Valore medio in meccanica quantistica

[Oberdan2]

Ciao, vorrei poter proporre a qualcuno un dubbio che mi tormenta, seppur sciocco e lo capisco non riesco però a comprendere come risolverlo per ora. Vediamo...

Io so che il valor medio di una osservabile Q ad esempio calcolata sugli autostati dell'energia (quindi stazionari) è $_E$ e calcolandolo con le funzioni d'onda nello spazio delle configurazioni si vede bene che l'esponenziale temporale si elide nell'integrale e come ci si attende il valore di aspettazione di Q non evolve nel tempo.

Bene, ora mi dico, se io comunque calcolassi il valore di aspettazione in qualcunque altro autostato (quindi non dell'energia) la descrizione non cambia, cioè il valore medio essendo una "cosa" fisica dovrebbe essere uguale.
Tuttavia non è vero perché calcolando $_psi$ su una qualsuasi altra $psi$ autostato proiettato nello spazio delle configurazioni (qualunque ma che non sia autostato dell'hamiltoniana ora) ora dipenderà in generale dal tempo, altrimenti non avrebbe manco senso definire: $(d())/(dt)=1/(ih)<[Q,H]>$ come solitamente in generale è possibile fare, perché se come detto se Q medio fosse sempre costante (indipendente dal tempo) su qualsiasi autostato di qualsiasi operatore (e non solo di quello energetico) beh allora quel $(d())/(dt)$ sarebbe sempre nullo e perderebbe di utilità definire quella quantità.

In beve il dubbio è questo (purificandolo dalle questioni e ragionamneti che me lo fanno apparire valido): sapendo che Q medio è indipendendte dal tempo quando calcolato sull'autostato dell'energia, questo cozza col fatto che Q medio calcolato su qualunque altro autostato (non dell'hamiltoniana) dovrebbe avere stesso valore del Q medio calcolato su $|psi_E>$, ma se così fosse arriverei all'assurdo che Q medio è sempre indipendente dal tempo.

Dunque cosa sbaglio? Thx

[Lampo1089]

In beve il dubbio è questo (purificandolo dalle questioni e ragionamneti che me lo fanno apparire valido): sapendo che Q medio è indipendendte dal tempo quando calcolato sull'autostato dell'energia, questo cozza col fatto che Q medio calcolato su qualunque altro autostato (non dell'hamiltoniana) dovrebbe avere stesso valore del Q medio calcolato su ∣ψE>, ma se così fosse arriverei all'assurdo che Q medio è sempre indipendente dal tempo.

no, perché quando calcoli il valor medio di un operatore su uno stato che non è autostato dell'hamitoniano il risultato non è la somma dei valori medi dato che l'osservabile non è in generale diagonalizzabile simultaneamente con l'hamiltoniana.
Cioé, nella scrittura:

\[
\langle Q \rangle(t) = \langle \psi|U^{\dagger}(t) Q U(t)|\psi\rangle = \sum_{m,n} e^{-i \left(\frac{E_n - E_m}{\hbar}\right) t} c^*_m c_n \langle m|Q |n\rangle
\]
i termini di interferenza (quelli fuori diagonale, per intenderci) causano la dipendenza temporale del valore di aspettazione.

[Oberdan2]

Ok, ragionando sulla tua risposta credo di aver capito, però oltre a chiederti una conferma vorrei approfondire quello che è un altro dubbio sorto da quello che mi hai fatto ragionare.

In breve:
Assumiamo che $ =\const$ (*)
A questo punto mi dicevo: se Q è l'osservabile e il valor medio è quello che misuro in un esperimento (ossia E' la fisica del sistema) allora qualunque valor medio di Q deve essere uguale a (*).
Questo è vero se però considero la media sullo stesso stato (che è l'oggetto matematico che permette di descrivere quel dato sistema). Va da sé che se cambio stato cioè non uso più ad es. un autostato dell'hamilotniano, allora non ho stessa media: ho cambiato sistema che descrivo cambiando stato! (qui soggiaceva credo l'errore?). Dovrebbe essere giusto messa come è ora.

Ora, se prendo quindi un autostato di un operatore C che non commuti con l'hamiltoniana per quanto appena detto: $ !=\const$

D'altra parte $|psi_C>=sumc_npsi_(E_n)(x)e^(-iE/ht)$ è sovrapposizione di autostati di H, e infatti facendo la media esce quanto dicevi te (termini di interferenza).

