Variazione entropia in caduta per aria
Ciao, amici!
Ho cercato di risolvere un problemino, che mi sembrerebbe a prima vista molto semplice, sulla variazione di entropia, ma la soluzione che trovo io è 10 volte maggiore di quella data dal libro...
Si deve calcolare la variazione di entropia dell'aria, che ha una temperatura di 21 °C, prodotta da un paracadutista di 88 kg in caduta libera per un'altezza h = 380 m a velocità costante.
A me sembrerebbe facile osservare che
$\DeltaE_(mc)=\DeltaU+\Delta K=-mgh+0$
e, dato che questo lavoro non conservativo della resistenza aria suppongo risulti in calore, porrei
$\DeltaS=Q/T=(-\DeltaE_(mc))/T~~(88kg*9.81m/s^2*380m)/((273.15+21)K)~~1.1*10^3$ J/K
mentre il mio libro dà come risultato 0.11 kJ/K, esattamente $1/10$ di quanto da me calcolato.
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!
Davide
Ho cercato di risolvere un problemino, che mi sembrerebbe a prima vista molto semplice, sulla variazione di entropia, ma la soluzione che trovo io è 10 volte maggiore di quella data dal libro...
Si deve calcolare la variazione di entropia dell'aria, che ha una temperatura di 21 °C, prodotta da un paracadutista di 88 kg in caduta libera per un'altezza h = 380 m a velocità costante.
A me sembrerebbe facile osservare che
$\DeltaE_(mc)=\DeltaU+\Delta K=-mgh+0$
e, dato che questo lavoro non conservativo della resistenza aria suppongo risulti in calore, porrei
$\DeltaS=Q/T=(-\DeltaE_(mc))/T~~(88kg*9.81m/s^2*380m)/((273.15+21)K)~~1.1*10^3$ J/K
mentre il mio libro dà come risultato 0.11 kJ/K, esattamente $1/10$ di quanto da me calcolato.
Che cosa ne pensate?
$+oo$ grazie a tutti!
Davide
Risposte
La trasformazione termodinamica dell'aria in questo caso è irreversibile. Il paracadutista infatti non può essere riportato in quota se non spendendo dell'energia, solitamente come carburante che alimenta il motore di un aereo.
La formula che hai utilizzato è relativa ad una trasformazione con scambio di calore a temperatura costante, reversibile.
La formula che hai utilizzato è relativa ad una trasformazione con scambio di calore a temperatura costante, reversibile.
Grazie per la risposta, Sonoqui!!!! In questo caso, allora, come si calcola il calore Q? Grazie ancora!!!!!
Per calore ceduto dal paracadutista all'aria intendi dire l'energia scambiata per l'agitazione termica creata nel paracadutista e il paracadute dall'aria stessa o anche anche l'energia prodotta dal copro del paracadutista?
In condizioni di temperatura stazionarie si può supperre che il paracadutista e il paracadute non abbiano variazione di energia interna nel tempo, per cui la variazione di energia potenziale diventa tutta variazione di energia interna dell'aria, che dopo un certo tempo dal passaggio del paracadutista ritorna praticamente alla stessa pressione che aveva precedentemente, quella atmosferica. L'energia dissipata non può essere recuperata per riportare in quota il paracadutista, cioè per compiere lavoro contro la forza peso, o comunque ottenere un lavoro equivalente.
Conoscendo quindi la pressione atmosferica finale, la massa d'aria si dovrebbe conoscerla e quindi, approssimando l'aria come gas perfetto, si può ricavare la temperatura finale, ovvero lo stato termodinamico finale dell'aria. L'entropia è una variabile di stato, per cui si può calcolare conoscendo questo.
Supponendo che la massa d'aria sia molto grande si può ricavare il risultato, visto che la variazione di entropia specifica risulta con buona approssimazione inversamente proporzionale alla massa d'aria.
