Velocità angolare nelle rotazioni dei sistemi di riferimento
Un sistema di riferimento ruota. Di conseguenza, l'orientamento dei versori che ci danno la direzione degli assi non è costante nel tempo, pertanto nelle trasformazioni bisogna anche calcolare la derivata di questi vettori-versori.
Sappiamo che è:
$(di)/dt = \vec \omega x i$, $(dj)/dt = \vec \omega x j $, $(dk)/dt = \vec \omega x k$, con $i, j, k$ versori del sistema di riferimento che ruota, e con la "$x$" che denota l'operazione di prodotto vettoriale.
Come è da interpretarsi, in tutti e tre i casi, il vettore $\vec \omega$ ?
Che direzione, verso e modulo ha?
Grazie per chi leggerà e eventualmente risponderà a tale thread.
Sappiamo che è:
$(di)/dt = \vec \omega x i$, $(dj)/dt = \vec \omega x j $, $(dk)/dt = \vec \omega x k$, con $i, j, k$ versori del sistema di riferimento che ruota, e con la "$x$" che denota l'operazione di prodotto vettoriale.
Come è da interpretarsi, in tutti e tre i casi, il vettore $\vec \omega$ ?
Che direzione, verso e modulo ha?
Grazie per chi leggerà e eventualmente risponderà a tale thread.
Risposte
Abbi pazienza, ma come spesso mi succede con le tue domande, non capisco cosa chiedi....
Le relazioni che hai scritto dipendono da come è definito $\vec{\omega}$ che sarà ...quello che sarà.
Risposta stupida, ma non ho chiaro bene cosa volevi dire....
Le relazioni che hai scritto dipendono da come è definito $\vec{\omega}$ che sarà ...quello che sarà.
Risposta stupida, ma non ho chiaro bene cosa volevi dire....
Le relazioni che hai scritto dipendono da come è definito che sarà ...quello che sarà.
Ecco appunto, com'è definita $\vec \omega$. Io so che è un vettore ortogonale al piano in cui avviene la rotazione. Quale rotazione? Si suppone sia quella degli estremi liberi di $i, j, k$, che si suppongono punti materiali (per analogia con la circonferenza). La derivata di questi vettori (che essendo versori, hanno moduli costanti, per cui si può considerare la formula di Poisson nel calcolarne la derivata) sarà dunque un vettore con direzione ortogonale al piano di rotazione, come già detto. Se però tali estremi liberi si trovano a descrivere, nella casuale rotazione degli assi, traiettorie su più piani, mi chiedo come saranno le direzioni delle tre derivate di questi vettori.
Oltre alle direzioni, poi, del vettore $\vec \omega$, vorrei conoscere anche il modulo in tutti e tre i casi: non sono infatti molto sicuro che tale modulo sia lo stesso per tutti e tre i vettori. Intuitivamente, mi viene da pensare che sia così, perchè in qulche modo i vettori sono "vincolati" gli uni agli altri nella rotazione.
Sta di fatto che rimane il discorso sulla direzione.
Anche perchè non è un' informazione inutile, se nel teorema delle trasformazioni si vuole visualizzare quanto segue dopo (es. io vorrei visualizzare la velocità di trascinamento, il vettore, proprio, per cercare di passare dalla matematica alla fisica, cosa necessaria, fosse solo per impostare i problemi più complicati).
"turtle87":Le relazioni che hai scritto dipendono da come è definito che sarà ...quello che sarà.
Ecco appunto, com'è definita $\vec \omega$. Io so che è un vettore ortogonale al piano in cui avviene la rotazione. Quale rotazione? Si suppone sia quella degli estremi liberi di $i, j, k$, che si suppongono punti materiali (per analogia con la circonferenza). La derivata di questi vettori (che essendo versori, hanno moduli costanti, per cui si può considerare la formula di Poisson nel calcolarne la derivata) sarà dunque un vettore con direzione ortogonale al piano di rotazione, come già detto. Se però tali estremi liberi si trovano a descrivere, nella casuale rotazione degli assi, traiettorie su più piani, mi chiedo come saranno le direzioni delle tre derivate di questi vettori.
Oltre alle direzioni, poi, del vettore $\vec \omega$, vorrei conoscere anche il modulo in tutti e tre i casi: non sono infatti molto sicuro che tale modulo sia lo stesso per tutti e tre i vettori. Intuitivamente, mi viene da pensare che sia così, perchè in qulche modo i vettori sono "vincolati" gli uni agli altri nella rotazione.
Sta di fatto che rimane il discorso sulla direzione.