Mi sorge però un dubbio, se quanto suddetto è giusto:

Io posso riscrivere $psi_E$ come c.l di autostati di C: $psi_E=sumc_npsi_(C_n)(x)e^(-iE/ht)$ (qui si è lo stesso sistema fisico, solo uso una base diversa), a questo punto $ =\const$ deve essere una costante, ma a me pare che cosi facendo ho

$ = sum_(n,m)c_nc_me^(-i(E_n-E_m)/ht) $
e mi disturba quel $e^(-i(E_n-E_m)/ht)$ che mi aspetterei sparisse (perché non ho dipendenza temporale appunto!)

[Lampo1089]

A quanto vedo, ci sono un po' di errori:

se Q è l'osservabile e il valor medio è quello che misuro in un esperimento

no assolutamente, quello che misuri è uno degli autovalori dell'energia e la misura collassa lo stato nell'autostato corrispondente. Se invece con misura intendi "eseguo N esperimenti con identica preparazione del sistema, eseguo la misura e ne faccio la media" allora ok ...

Assumiamo che \(\langle\psi_E|Q|\psi_E\rangle= const \)

per essere precisi, quello che stai definendo potrebbe essere una tautologia. Mi spiego meglio: se stai considerando stati e operatori nella rappresentazione di Schroedinger, non stai aggiungendo nulla di più al fatto (banale) che il valor medio di un'operatore è un numero complesso e indipendente dal tempo - cosa banale perché non stai evolvendo lo stato. Dovresti invece considerare \(\langle \psi_E| U^\dagger (t) Q U(t)|\psi_E\rangle\): in generale, questo NON è banale che sia indipendente dal tempo (in questo caso lo è, perché è consideri autostati dell'energia). Se invece stai considerando (implicitamente) la rappresentazione alla Heisenberg, nulla da aggiungere. Basta però dirlo, sennò ci si capisce molto poco

Questo è vero se però considero la media sullo stesso stato (che è l'oggetto matematico che permette di descrivere quel dato sistema). Va da sé che se cambio stato cioè non uso più ad es. un autostato dell'hamilotniano, allora non ho stessa media: ho cambiato sistema che descrivo cambiando stato

?? Fissato un osservabile Q, stati diversi possiedono valore atteso di Q (in generale) diverso. Onestamente non colgo il tuo punto. Invece, sul fatto che cambiando stato cambi sistema, capisco quello che intendi ma quanto dici in realtà è errato, non stai in realtà cambiando sistema. Il sistema fisico è lo stesso, cambia lo stato in cui lo prepari (un po' come in meccanica classica cambi la posizione e la velocità iniziale di un corpo: il sistema è lo stesso - inteso come corpi e interazioni tra loro e l'ambiente - cambia come è preparato).

Ora, se prendo quindi un autostato di un operatore C che non commuti con l'hamiltoniana per quanto appena detto: $ !=\const $

notazione a parte, quanto scrivi è errato. Avere due operatori non commutanti implica solamente che non possono essere diagonalizzati simultaneamente. Questo fatto non implica quello che scrivi. Per esempio, supponi che l'operatore H e Q, pur non essendo diagonalizzabili simultaneamente, abbiano lo stesso autostato comune \(|c,E_0\rangle\). E' facile verificare che il valor medio di Q nello stato \(|c,E_0\rangle\) evoluto temporalmente è indipendente dal tempo.
Esempio pratico: dato un sistema a tre stati \(\left\{|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\right\}\), supponi data l'hamiltoniana H e l'osservabile Q in questa rappresentazione come:
\[
H = \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\\\end{array}\right)
Q = \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{array}\right)
\]
E' facile verificare che H e Q non commutano, ma il valore atteso nello stato \(|1,t\rangle = U(t)|1\rangle\), che è appunto un autostato di H e Q è indipendente dal tempo.

Io posso riscrivere ...

Direi che il calcolo è errato, anche perché la notazione che usi di certo non aiuta. Lo imposto per te.
Quello che vuoi calcolare è \(\langle n|U^{\dagger}(t) Q U(t)|n\rangle\) (equivalentemente\(\langle n|Q_H(t)|n\rangle\) in rappr. di Heis., ma usero la rappr. di Schr.) dove con \(|n\rangle\) ho indicato il generico autostato di energia con autovalore $E_n$ (n indice discreto). Con la notazione \(|n'\rangle\) indicherò gli autostati dell'operatore Q con autovalore $q_n$ (n discreto anche in questo caso). Stati primati sono quindi autostati di Q.