In condizioni di temperatura stazionarie si può supperre che il paracadutista e il paracadute non abbiano variazione di energia interna nel tempo, per cui la variazione di energia potenziale diventa tutta variazione di energia interna dell'aria, che dopo un certo tempo dal passaggio del paracadutista ritorna praticamente alla stessa pressione che aveva precedentemente, quella atmosferica. L'energia dissipata non può essere recuperata per riportare in quota il paracadutista, cioè per compiere lavoro contro la forza peso, o comunque ottenere un lavoro equivalente.
Conoscendo quindi la pressione atmosferica finale, la massa d'aria si dovrebbe conoscerla e quindi, approssimando l'aria come gas perfetto, si può ricavare la temperatura finale, ovvero lo stato termodinamico finale dell'aria. L'entropia è una variabile di stato, per cui si può calcolare conoscendo questo.
Supponendo che la massa d'aria sia molto grande si può ricavare il risultato, visto che la variazione di entropia specifica risulta con buona approssimazione inversamente proporzionale alla massa d'aria.
Secondo me il calcolo fatto da Davide alla fine è corretto, se i numeri non tornano di un fattore 10 credo ci sia un errore nel risultato riportato.
La variazione di entropia va calcolata infatti lungo un qualunque cammino reversibile che porta il sistema dallo stato iniziale al finale, qui lo stato iniziale e finale hanno la medesima temperatura e pressione visto che il calore prodotto di fatto si distribuisce nella massa d'aria che è infinita.
E' lecito quindo assumere che la trasformazione avvenga a temperatura costante, si può quindi immaginare una trasformazione reversibile fatta da tanti piccolissimi scambi di quantità infinitesime di calore che avvengono attendendo dopo ciascun passettino di scambio un tempo lungo, sufficiente a che la temperatura dell'aria sia uniforme e di fatto invariata rispetto a quella iniziale per quanto detto.
La variazione di entropia va calcolata infatti lungo un qualunque cammino reversibile che porta il sistema dallo stato iniziale al finale, qui lo stato iniziale e finale hanno la medesima temperatura e pressione visto che il calore prodotto di fatto si distribuisce nella massa d'aria che è infinita.
E' lecito quindo assumere che la trasformazione avvenga a temperatura costante, si può quindi immaginare una trasformazione reversibile fatta da tanti piccolissimi scambi di quantità infinitesime di calore che avvengono attendendo dopo ciascun passettino di scambio un tempo lungo, sufficiente a che la temperatura dell'aria sia uniforme e di fatto invariata rispetto a quella iniziale per quanto detto.
Tante grazie quanta è la massa (idealizzata) dell'aria in cui si dissipa il calore prodotto dal paracadutista! 
@faussone: andrebbero fatte delle valutazioni su equazione di stato della massa d'aria dell'atmosfera, che probabilmente non è uniforme ovunque, essendo la composizione diversa a differenti strati, sulla distribuzione del campo gravitazionale terrestre nell'atmosfera, che penso si possa supporre benissimo costante e quindi valutare la variazione della pressione atmosferica dovuta all'espansione di questa, causata dalla caduta del paracadutista. A voler essere precisi nel bilancio energetico dovremmo considerare a questo punto anche il lavoro negativo prodotto dalla forza peso sull'aria, visto che c'è una espansione.
Io direi che, essendo la massa di aria nell'atmosfera complessivamente invariata, non essendo variato di molto il volume complessivo e visto che il campo gravitazionale è circa costante, la pressione atmosferica rimane praticamente invariata per piccole variazioni di temperatura.
Da verificare.
è vero che la variazione di entropia può essere calcolata lungo un cammino reversibile qualsiasi che, ma gli scambi energetici di questa trasformazione non sono uguali a quella di una trasformazione irreversibile. Non a caso spesso si vedono scritte le quantità infinitesime di lavoro e calore scambiate con delle barre sulle $d$ o con un $delta$, che solitamente senza barra indicherebbe il differenziale di una funzione di stato, cosa che il lavoo scambiato e il calore non sono.
Io direi che, essendo la massa di aria nell'atmosfera complessivamente invariata, non essendo variato di molto il volume complessivo e visto che il campo gravitazionale è circa costante, la pressione atmosferica rimane praticamente invariata per piccole variazioni di temperatura.
Da verificare.