Anche perchè non è un' informazione inutile, se nel teorema delle trasformazioni si vuole visualizzare quanto segue dopo (es. io vorrei visualizzare la velocità di trascinamento, il vettore, proprio, per cercare di passare dalla matematica alla fisica, cosa necessaria, fosse solo per impostare i problemi più complicati).
Il vettore $\vec \omega$ si definisce una volta definita una terna rigida, ed è sempre riferito al moto istantaneo di questa terna relativa rispetto ad una altra assoluta.
Le sue componenti sono tali per cui vale che la derivata nel tempo di un vettore posizione $\vec r$ scritto rispetto alla terna relativa e solidale con questa sia pari a $\omega \times \vec r$ .
Se non ricordo male dovrebbe essere (spero di non sbagliare):
$\omega_x=(d \hat j)/(dt) \cdot \hat k $
$\omega_y=(d \hat k)/(dt) \cdot \hat i $
$\omega_z=(d \hat i)/(dt) \cdot \hat j $
Dove $\hat i, \hat j, \hat k$ sono i versori della terna relativa.
Ovviamente il vettore $(d \vec r)/(dt)$ è riferito alla terna assoluta (rispetto a quella relativa sarebbe zero), ma è scritto con le componenti della terna relativa.
Scusa, Faussone, ma tu disponi di materiale da trovare in rete per poter visualizzare tutti i vettori coinvolti nello studio delle forze inerziali? Io voglio semplicemente "vedere" tutti i vettori coinvolti nelle operazioni, anche se mi risulta difficile.
Per quanto riguarda le componenti che tu mi hai fornito, io non so ben calcolare $di/dt$ e gli altri simili $dj/dt$ e $dk/dt$. Insomma, è dura, poichè pare che i tre prodotti scalari che mi hai dato da fare vengano tutti nulli.
Non so, chiedevo del materiale grafico per poter cercare di capire qualcosa in più.
Per quanto riguarda le componenti che tu mi hai fornito, io non so ben calcolare $di/dt$ e gli altri simili $dj/dt$ e $dk/dt$. Insomma, è dura, poichè pare che i tre prodotti scalari che mi hai dato da fare vengano tutti nulli.
Non so, chiedevo del materiale grafico per poter cercare di capire qualcosa in più.
No purtroppo non dispongo di materiale su questo (i miei appunti di meccanica razionale sono rimasti a casa dei miei genitori.. 
) e in rete non so cosa si possa trovare. Sono andato a senso nelle formule sulle componenti di $\omega$...
Sei sicuro che ti viene tutto zero? Magari se descrivi il tipo di moto che hai posso provare a vedere...
) e in rete non so cosa si possa trovare. Sono andato a senso nelle formule sulle componenti di $\omega$...Sei sicuro che ti viene tutto zero? Magari se descrivi il tipo di moto che hai posso provare a vedere...
Ti dico cosa ho fatto sinora, anche se non ci ho perso troppo tempo.
Praticamente ho analizzato il caso di una semplice rotazione, non di una rototraslazione. Ho considerato che il modulo della velocità angolare che regola la rotazione dei tre versori è lo stesso, visto che abbiamo a che fare con una terna rigida.
Poi ho calcolato la derivata di ogni singolo versore. Prendiamo, per semplicità, il singolo caso di uno dei tre. Considero il piano in cui si trovano sia $i$ che $R(i)$ (quest'ultimo è l'immagine di $i$ secondo la rotazione). Traccio un vettore avente come punto di applicazione la punta di $i$, e direzione ortogonale a quella di $i$.
Ripeto l'operazione con $j$ e $k$. Credo di aver così trovato le derivate dei tre versori $i, j, k$ rispetto al tempo.
Per calcolarmi poi l' $\omega$ di tutta la rotazione, che moltiplicato per la somma delle tre derivate $di/dt, dj/dt, dk/dt$ dia un vettore che, sommato a sua volta con il vettore velocità del punto d'origine del sistema in rotazione rispetto a quello considerato fisso, dia la cosiddetta "velocità di trascinamento", io non so come fare. Ho provato a rappresentare questo vettore $\omega$ di tutta la rotazione come la somma di tre vettori $\omega$ ortogonali ai piani di rotazione che individuano i tre versori $i, j, k$ variando nel tempo. Mi esce un vettore che ha origine nell'origine del sistema in rotazione relativa, anche se ovviamente non sono sicuro di aver fatto tutto bene.
Quindi0 $\omega$ in sostanza è un vettore che corrisponde alla somma di tre vettori di modulo uguale che indicano la velocità angolare con cui i singoli versori ruotano nel tempo. Ovviamente, dato un istante specifico (perchè la rotazione non necessariamente avviene con velocità angolare costante).