Per cui:

\[
\langle n|U^{\dagger}(t) Q U(t)|n\rangle = \sum_{m,s}\langle n|U^{\dagger}(t)|m'\rangle\langle m'|Q|s'\rangle\langle s'|U(t)|n\rangle = \sum_m q_m \langle n|U^{\dagger}(t)|m'\rangle\langle m'|U(t)|n\rangle
\]

... lascio a te completare ...

[Oberdan2]

Grazie, mi soffermo solo su alcuni punti poiché quelli chiari li lascio decadere per non creare uno scritto troppo pesante.

per essere precisi, quello che stai definendo potrebbe essere una tautologia. Mi spiego meglio: se stai considerando stati e operatori nella rappresentazione di Schroedinger, non stai aggiungendo nulla di più al fatto (banale) che il valor medio di un'operatore è un numero complesso e indipendente dal tempo - cosa banale perché non stai evolvendo lo stato. Dovresti invece considerare ⟨ψE|U†(t)QU(t)|ψE⟩: in generale, questo NON è banale che sia indipendente dal tempo (in questo caso lo è, perché è consideri autostati dell'energia). Se invece stai considerando (implicitamente) la rappresentazione alla Heisenberg, nulla da aggiungere. Basta però dirlo, sennò ci si capisce molto poco

Sì hai ragione da vendere. In realtà la mia idea era svolgere: $⟨Psi_E(t)|Q|Psi_E(t)⟩=$ quindi per capirci proiettando sulle configurazione: $psi_E(x)e^(-iE_n/ht)=Psi_E(x,t)!=psi_E(x)$, cioè il tuo operatore U esplicito in un certo senso.

Invece, sul fatto che cambiando stato cambi sistema, capisco quello che intendi ma quanto dici in realtà è errato, non stai in realtà cambiando sistema. Il sistema fisico è lo stesso, cambia lo stato in cui lo prepari (un po' come in meccanica classica cambi la posizione e la velocità iniziale di un corpo: il sistema è lo stesso - inteso come corpi e interazioni tra loro e l'ambiente - cambia come è preparato).

In effetti intendevo proprio questo, ma compivo l'errore di chiamare differente sistema un medesimo oggetto con preparazione distinta.

?? Fissato un osservabile Q, stati diversi possiedono valore atteso di Q (in generale) diverso. Onestamente non colgo il tuo punto.

Qui cerco di spiegarmi meglio: la mia intuizione (errata) era la seguente, mi dicevo: se l'osservabile Q ha una certa media, essa sarà un valore indipendente da come rappresento il sistema, quindi ragionava dicenso una volta che prendo uno stato $|psi_E>$ che uso per la media e trovo un certo valore "q", allora quel valore "q" sarà lo stesso su qualunque altro stato... ma questo non è vero proprio perché a stati diversi corrispondono preparazioni diverse del medesimo sistema e quindi è lecito aspettarsi medie diverse dell'osservabile Q. Il nocciolo del mio errore era questo: consideravo stati diversi come lo stesso sistema preparato nello stesso modo, cosa non vera. Non so se più chiaro, ma mi sembra ora di esserci.

Direi che il calcolo è errato, anche perché la notazione che usi di certo non aiuta. Lo imposto per te.
Quello che vuoi calcolare è \(\langle n|U^{\dagger}(t) Q U(t)|n\rangle\) (equivalentemente\(\langle n|Q_H(t)|n\rangle\) in rappr. di Heis., ma usero la rappr. di Schr.) dove con \(|n\rangle\) ho indicato il generico autostato di energia con autovalore $E_n$ (n indice discreto). Con la notazione \(|n'\rangle\) indicherò gli autostati dell'operatore Q con autovalore $q_n$ (n discreto anche in questo caso). Stati primati sono quindi autostati di Q.

