità verticale di A sarà pari al rapporto tra lo spostamento elementare $d xi_2$ nel tempo $dt$, quindi:
$d xi_2=(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1dt$
C'è qualche differenza con l'applicare subito Taylor al campo di velocità?:
$vecv(x)=vecv(x_0)+gradvecv(x_0)(x-x_0)$? e poi dividere il gradiente in parte simmetrica (deformazione) e parte antisimmetrica (rotazione)?
Mm cosa vuoi intendere con l’ultima domanda? Quello che penso è che se applicassi subito taylor e ricavassi tutto, non vedrei che la deformazione angolare di una particella fluida equivarrebbe a due volte la velocità di deformazione... questo volevi dire? Che non sarei riuscita a capire il tutto?
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