Praticamente ho analizzato il caso di una semplice rotazione, non di una rototraslazione. Ho considerato che il modulo della velocità angolare che regola la rotazione dei tre versori è lo stesso, visto che abbiamo a che fare con una terna rigida.
Poi ho calcolato la derivata di ogni singolo versore. Prendiamo, per semplicità, il singolo caso di uno dei tre. Considero il piano in cui si trovano sia $i$ che $R(i)$ (quest'ultimo è l'immagine di $i$ secondo la rotazione). Traccio un vettore avente come punto di applicazione la punta di $i$, e direzione ortogonale a quella di $i$.
Ripeto l'operazione con $j$ e $k$. Credo di aver così trovato le derivate dei tre versori $i, j, k$ rispetto al tempo.
Per calcolarmi poi l' $\omega$ di tutta la rotazione, che moltiplicato per la somma delle tre derivate $di/dt, dj/dt, dk/dt$ dia un vettore che, sommato a sua volta con il vettore velocità del punto d'origine del sistema in rotazione rispetto a quello considerato fisso, dia la cosiddetta "velocità di trascinamento", io non so come fare. Ho provato a rappresentare questo vettore $\omega$ di tutta la rotazione come la somma di tre vettori $\omega$ ortogonali ai piani di rotazione che individuano i tre versori $i, j, k$ variando nel tempo. Mi esce un vettore che ha origine nell'origine del sistema in rotazione relativa, anche se ovviamente non sono sicuro di aver fatto tutto bene.
Quindi0 $\omega$ in sostanza è un vettore che corrisponde alla somma di tre vettori di modulo uguale che indicano la velocità angolare con cui i singoli versori ruotano nel tempo. Ovviamente, dato un istante specifico (perchè la rotazione non necessariamente avviene con velocità angolare costante).
Non ho capito molto. Assumi che il sistema di riferimento ruota intorno a quale asse?
Cosa intendi per asse? L'asse nelle rotazioni deve essere per forza uno dei tre $x', y',z'$? Oppure ci può essere anche qualche altro asse?
P.S.- La rotazione, come movimento, non l'ho mai analizzato "come si deve".
In ogni caso, se dici che l'asse debba essere uno dei tre, ho praticamente risolto i miei problemi. In tal caso la direzione di $\vec \omega$, che è quello che mi manca, sarebbe determinata proprio da uno dei tre assi.
P.S.- La rotazione, come movimento, non l'ho mai analizzato "come si deve".
In ogni caso, se dici che l'asse debba essere uno dei tre, ho praticamente risolto i miei problemi. In tal caso la direzione di $\vec \omega$, che è quello che mi manca, sarebbe determinata proprio da uno dei tre assi.
No ovviamente l'asse di rotazione è generico e sarà diretto come il vettore $\omega$.
Il punto è che non capisco da cosa parti e a cosa vuoi arrivare.
Il punto è che non capisco da cosa parti e a cosa vuoi arrivare.
Parto da vettori costanti, che avranno una derivata rispetto al tempo definita in un certo modo, e voglio arrivare a determinare la direzione di questo asse. Quindi, per arrivare a conoscere $\vec \omega$ in tutte e tre le sue caratteristiche, parto da vettori aventi modulo $\omega$ e diretti ortogonalmente ai tre versori $i, j, k$ cioè proprio dalle derivate dei vettori di modulo costante $i, j, k$.
Quindi conosci la direzione dell' asse di rotazione e il modulo della velocità angolare di rotazione attorno ad esso, e vuoi trovare le 3 componenti di $\vec \omega$? Ma già le sai allora!
Oppure forse vuoi verificare le formule che ti ho scritto?
Allora supponiamo che $\vec \omega$ sia diretto secondo la direzione $(\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3)$ del sistema di riferimento relativo, quindi gli $\alpha$ sono i coseni direttori dell'asse di rotazione.
Questo significa che $\vec \omega$ sarà uguale a $\omega \hat \alpha$ quindi in generale ($\omega_1; \omega_2; \omega_3$).
Dunque per esempio $(d \hat i)/(dt)=\vec \omega \times \hat i$=$(0; \omega_3; -\omega_2)$ e se usi la definizione di $\vec \omega$ per componenti che ho dato ritrovi nuovamente $\omega_3$ per la terza componente di $\vec \omega$ . Spero che questo risponda un po' ai tuoi dubbi.
Oppure forse vuoi verificare le formule che ti ho scritto?
Allora supponiamo che $\vec \omega$ sia diretto secondo la direzione $(\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3)$ del sistema di riferimento relativo, quindi gli $\alpha$ sono i coseni direttori dell'asse di rotazione.
Questo significa che $\vec \omega$ sarà uguale a $\omega \hat \alpha$ quindi in generale ($\omega_1; \omega_2; \omega_3$).