Per cui:

\[
\langle n|U^{\dagger}(t) Q U(t)|n\rangle = \sum_{m,s}\langle n|U^{\dagger}(t)|m'\rangle\langle m'|Q|s'\rangle\langle s'|U(t)|n\rangle = \sum_m q_m \langle n|U^{\dagger}(t)|m'\rangle\langle m'|U(t)|n\rangle
\]

Inizio col dire che mi sono accorto di un errore che facevo molto importante, ossia considerando ad esempio vari autostati di Q: $|n>$ scrivevo poi un secondo autostato di un operatore differente $|m_0>$ con dipendenza temporale erroneamente come $|m_0> =|sum_n c_n n e^(-iE_n/ht)> =sum_n c_n^+ e^(-iE_n/ht)|n>$,
ma questo in realtà non è vero perché di fatto non posso scrivere $E_n$, in realtà sarei bloccato a:
$| sum_n c_n$ $ n e^(-iH/ht)>$ c'è un H e non posso tirare fuori un E!

Qui sorgevano alcuni errori di calcolo sulla domanda che quotavi.

Ora, completando invece il tuo suggerimento:
$ =sum_(m',s') =$
$sum_(m',s')q'_mdelta_(m',s') = sum_(m')q'_m =$ $sum_(m')q'_me^(-iE_n/ht)e^(-iE_n/ht) = sum_(m')q'_me^(-i2E_n/ht) = sum_(m')q'_me^(-i2E_n/ht)$
Mi verrebbe una cosa del genere ed è sbagliato, in effetti mi aspetterei si elidesse l'esponenziale nella somma ma ho un problema che non so risolvere ed è il seguente: $$ quando $U^+$ agisce sulla sinistra agisce come $(U^+)^+=U$. Non capisco dove sbaglio


Anche se in realtà chiedevo qualcosa di leggermente diverso (uso gli n e n' come da tua notazione), vorrei anche qui chiederti se ora è giusto:
Sappiamo che $|$ $n(t)> =U|n> = e^(-iH/ht)|n>$ inoltre posso scrvivere |n> come c.l
$|$ $n> = sum_n'c_n'|n'>$, questo ci porta a scrivere:
$|$ $n(t)> = sum_n' c_n' e^(-iH/ht)$ $|$ $n'>$.

La mia volontà era calcolare:
$ = ( sum_(n')(c_n')^+) =$
$ sum_(n',m')(c_n')^+c_m'$
e qui mi blocco perché non capisco come annullare la dipendenza temporale, come sarebbe da attendersi.



E vorrei infine chiederti un aiuto su questo calcolo che vorrei esser sciuro di compiere correttamente:

\[
\langle Q \rangle(t) = \langle \psi|U^{\dagger}(t) Q U(t)|\psi\rangle = \sum_{m,n} e^{-i \left(\frac{E_n - E_m}{\hbar}\right) t} c^*_m c_n \langle m|Q |n\rangle
\]

Per svolgerlo fare una cosa del genere: sapendo che $| psi >$ $=sum_n c_n e^(-iE_n/ht) |n>$ (questa volta essendo autostati di H posso scrivere En e non H ad exp) allora:
$\langle Q \rangle(t)$ $= (sum_n c_n^+ e^(+iE_n/ht) )$ da cui:

$sum_(m,n)c_n^+ c_m e^(-i(E_m-E_n)/ht) $ che dicevi tu.

[Lampo1089]

Ora, completando invece il tuo suggerimento:

Sbagli il calcolo dell' elemento di matrice:
\[
\langle n| U^\dagger | m'\rangle = \langle n| e^{i \frac{\hat{H}}{\hbar} t} | m'\rangle = e^{i \frac{E_n}{\hbar} t }\langle n| m'\rangle
\]
per cui appunto le fasi si elidono e ottieni infine:

\[
= \sum_{m} q_m e^{i \frac{E_n}{\hbar} t} e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} |\langle n|m'\rangle|^2 = \sum_{m} q_m P(m) = \langle Q \rangle
\]
che è appunto pari al valore di aspettazione di Q nello stato iniziale \(|n,0\rangle\), per ogni tempo t.

La mia volontà era calcolare: ... qui mi blocco perché non capisco come annullare la dipendenza temporale

dovresti introdurre l'identità, scritta come somma ket-bra degli autostati dell'energia a dx e sx dell'operatore Q. Questo ti consente di applicare agevolmente l'operatore \(e^{i H t}\), portare fuori le costanti dall'elemento di matrice e infine semplificare, usando infine anche il fatto che \(|n'\rangle\) sono autostati di Q. Dovresti ottenere lo stesso risultato con la stessa fatica del caso precedente.

