Variazione di energia interna

[Antonius99]

n moli di un gas ideale monoatomico si espandono da un volume iniziale V1 ad uno finale V2. La trasformazione è rappresentata nel piano PV dalla curva di equazione P=P1(V1/V)^3. Qual è la variazione di energia interna del gas?
Come faccio il problema se non mi viene detto il numero di moli? Qualcuno può spiegarmelo?

[DelCrossB]

Conoscere il numero di moli del gas ti risulterà inutili ai fini del calcolo della variazione di energia interna, ma per procedere nella risoluzione del problema puoi semplicemente considerarlo pari a $n$). Da cosa è determinata una variazione di energia interna del sistema?

[Antonius99]

n*Cv*dT

[DelCrossB]

Sì, quella espressione lega una variazione infinitesima di energia interna $dU$ ad una variazione infinitesima di temperatura $dT$. Supponiamo di avere una trasformazione che ci porti dallo stato $A$ allo stato $B$ (dove con stato intendo la terna $(p,V,T)$, pressione, volume e temperatura, che permette di caratterizzare completamente il comportamento di un gas ideale). La variazione totale di energia interna dallo stato $A$ allo stato $B$ sarà:

$\int_{A}^{B}dU = nc_v \int_{A}^{B}dT$

ossia

$\Delta U_{AB} = nc_v(T_B-T_A)$.

Quindi, per conoscere la variazione di energia totale dobbiamo conoscere le temperature dei due stati. Conosci una relazione che lega le 3 grandezze caratterizzanti uno stato?

P.s.: quando scrivi una formula aggiungi il simbolo del dollaro $ prima e dopo l'espressione.

[Antonius99]

$pv=nrt$

[DelCrossB]

Perfetto. Conosciamo $n$, $p_1$ e $V_1$, possiamo determinare $T_1$? Sappiamo inoltre come un generico $P$ è legato ad un generico $V$. Possiamo in qualche modo risalire a $T_2$, noto $V_2$?

P.s.: non è un quiz.. a volte impostare dei ragionamenti, anche senza arrivare ad una formula, aiuta molto nel risolvere gli esercizi

[Antonius99]

Con la formula inversa? $T1=p1*v/nR$ e $T2=P*V/nR$

[DelCrossB]

Esatto..

$T_1 = (p_1 V_1)/(nR)$

$T_2 = (p_2 V_2)/(nR)$

E $p_2$ lo possiamo ricavare dalla relazione che lega $P$ a $V$:

$p_2 = p_1 * (V_1/V_2)^3$.

[Antonius99]

Allora, quando sostituisco alla fine ho $3/2nR(Tb-Ta)$
$3/2nR(p2v2/nR-p1v1/nR)$
$3/2p1(v1/v2)^3*v2-p1v1$
Va bene così?

[DelCrossB]

A meno di una parentesi che hai omesso, sì: è corretto!

[Antonius99]

Alla fine, il risultato è $-3/2 P1*V1/2*V2^2*(V2^2-V1^2)$. Potresti mostrarmi come faccio a giungere a questo risultato. Da quello che ho scritto nell'ultimo post poi non riesco ad andare più avanti. Grazie anticipatamente.

[chiaraotta1]

Non è che il risultato sia
$Delta U_(1,\ 2)=-3/2 (p_1V_1)/V_2^2 (V_2^2-V_1^2)$?

[Antonius99]

Sì esatto, è questo, non so perché mi sia uscito così... come ci arrivo?

[DelCrossB]

Basta raccogliere $(p_1V_1)/V_2^2$: il risultato è lo stesso, semplicemente è espresso in maniera diversa.

$\DeltaU = 3/2(p_2V_2 - p_1V_1) = 3/2[p_1(V_1/V_2)^3 V_2-p_1V_1]= 3/2(p_1V_1)/V_2^2 (V_1^2-V_2^2)$.

[Antonius99]

E come mai il segno è negativo?

[chiaraotta1]

E' stato raccolto un segno $-$ nella parentesi rotonda $(V_1^2-V_2^2)$.