Dunque per esempio $(d \hat i)/(dt)=\vec \omega \times \hat i$=$(0; \omega_3; -\omega_2)$ e se usi la definizione di $\vec \omega$ per componenti che ho dato ritrovi nuovamente $\omega_3$ per la terza componente di $\vec \omega$ . Spero che questo risponda un po' ai tuoi dubbi.
Quindi conosci la direzione dell' asse di rotazione e il modulo della velocità angolare di rotazione attorno ad esso, e vuoi trovare le 3 componenti di ? Ma già le sai allora!
Oppure forse vuoi verificare le formule che ti ho scritto?
Se prendo i tre versori singolarmente, e ne analizzo la rotazione, essendo vettori di modulo costante immagino tre vettori velocità angolare $\alpha, \beta, \mu$ rispettivamente per il primo, il secondo, il terzo.
Sono forse $\alpha, \beta, \mu$ le tre componenti dell'unico vettore $\vec \omega$ che si trova sull'asse della rotazione generale, anche per come dimostri dopo?
P.S.- Faussone, se non riesco a spiegarmi, magari riazzero tutto e ricomincio daccapo. Le rotazioni non le conosco, non le ho mai conosciute, quindi mi muovo un po' nell'ombra, nell'immaginazione. Non so trovare del materiale che mi soddisfi, perciò vengo sul forum a cercare di risolvere dei dubbi.
Comunque grazie infinite per la disponibilità avuta per me sinora su questo argomento.
Dici che prendi i tre versori singolarmente e ne analizzi la rotazione.. cosa intendi? Questo significherebbe proprio calcolare le componenti del vettore velocità angolare $\vec \omega$ con le formule che ti dicevo.
Dici che prendi i tre versori singolarmente e ne analizzi la rotazione.. cosa intendi? Questo significherebbe proprio calcolare le componenti del vettore velocità angolare con le formule che ti dicevo.
Sai, l'avevo immaginato. Ho provato a "visualizzare" il tutto per cercare di capirlo meglio, e poi dal grafico, magari, risalire ad una verifica delle formule che tu mi avevi dato per confermare il mio presentimento.
Comunque adesso ci riprovo. Piuttosto, ti chiedo un'ultima cosa: conosci qualche programma freeware, magari utile proprio per dimostrazioni e scopi matematici, in grado di realizzare sistemi di riferimento, traiettorie, nello spazio?
Programma che magari aiuti anche a rappresentare tridimensionalmente campi vettoriali, modelli dello spazio geometrico, e simili?
Disegnare al computer, in tal senso, è la cosa migliore credo, velocizzerebbe notevolmente le dimostrazioni. Sul foglio, per me che non so ancora disegnare è dura raffigurarsi piani inclinati, ortogonali, etc.
Eventualmente estendo la richiesta alla sezione "generale".
Ovvio che l'asse di rotazione è uno dei tre assi, di solito si impone che il corpo giri con asse di rotazione intorno all'asse z.
Faussone, una banale curiosità. Io sono disposto a gettare la spugna per il momento e a rimandare il discorso a quando fra circa quindici anni studierò, se ciò accadrà, meccanica razionale. Tu all'esame di fisica 1 a che livello di analisi ti sei fermato? Hai analizzato solo sistemi di riferimento non inerziali con asse di rotazione coincidente con uno dei suoi tre assi (come suggerisce in maniera compatta Zkeggia), oppure a quel livello (sempre esame di fisica 1) sei andato anche oltre?
"turtle87":
Faussone, una banale curiosità. Io sono disposto a gettare la spugna per il momento e a rimandare il discorso a quando fra circa quindici anni studierò, se ciò accadrà, meccanica razionale. Tu all'esame di fisica 1 a che livello di analisi ti sei fermato? Hai analizzato solo sistemi di riferimento non inerziali con asse di rotazione coincidente con uno dei suoi tre assi (come suggerisce in maniera compatta Zkeggia), oppure a quel livello (sempre esame di fisica 1) sei andato anche oltre?
Per l'esame di fisica 1 penso non sia necessario dover esaminare rotazioni troppo complesse, non conosco il tuo programma di fisica 1, posso dirti che nel mio caso (fisica 1 per ingegneria fatta nel lontano 1994) l' $\vec \omega$ in tutti i problemi di fatto era costante in direzione, non ricordo però il moto di precessione del giroscopio come veniva trattato nella teoria.
E' importante comunque che hai chiaro che in generale $\vec \omega$ è appunto un vettore non allineato con nessun asse, nè costante nel tempo.
ps: non ricordo che facoltà frequenti, ma non credo che passeranno molti anni prima di trovarti alle prese con meccanica razionale
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo