Velocità angolare [teoria]
Ciao,
Il libro considera rotazioni con asse coincidente con l'asse $z$. Definisce la velocità angolare istantanea come:
$w=(d(theta))/dt$
Poi dice che si considera positiva se l'angolo aumenta, negativa altrimenti. La direzione è quella dell'asse di rotazione e il verso quello che vede una rotazione antioraria.
A questo punto ho capito che:
La velocità angolare, per come la tratta il libro, è un vettore che ha direzione uguale a quella dell'asse di rotazione e unica componente (z) =$(d(theta))/dt$
Poi però dimostra che il modulo della velocità tangenziale di un punto che si muove di moto circolare è $v=rw$ con $w=(d(theta))/dt$
Ma se $w$ può essere negativo (angolo che diminuisce), come può dare un modulo di una velocità?
Il libro considera rotazioni con asse coincidente con l'asse $z$. Definisce la velocità angolare istantanea come:
$w=(d(theta))/dt$
Poi dice che si considera positiva se l'angolo aumenta, negativa altrimenti. La direzione è quella dell'asse di rotazione e il verso quello che vede una rotazione antioraria.
A questo punto ho capito che:
La velocità angolare, per come la tratta il libro, è un vettore che ha direzione uguale a quella dell'asse di rotazione e unica componente (z) =$(d(theta))/dt$
Poi però dimostra che il modulo della velocità tangenziale di un punto che si muove di moto circolare è $v=rw$ con $w=(d(theta))/dt$
Ma se $w$ può essere negativo (angolo che diminuisce), come può dare un modulo di una velocità?
Risposte
In realtà il segno della velocità angolare indica in che senso hai la rotazione, convenzionalmente $\omega$ è positiva se la rotazione è antioraria e negativa se la rotazione è oraria. Il vettore velocità angolare ha modulo $(d\theta)/dt$, direzione dell’asse di rotazione, quindi normale al piano di rotazione e verso come scritto sopra
"Sabb":
In realtà il segno della velocità angolare indica in che senso hai la rotazione, convenzionalmente $\omega$ è positiva se la rotazione è antioraria e negativa se la rotazione è oraria. Il vettore velocità angolare ha modulo $(d\theta)/dt$, direzione dell’asse di rotazione, quindi normale al piano di rotazione e verso come scritto sopra
Ma $d(theta)/dt$ non è una quantità sempre positiva, come può essere un modulo?
@Analisizero,
Il modulo di un vettore è una grandezza positiva.
Il modulo di un vettore è una grandezza positiva.
"Shackle":
@Analisizero,
Il modulo di un vettore è una grandezza positiva.
Certo, ma non si può dire che:
$||vecw||=d(theta)/dt$ sia una scrittura "giusta"...
Insomma se l'angolo sta diminuendo quella derivata è negativa, o sbaglio?
È più giusto mettere il segno di “modulo “ anche al secondo membro. Poi, il modulo con segno positivo o negativo dà la componente del vettore $vec\omega$ rispetto all’asse di rotazione. E qui entra in gioco la convenzione sul verso della rotazione.
Quindi se fisso l'asse z come asse di rotazione, la derivata dell'angolo rispetto al tempo è la componente (l'unica) lungo z del vettore velocità angolare.
Quindi in questo caso:
$vecw=(0,0,(dphi)/dt)$ e $||vecw||=|(dphi)/dt|$
Giusto?
Quindi in questo caso:
$vecw=(0,0,(dphi)/dt)$ e $||vecw||=|(dphi)/dt|$
Giusto?
Si. Bisogna tener presente che la componente può essere positiva o negativa, secondo che il verso del vettore $vec\omega$ sia concorde oppure discorde con il versore dell’asse orientato $hatk$. Invece il modulo è sempre positivo, o al più nullo.
E fin qui ci siamo, poi però il libro considera un particella in moto circolare attorno a un punto fisso, e trova:
$v=(ds)/dt=(d(rphi))/dt=r(dphi)/dt=rw$
Il problema non è $r$ che va fuori dalla derivata.
È come se considerasse ogni variazione di angolo positiva, cioè misura il senso crescente degli angoli uguale a quello del moto lineare. Altrimenti bisognerebbe avere il valore assoluto della derivata. Giusto?
$v=(ds)/dt=(d(rphi))/dt=r(dphi)/dt=rw$
Il problema non è $r$ che va fuori dalla derivata.