[Oberdan2]

Ti ringrazio per aiutarmi a far ordine perché è da giorni che ci batto la testa contro queste cose. Molti dubbio si sono risolti ma alcuni permangono e vorrei cercare di appianarli del tutto.

Inizio trattando queste de cose: (siccome non hai risposto deduco siano corrette giusto?)

mi sono accorto di un errore che facevo molto importante, ossia considerando ad esempio vari autostati di Q: $|n>$ scrivevo poi un secondo autostato di un operatore differente $|m_0>$ con dipendenza temporale erroneamente come $|m_0> =|sum_n c_n n e^(-iE_n/ht)> =sum_n c_n^+ e^(-iE_n/ht)|n>$,
ma questo in realtà non è vero perché di fatto non posso scrivere $E_n$, in realtà sarei bloccato a:
$| sum_n c_n$ $ n e^(-iH/ht)>$ c'è un H e non posso tirare fuori un E!

E vorrei infine chiederti un aiuto su questo calcolo che vorrei esser sciuro di compiere correttamente:
[quote]\[
\langle Q \rangle(t) = \langle \psi|U^{\dagger}(t) Q U(t)|\psi\rangle = \sum_{m,n} e^{-i \left(\frac{E_n - E_m}{\hbar}\right) t} c^*_m c_n \langle m|Q |n\rangle
\]

Per svolgerlo fare una cosa del genere: sapendo che $| psi >$ $=sum_n c_n |e^(-iE_n/ht) n>$ (questa volta essendo autostati di H posso scrivere En e non H ad exp) allora:
$\langle Q \rangle(t)$ $= (sum_n c_n^+ )$ da cui:

$sum_(m,n)c_n^+ c_m e^(-i(E_m-E_n)/ht) $ che dicevi tu. Cioè che scrivo è corretto formalmente?[/quote]

Chiedo per conferma. Però se confermi che sono giuste le metto in saccoccia.

Siccome spero e credo siano giuste passiamo al tema caldo del discorso....
****************************************

Sbagli il calcolo dell' elemento di matrice:
\[
\langle n| U^\dagger | m'\rangle = \langle n| e^{i \frac{\hat{H}}{\hbar} t} | m'\rangle = e^{i \frac{E_n}{\hbar} t }\langle n| m'\rangle
\]
per cui appunto le fasi si elidono e ottieni infine:

\[
= \sum_{m} q_m e^{i \frac{E_n}{\hbar} t} e^{-i \frac{E_n}{\hbar} t} |\langle n|m'\rangle|^2 = \sum_{m} q_m P(m) = \langle Q \rangle
\]
che è appunto pari al valore di aspettazione di Q nello stato iniziale \(|n,0\rangle\), per ogni tempo t.

Ho alcuni grossi dubbi su questo conto:

1) il primo è il seguente: io so che $ = = ^+= ^+$, da questo si deduce che dato $$ l'operatore $alpha$ "agisce" a destra come $alpha$ e a sinistra come $alpha^+$ (se quindi è complesso il suo complesso coniugato).
Specializzandolo al caso di $U=e^(-iH/ht)$ e $U^+=e^(+iH/ht)$ mi verrebbe da dire che $⟨n|U^†|m′⟩=⟨n|e^(iH/ℏt)|m′⟩$ e^ debba agire a sx come complesso coniugato quindi un esponenziale con "-". E non capisco invece perché non sia così.

2) Non mi è tanto chiaro perché $||^2=P(m)$, io penso a $|$ $m′> =sum_ic_i$ $|$ $n_i>$, quindi $||^2=sum_i c_i^2$ $| $ $$ $|$ e non riesco a far uscire 1 da , come mi aspetterei, infatti $P(m)=c_i^2$ in teoria.

3) Non capisco infine perché usi $sum_m$ (su m) a me sembra di dover sommare su m' dato che introduco una risoluzione dell'identità su stati "primati" .
Mi spiego:
$ =sum_(m',s') =$
$sum_(m',s')q'_mdelta_(m',s') = sum_(m')q'_m =$ $sum_(m')q'_me^(+iE_n/ht)e^(-iE_n/ht) $

[Lampo1089]

Inizio trattando queste de cose: (siccome non hai risposto deduco siano corrette giusto?)

esatto, anche se la notazione che usi (cioé il portare le costanti all'interno dei ket è piuttosto "esotica" e causa di errori (vedi sotto)

... debba agire a sx come complesso coniugato quindi un esponenziale con "-". E non capisco invece perché non sia così.

no, un operatore può agire a dx o sx indifferentemente nella notazione bra-ket di Dirac senza necessità di coniugio. A riguardo, ti consiglio di consultare "Modern Quantum Mechanics" di Sakurai oppure direttamente "alla fonte" "The principles of Quantum Mechanics" di Dirac. Tutte e due espongono chiaramente il formalismo e dovrebbero risolvere il tuo dubbio. Essenzialmente, quando "porti fuori" la costante dal bra, dimentichi di farne il complesso coniugato. Il mio consiglio è però approfondire i principi del formalismo bra-ket e usarli nel modo corretto.
Nel caso in cui dopo lo studio personale avrai ancora dubbi, sarò disponibile ben volentieri.

Non mi è tanto chiaro perché $ ||^2=P(m) $ e non riesco a far uscire 1 da

banalmente,stai facendo una grande confusione nel formalismo (oltre che alcuni conti errati). Cosa è \(\langle n|\) ? è un autobra di H, es. n = 2 potrebbe significare che è il secondo stato eccitato dell'hamiltoniana. Quando espandi, cosa sono \(|n_i\rangle\)? dovrebbero essere l'insieme di ket \(|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle\) e così via. Ha poco senso l'appendice i, leviamola via e semplifichiamo la notazione così:

\[
|m'\rangle = \sum_k c_k |k\rangle
\]

da cui:
\[
\langle n |m'\rangle = \sum_k c_k \langle n|k\rangle
\]
che appunto implica che \(|\langle n |m'\rangle|^2 = |c_n|^2\). NB lo stato m', come i vari n sono assunti correttamente normalizzati ad uno, altrimenti tutte le espressioni dei valori attesi sarebbero errate.

Infine, per 3) la tua osservazione è errata, ma mi rendo conto che si tratta della notazione che ho usato - che è estremamente infelice. L'accento nei vari autostati non è da intendersi parte del simbolo "m", ma è semplicemente un simbolo a parte che indica che i vari autostati di Q, benché labellati con indici interi (così come gli autostati di H), sono da intendersi come autostati di Q e non di H.
Ossia, il set di autostati di Q è \(|0'\rangle,|1'\rangle,|2'\rangle ... \) o se preferisci \(\left\{|m'\rangle\right\}_{m \in \mathbb{N} }\), contrapposti agli autostati di H \(|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle ... \).Per questa ragione il simbolo di sommatoria corre su m, mentre gli autostati inseriti sono "m primati".

[Oberdan2]

Ci ho ragionato un po' prima di rispondere per arrivare a conclusione dei molteplici dubbi. Direi che ormai molti si sono volatilizzati e ho capito.
Soprattutto ho capito grazie a "Essenzialmente, quando "porti fuori" la costante dal bra, dimentichi di farne il complesso coniugato" del mio metodo "esotico". In effetti era bruttarello ma era un lascito della scrittura del prodotto scalare solito $(Apsi,phi)=(psi,A^+phi)$ <=> $=$ e mentalmente mi dava sicurezza. Ma man mano lo sto abbandonando il portare dentro le costanti.

D'altra parte avevo letto proprio sul sakurai quelle cose (prima di scrivere il post l'alro gg), ma ho fatto un mischione e mal interpretato in particolare:


Vabbé insomma ampio preambolo per dire che ho capito XD e ti ringrazio molto. Non ci dormivo la notte.

Ha poco senso l'appendice m

qui mi sembra intendessi l'appendice "i" non so se è un typo magari si può correggere per futuri usufruitori perché è una discussione interessante data la tua chiarezza su questi argomenti.

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Direi che ormai mi è tutto chiaro e manca solo un'ultima cosa.

Infine, per 3) la tua osservazione è errata, ma mi rendo conto che si tratta della notazione che ho usato - che è estremamente infelice. L'accento nei vari autostati non è da intendersi parte del simbolo "m", ma è semplicemente un simbolo a parte che indica che i vari autostati di Q, benché labellati con indici interi (così come gli autostati di H), sono da intendersi come autostati di Q e non di H.
Ossia, il set di autostati di Q è \(|0'\rangle,|1'\rangle,|2'\rangle ... \) o se preferisci \(\left\{|m'\rangle\right\}_{m \in \mathbb{N} }\), contrapposti agli autostati di H \(|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle ... \).Per questa ragione il simbolo di sommatoria corre su m, mentre gli autostati inseriti sono "m primati".

