Variazione di energia cinetica
Salve a tutti,
in un problema di conservazione del momento angolare ho trovato difficoltà nella risoluzione dell'ultimo punto dell'esercizio, vi copio il testo intero per chiarezza:
Un'asta di massa M e lunghezza L poggia su una superficie orizzontale priva di attrito. Un piccolo pezzo
di mastice, anch'esso di massa M, e con velocità v diretta perpendicolarmente all'asta, colpisce un'estremità e si attacca in un urto anaelastico di brevissima durata. 1) qual è la velocità del centro di massa del sistema prima e dopo l'urto? 2) Qual è il momento angolare del sistema prima dell'urto 3) Qual è la velocità angolare del sistema attorno al centro di massa dopo l'urto? 4) Quanto vale la variazione percentuale dell'energia cinetica del sistema?
vi spiego brevemente come l'ho affrontato io:
innanzitutto, il corpo di massa M che arriva a velocità v dista L/4 dal centro di massa del sistema filo-mastice, dunque la velocità iniziale del c.m. è v/2 (vcm= Mv/(2M)). Dopo l'urto, per conservazione della quantità di moto lungo l'asse orizzontale, mv=2m(v1) dove v1 è la velocità del centro di massa dopo l'urto, dunque v1=v/2
Per quanto riguarda il momento angolare, ragionando analogamente esso è L=MvL/4 poiché il pezzo di mastice dista L/4 dal centro di massa del sistema, attorno a cui inizia a ruotare assieme all'asta.
Per trovare la velocità angolare ho usato la conservazione del momento angolare, ovvero: MvL/4=(I/(L/4)+ML/4)v' dove I in questo caso, visto che la rotazione avviene attorno al cm e non l'asse geometrico dell'asta, è I= ML*L/12 + ML*L/16=7ML*L/48.
risolvendo l'equazione, ottengo w=6v/5L
ora il testo mi chiede la variazione di energia cinetica e qui arriva il mio dubbio: essa, nella situazione iniziale è data da Ki=0.5Mv*v (poichè l'unica energia cinetica del sistema è data dal moto del pezzo di mastice di massa M). Dopo l'urto, però (erroneamente secondo la soluzione del libro), pongo l'energia cinetica totale Kf=0.5Iw*w+mv'L/4 considerando sempre la rotazione attorno al centro di massa. Svolgendo i calcoli mi risulta una variazione del 70% (invece del 20% che dà il libro), tuttavia non capisco in quale passaggio ho commesso un errore.
Grazie a chi vorrà aiutarmi,
Edoardo
in un problema di conservazione del momento angolare ho trovato difficoltà nella risoluzione dell'ultimo punto dell'esercizio, vi copio il testo intero per chiarezza:
Un'asta di massa M e lunghezza L poggia su una superficie orizzontale priva di attrito. Un piccolo pezzo
di mastice, anch'esso di massa M, e con velocità v diretta perpendicolarmente all'asta, colpisce un'estremità e si attacca in un urto anaelastico di brevissima durata. 1) qual è la velocità del centro di massa del sistema prima e dopo l'urto? 2) Qual è il momento angolare del sistema prima dell'urto 3) Qual è la velocità angolare del sistema attorno al centro di massa dopo l'urto? 4) Quanto vale la variazione percentuale dell'energia cinetica del sistema?
vi spiego brevemente come l'ho affrontato io:
innanzitutto, il corpo di massa M che arriva a velocità v dista L/4 dal centro di massa del sistema filo-mastice, dunque la velocità iniziale del c.m. è v/2 (vcm= Mv/(2M)). Dopo l'urto, per conservazione della quantità di moto lungo l'asse orizzontale, mv=2m(v1) dove v1 è la velocità del centro di massa dopo l'urto, dunque v1=v/2
Per quanto riguarda il momento angolare, ragionando analogamente esso è L=MvL/4 poiché il pezzo di mastice dista L/4 dal centro di massa del sistema, attorno a cui inizia a ruotare assieme all'asta.
Per trovare la velocità angolare ho usato la conservazione del momento angolare, ovvero: MvL/4=(I/(L/4)+ML/4)v' dove I in questo caso, visto che la rotazione avviene attorno al cm e non l'asse geometrico dell'asta, è I= ML*L/12 + ML*L/16=7ML*L/48.
risolvendo l'equazione, ottengo w=6v/5L
ora il testo mi chiede la variazione di energia cinetica e qui arriva il mio dubbio: essa, nella situazione iniziale è data da Ki=0.5Mv*v (poichè l'unica energia cinetica del sistema è data dal moto del pezzo di mastice di massa M). Dopo l'urto, però (erroneamente secondo la soluzione del libro), pongo l'energia cinetica totale Kf=0.5Iw*w+mv'L/4 considerando sempre la rotazione attorno al centro di massa. Svolgendo i calcoli mi risulta una variazione del 70% (invece del 20% che dà il libro), tuttavia non capisco in quale passaggio ho commesso un errore.
Grazie a chi vorrà aiutarmi,
Edoardo
Risposte
Non si comprende come tu abbia svolto l'ultimo punto. Ad ogni modo, riassumendo:
Conservazione della quantità di moto
$[Mv=2Mv_G] rarr [v_G=v/2]$
Conservazione del momento angolare
$[MvL/4=(1/12ML^2+1/16ML^2+1/16ML^2)\omega] rarr [\omega=(6v)/(5L)]$
Energia cinetica iniziale
$1/2Mv^2$
Energia cinetica finale
$1/2*2M*v^2/4+1/2*(1/12ML^2+1/16ML^2+1/16ML^2)*(36v^2)/(25L^2)=2/5Mv^2$
Variazione percentuale energia cinetica
$(2/5Mv^2-1/2Mv^2)/(1/2Mv^2)*100=-20 %$
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