Velocita' angolare corpo rigido
Ciao a tutti,
apro un topic dedicato su questo argomento per chiarire alcuni aspetti.
Come riportato in uno dei messaggi sul forum, fissato un sistema di riferimento "esterno/fisso" possiamo associare al moto di un corpo rigido una velocita' angolare $vec omega$ tale che:
$vec v(P) = vec v(Q) + vec omega times (vec P - vec Q)$
$vec P$, $vec Q$ e $vec v(P)$, $vec v(Q)$ sono rispettivamente i vettori posizione dei punti P e Q appartenenti al corpo rigido e le loro velocita' vettoriali riferite al sistema di riferimento "fisso".
Ora in quel thread con riferimento alla quantita' $vec v(P) - vec v(Q)$ si parla di velocita' relativa tra i punti P e Q.
Il mio dubbio e' il seguente: per ipotesi il corpo in movimento e' rigido per cui mi aspetto che la velocita' relativa tra qualsiasi suoi 2 punti sia sempre nulla.
Quindi forse si intendeva: la velocita' relativa tra P e Q riferita ad un sistema di riferimento "mobile" con origine nel punto O che condivide la velocita' istantanea che il punto O ha nel sistema di riferimento "fisso" ma che tuttavia non e' solidale con il corpo rigido stesso.
In pratica $vec v(P) - vec v(Q)$ altro non e' che la velocita' del punto P nel sitema di riferimento "mobile" che istante per istante ha per origine il punto O e trasla rispetto al sistema di rif. "fisso" con una velocita' istantanea pari a $vec v(Q)$.
Vi torna ? Grazie.
apro un topic dedicato su questo argomento per chiarire alcuni aspetti.
Come riportato in uno dei messaggi sul forum, fissato un sistema di riferimento "esterno/fisso" possiamo associare al moto di un corpo rigido una velocita' angolare $vec omega$ tale che:
$vec v(P) = vec v(Q) + vec omega times (vec P - vec Q)$
$vec P$, $vec Q$ e $vec v(P)$, $vec v(Q)$ sono rispettivamente i vettori posizione dei punti P e Q appartenenti al corpo rigido e le loro velocita' vettoriali riferite al sistema di riferimento "fisso".
Ora in quel thread con riferimento alla quantita' $vec v(P) - vec v(Q)$ si parla di velocita' relativa tra i punti P e Q.
Il mio dubbio e' il seguente: per ipotesi il corpo in movimento e' rigido per cui mi aspetto che la velocita' relativa tra qualsiasi suoi 2 punti sia sempre nulla.
Quindi forse si intendeva: la velocita' relativa tra P e Q riferita ad un sistema di riferimento "mobile" con origine nel punto O che condivide la velocita' istantanea che il punto O ha nel sistema di riferimento "fisso" ma che tuttavia non e' solidale con il corpo rigido stesso.
In pratica $vec v(P) - vec v(Q)$ altro non e' che la velocita' del punto P nel sitema di riferimento "mobile" che istante per istante ha per origine il punto O e trasla rispetto al sistema di rif. "fisso" con una velocita' istantanea pari a $vec v(Q)$.
Vi torna ? Grazie.
Risposte
Ciao @cianfa72 !
Provo a rispondere (o, più che altro, a ragionare insieme a te) in attesa che qualcuno molto più preparato di me dica la sua.
Perché ti aspetti una cosa del genere ? Che io sappia l'ipotesi di corpo rigido prevede solo che la distanza relativa tra qualsiasi coppia di punti rimanga invariata, non la velocità dei punti. Ciò che tu dici è vero nel moto di pura traslazione, ma non in generale. Nel più generico moto di rototraslazione (o anche, semplicemente, in un moto di pura rotazione) i punti del corpo rigido possiedono velocità diverse: prendi una penna per un suo estremo tenendola tra pollice ed indice; ora solleva l'altro estremo e poi lascialo libero di cadere; otterrai il moto di un pendolo in cui l'estremo da te vincolato è fisso, per cui ha velocità nulla, ma tutti gli altri punti della penna (corpo rigido), hanno una velocità diversa da zero ed una velocità relativa rispetto all'estremo che stai tenendo fermo tra le dita.