È come se considerasse ogni variazione di angolo positiva, cioè misura il senso crescente degli angoli uguale a quello del moto lineare. Altrimenti bisognerebbe avere il valore assoluto della derivata. Giusto?
Non sono sicuro di avere colto il tuo dubbio. Semplifichiamo con un esempio. Hai un moto circolare, quindi piano, di una particella, per ipotesi NON uniforme. Il piano è $Oxy$, di fronte a te; l’asse $z$ è rivolto verso di te. La velocità della particella è un vettore :
$vecv = (d\vecs)/(dt) $
Che giace nel piano x,y , e ha componenti $v_x$ e $v_y$ variabili nel tempo.
A questo punto ricordiamoci che :
$vecv = vec\omega(t)\timesvecr$
che vale anche istantaneamente, infatti ho evidenziato la dipendenza di $ vecomega$ dal tempo. Il vettore $vecomega$ ora lo abbiamo messo sull’asse di rotazione, che è fisso (se il corpo fosse libero, la situazione sarebbe diversa, come detto in altri post...)
Ora, sai che i vettori non hanno un segno, non sono positivi o negativi; il vettore $ -vecA$ è solo l’opposto di $vecA$ .
Tornando al dubbio, è chiaro che calcoli $ v= omegar$ , ma questa è una relazione tra moduli, perché spesso il modulo si indica con la sola lettera, senza le doppie sbarre e il segno di vettore.E i moduli sono positivi.
Dire che una velocità angolare è positiva o negativa, e basta, può essere ingannevole; posso solo parlare di componente di $vecomega$ positiva o negativa rispetto all’asse di rotazione orientato.
Quando tratti gli spostamenti lineari , che fai? Assumi un asse x, lo orienti positivamente in un verso, poi dici : gli spostamenti del punto materiale nello stesso verso sono positivi, e per averli (supponiamo mru) devo avere una velocità “positiva “ : s=vt . Altrimenti, una v negativa (componente, non modulo!) fa muovere il punto in verso negativo, giusto?
E la stessa cosa fai nel moto circolare, supp. Uniforme:
$theta = omegat$
Il verso positivo degli angoli lo stabilisci tu , in genere è quello antiorario, guardando da sopra, come ti ha già detto Saab. Anche qui, se l'angolo deve crescere, occorre una velocità angolare “positiva”, e se deve diminuire occorre una velocità angolare negativa . Ma sono tutte convenzioni! Se guardi il piano del moto da sotto, il verso antiorario diventa orario.
Non so se ti ho confuso di più...!
$vecv = (d\vecs)/(dt) $
Che giace nel piano x,y , e ha componenti $v_x$ e $v_y$ variabili nel tempo.
A questo punto ricordiamoci che :
$vecv = vec\omega(t)\timesvecr$
che vale anche istantaneamente, infatti ho evidenziato la dipendenza di $ vecomega$ dal tempo. Il vettore $vecomega$ ora lo abbiamo messo sull’asse di rotazione, che è fisso (se il corpo fosse libero, la situazione sarebbe diversa, come detto in altri post...)
Ora, sai che i vettori non hanno un segno, non sono positivi o negativi; il vettore $ -vecA$ è solo l’opposto di $vecA$ .
Tornando al dubbio, è chiaro che calcoli $ v= omegar$ , ma questa è una relazione tra moduli, perché spesso il modulo si indica con la sola lettera, senza le doppie sbarre e il segno di vettore.E i moduli sono positivi.
Dire che una velocità angolare è positiva o negativa, e basta, può essere ingannevole; posso solo parlare di componente di $vecomega$ positiva o negativa rispetto all’asse di rotazione orientato.
Quando tratti gli spostamenti lineari , che fai? Assumi un asse x, lo orienti positivamente in un verso, poi dici : gli spostamenti del punto materiale nello stesso verso sono positivi, e per averli (supponiamo mru) devo avere una velocità “positiva “ : s=vt . Altrimenti, una v negativa (componente, non modulo!) fa muovere il punto in verso negativo, giusto?
E la stessa cosa fai nel moto circolare, supp. Uniforme:
$theta = omegat$
Il verso positivo degli angoli lo stabilisci tu , in genere è quello antiorario, guardando da sopra, come ti ha già detto Saab. Anche qui, se l'angolo deve crescere, occorre una velocità angolare “positiva”, e se deve diminuire occorre una velocità angolare negativa . Ma sono tutte convenzioni! Se guardi il piano del moto da sotto, il verso antiorario diventa orario.
Non so se ti ho confuso di più...!
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