è vero che la variazione di entropia può essere calcolata lungo un cammino reversibile qualsiasi che, ma gli scambi energetici di questa trasformazione non sono uguali a quella di una trasformazione irreversibile. Non a caso spesso si vedono scritte le quantità infinitesime di lavoro e calore scambiate con delle barre sulle $d$ o con un $delta$, che solitamente senza barra indicherebbe il differenziale di una funzione di stato, cosa che il lavoo scambiato e il calore non sono.
Credo che in quell'esercizio le assunzioni fatte implicitamente da Davide e da me vadano benissimo, non andrei a spaccare il capello in quattro quando non è richiesto.
Non è vero che "la variazione di entropia PUO' essere calcolata lungo un cammino reversibile" come dici, la variazione di entropia DEVE essere calcolata lungo un qualunque cammino reversibile (che porta il sistema dallo stato iniziale al finale), perché quella è la sua definizione, altrimenti non sarebbe una funzione di stato né avrebbe senso.
A proposito il $delta$ si usa per differenziali non esatti e quindi per variabili che non sono funzioni di stato come calore e lavoro appunto.
Non è vero che "la variazione di entropia PUO' essere calcolata lungo un cammino reversibile" come dici, la variazione di entropia DEVE essere calcolata lungo un qualunque cammino reversibile (che porta il sistema dallo stato iniziale al finale), perché quella è la sua definizione, altrimenti non sarebbe una funzione di stato né avrebbe senso.
A proposito il $delta$ si usa per differenziali non esatti e quindi per variabili che non sono funzioni di stato come calore e lavoro appunto.
è giusto quello che dici riguardo alla definizione di entropia e quindi al suo calcolo, anche se comunque riguardo alle trasformazioni reversibili che hanno gli stessi stati iniziale e finale esistono diverse possibilità di scelta.
Rimangono delle questioni da chiarire: quali sono i valori di temperatura e pressione nello stato termodinamico finale, eventualmente quale delle due grandezze è quella la cui variazione può essere trascurata se si vuole una data precisione relativa nel calcolo, in base ai fattori che ho riportato nel post precedente, e quale legame hanno gli scambi energetici che avvengono nella trasformazione irreversibile e quelli della trasformazione reversibile associata agli stessi stati termodinamici iniziale e finale (ci si accorge che bisogna passare a valutare un'altra funzione di stato che è l'energia interna).
Rimangono delle questioni da chiarire: quali sono i valori di temperatura e pressione nello stato termodinamico finale, eventualmente quale delle due grandezze è quella la cui variazione può essere trascurata se si vuole una data precisione relativa nel calcolo, in base ai fattori che ho riportato nel post precedente, e quale legame hanno gli scambi energetici che avvengono nella trasformazione irreversibile e quelli della trasformazione reversibile associata agli stessi stati termodinamici iniziale e finale (ci si accorge che bisogna passare a valutare un'altra funzione di stato che è l'energia interna).
Esatto: esistono diverse possibilità di scelta, basta scegliere un qualunque cammino reversibile che porta allo stato finale, non ha importanza quale, ovviamente conviene il più comodo.
Per le altre questioni che poni, a me pare ragionevole supporre che la temperatura e la pressione dello stato iniziale e finale siano le medesime, potremmo anche discutere di accuratezza precisione e approssimazioni fatte ma non lo reputo né interessante né appassionante per quanto mi riguarda, credo che quanto detto sia più che sufficiente per rispondere al dubbio di Davide, le altre cose che dicevi rischiavano solo di confondere, in particolare il discorso sul cammino reversibile scelto, solo per questo ho precisato.
Per le altre questioni che poni, a me pare ragionevole supporre che la temperatura e la pressione dello stato iniziale e finale siano le medesime, potremmo anche discutere di accuratezza precisione e approssimazioni fatte ma non lo reputo né interessante né appassionante per quanto mi riguarda, credo che quanto detto sia più che sufficiente per rispondere al dubbio di Davide, le altre cose che dicevi rischiavano solo di confondere, in particolare il discorso sul cammino reversibile scelto, solo per questo ho precisato.
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