Infatti nella formula da te citata
Spero di aver almeno in parte risposto alla tua domanda, ma ripeto, attendi pareri più autorevoli del mio e, come sempre,
Saluti
Provo a rispondere (o, più che altro, a ragionare insieme a te) in attesa che qualcuno molto più preparato di me dica la sua.
"cianfa72":
per ipotesi il corpo in movimento e' rigido per cui mi aspetto che la velocita' relativa tra qualsiasi suoi 2 punti sia sempre nulla.
Perché ti aspetti una cosa del genere ? Che io sappia l'ipotesi di corpo rigido prevede solo che la distanza relativa tra qualsiasi coppia di punti rimanga invariata, non la velocità dei punti. Ciò che tu dici è vero nel moto di pura traslazione, ma non in generale. Nel più generico moto di rototraslazione (o anche, semplicemente, in un moto di pura rotazione) i punti del corpo rigido possiedono velocità diverse: prendi una penna per un suo estremo tenendola tra pollice ed indice; ora solleva l'altro estremo e poi lascialo libero di cadere; otterrai il moto di un pendolo in cui l'estremo da te vincolato è fisso, per cui ha velocità nulla, ma tutti gli altri punti della penna (corpo rigido), hanno una velocità diversa da zero ed una velocità relativa rispetto all'estremo che stai tenendo fermo tra le dita.
Infatti nella formula da te citata
"cianfa72":se abbiamo un moto di pura traslazione $vec(omega)=0$ per cui $vec(v)(P)-vec(v)(Q)=0$ e la velocità relativa è 0 perché il moto è di pura traslazione, ma, in generale, puoi avere anche una componente rotazionale che rende la velocità relativa tra due punti di un corpo rigido non nulla.
$ vec v(P) = vec v(Q) + vec omega times (vec P - vec Q) $
Spero di aver almeno in parte risposto alla tua domanda, ma ripeto, attendi pareri più autorevoli del mio e, come sempre,
Saluti
Scusami, supponi di stare al centro di una giostra che ruota stando solidale con essa. In queste condizioni l'osservatore al centro vede fermi i punti sulla periferia della giostra (in pratica ruota con essa).
Ovvero in un sistema di riferimento con origine nel centro della giostra (chiamiamolo Q) e assi solidali con essa la velocità dei punti della giostra ovunque siano e' nulla.
La formula esprime invece la velocità di un punto P della giostra rispetto ad un sistema di riferimento esterno "fisso" (non ruotante).
Se consideriamo invece un sistema di riferimento "mobile" con origine nel centro della giostra Q che ha una velocita' istantanea di sola traslazione rispetto al riferimento fisso pari alla velocita' istantanea di Q nel riferimento fisso, allora il punto P in tale riferimento "mobile" avra' velocita' $vec v(P) - vec v(Q)$.
Ovvero in un sistema di riferimento con origine nel centro della giostra (chiamiamolo Q) e assi solidali con essa la velocità dei punti della giostra ovunque siano e' nulla.
La formula esprime invece la velocità di un punto P della giostra rispetto ad un sistema di riferimento esterno "fisso" (non ruotante).
Se consideriamo invece un sistema di riferimento "mobile" con origine nel centro della giostra Q che ha una velocita' istantanea di sola traslazione rispetto al riferimento fisso pari alla velocita' istantanea di Q nel riferimento fisso, allora il punto P in tale riferimento "mobile" avra' velocita' $vec v(P) - vec v(Q)$.
Qualche altro feedback ? grazie.
Per definizione la velocità di un punto rispetto a un altro è data dalla differenza di velocità tra il primo e il secondo (parliamo di velocità istantanee).
Ovvio che le velocità vanno espresse entrambe rispetto un medesimo sistema di riferimento.
Questo non vuol dire che due punti aventi velocità relative diverse non possano appartenere a uno stesso corpo rigido e ovviamente in un sistema di riferimento solidale con quel corpo rigido i due punti hanno sempre stessa velocità. Ciò accade se il corpo rigido ruota rispetto a un altro sistema di riferimento: è la radice del concetto di rotazione se vuoi.
E sì il concetto di velocità relativa in presenza di sistemi di riferimento in rotazione tra loro è ...relativo.
Questo vale solo se il sistema solidale al corpo rigido non ruota rispetto al tuo riferimento.
Ovvio che le velocità vanno espresse entrambe rispetto un medesimo sistema di riferimento.
Questo non vuol dire che due punti aventi velocità relative diverse non possano appartenere a uno stesso corpo rigido e ovviamente in un sistema di riferimento solidale con quel corpo rigido i due punti hanno sempre stessa velocità. Ciò accade se il corpo rigido ruota rispetto a un altro sistema di riferimento: è la radice del concetto di rotazione se vuoi.
E sì il concetto di velocità relativa in presenza di sistemi di riferimento in rotazione tra loro è ...relativo.
"cianfa72":
per ipotesi il corpo in movimento e' rigido per cui mi aspetto che la velocita' relativa tra qualsiasi suoi 2 punti sia sempre nulla.
Questo vale solo se il sistema solidale al corpo rigido non ruota rispetto al tuo riferimento.
"Faussone":
Questo non vuol dire che due punti aventi velocità relative diverse non possano appartenere a uno stesso corpo rigido e ovviamente in un sistema di riferimento solidale con quel corpo rigido i due punti hanno sempre stessa velocità.
Scusami, ma in un sistema di riferimento solidale con il corpo rigido (ovvero che si muove rigidamente con esso) due punti qualunque appartenenti al corpo stesso non possono che avere velocità nulla (e quindi anche velocità relativa nulla).
ps. forse il punto è semplicemente che io mi riferisco alle derivative nel tempo delle componenti del vettore spostamento tra i 2 punti espresse nel sistema di riferimento solidale al corpo. Esse infatti sono per definizione nulle.
"cianfa72":
Scusami, ma in un sistema di riferimento solidale con il corpo rigido (ovvero che si muove rigidamente con esso) due punti qualunque appartenenti al corpo stesso non possono che avere velocità relativa nulla.
Certo, non ho detto il contrario.
Riguardo questo io non riesco a dire nulla di diverso da quanto ho già espresso.
"Faussone":
Certo, non ho detto il contrario.
Allora ho capito male io, avevo inteso dicessi che nel sistema di riferimento solidale con il corpo rigido 2 punti solidali con il corpo potessero avere velocità non nulle.
"cianfa72":
Allora ho capito male io, avevo inteso dicessi che nel sistema di riferimento solidale con il corpo rigido 2 punti solidali con il corpo potessero avere velocità non nulle.
Certo, in un sistema di riferimento solidale al corpo rigido tutti i punti del corpo rigido hanno stessa velocità nulla. Ma rispetto a un sistema di riferimento in moto rispetto al corpo rigido, la velocità relativa tra due punti del corpo rigido è non nulla se i due riferimenti ruotano uno rispetto all'altro.
"Faussone":
Certo, in un sistema di riferimento solidale al corpo rigido tutti i punti del corpo rigido hanno stessa velocità nulla. Ma rispetto a un sistema di riferimento in moto rispetto al corpo rigido, la velocità relativa tra due punti del corpo rigido è non nulla se i due riferimenti ruotano uno rispetto all'altro.
Solo per esser chiaro:
velocità relativa dei 2 punti solidali con il corpo rigido = velocità del primo punto nel sistema di riferimento in moto (ovvero non solidale con il corpo rigido) - velocità del secondo punto sempre nello stesso sistema di rferimento in moto.
@cianfa72
Sì.
Sì.
Grazie per i chiarimenti 
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