Ecco, qui in realtà non è colpa della notazione che hai usato, perché io l'ho proprio interpretata come dici tu qui, quindi è giusto. Ma non capisco perché corra su m, provo a chiarire:

A me pare che stiamo usando: $sum_(m')|m'> $ noi andiamo ad inserire la risoluzione dell'identita nei punti $U^+(I)Q$ e $Q(I)U$, però l'identità data con gli stati di Q, quindi primati! Perché così Q ne agisce sopra comodamente esitando in un bel $q_(m')$ suo autovalore.
Mi sembra per questo corretto avere una sommatoria su m' e s'.
Questa è l'unica parte che mi rimane da capire

[Lampo1089]

Ecco, qui in realtà non è colpa della notazione che hai usato, perché io l'ho proprio interpretata come dici tu qui, quindi è giusto.

no no, fidati di me, è colpa della notazione (anche perché da quel che vedo non l'hai ancora interpretata come la intendevo).

Cambiamola: denotiamo gli autostati di H con \(|0,H\rangle,|1,H\rangle,|2,H\rangle ... \) ossia \(\left\{|m,H\rangle\right\}_{m\in\mathbb{N}}\). Denotiamo gli autostati di Q invece come \(|0,Q\rangle,|1,Q\rangle,|2,Q\rangle ... \) ossia \(\left\{|m,Q\rangle\right\}_{m\in\mathbb{N}}\). Nota come, nella precedente notazione il simbolo ' sostituisce il label ",Q" che mi indica esplicitamente l'operatore di cui sono autostato. Nota come il label intero serve solo per enumerare gli stati.

A questo punto, l'operatore identità può essere scritto come:
\[
\mathbb{1} = \sum_{m}|m,Q\rangle\langle m,Q|
\]
e l'operatore Q, sfruttando la rappresentazione spettrale come:
\[
Q = \sum_m q_m |m,Q\rangle\langle m,Q|
\]

in questa notazione dovrebbe filare tutto liscio e dubbi sui simboli primati non ce ne sono, seppur la logica sottostante sia la stessa precedente.
\[
\langle n,H|U^\dagger Q U|n,H\rangle = \sum_{m,s} \langle n,H|U^\dagger |m,Q\rangle\langle m,Q| Q|s,Q\rangle\langle s,Q|U|n,H\rangle = \sum_{m,s} \langle n,H|U^\dagger |m,Q\rangle q_m \delta_{m,s} \langle s,Q|U|n,H\rangle = \sum_m q_m\langle n,H|U^\dagger |m,Q\rangle\langle m,Q|U|n,H\rangle
\]

qui mi sembra intendessi l'appendice "i" non so se è un typo magari si può correggere per futuri usufruitori perché è una discussione interessante data la tua chiarezza su questi argomenti.

è assolutamente un typo, correggo

[Oberdan2]

"Lampo1089":\[
\langle n,H|U^\dagger Q U|n,H\rangle = \sum_{m,s} \langle n,H|U^\dagger |m,Q\rangle\langle m,Q| Q|s,Q\rangle\langle s,Q|U|n,H\rangle = \sum_{m,s} \langle n,H|U^\dagger |m,Q\rangle q_m \delta_{m,s} \langle s,Q|U|n,H\rangle = \sum_m q_m\langle n,H|U^\dagger |m,Q\rangle\langle m,Q|U|n,H\rangle
\]

Ok, devo dire che questa cosa mi confonde ancora un po' più che altro fatico a capire il senso... mi spiego: io quando inserisco la risoluzione dell'identità faccio una sommatoria sugli autostati di Q, poi procedo con i calcoli e le semplificazioni e quando arrivo a scrivere $\sum_m q_m\langle n,H|U^+ |m,Q\rangle\langle m,Q|U|n,H\rangle$ la sommatoria se uso m come "label" essendo |m,H>[nota]un qualunque autostato di H[/nota] scritta così potrebbe anche agire sugli autostati di H. Non so perché ma questa cosa mi scombussola un po'.
Soprattutto se penso alla sommatoria nel caso continuo di autovalori e austostati, sarebbe un integrale in
[ad es.] |q> dq, che è differente da quello che agisce su degli autostati $|n>$ e quindi in dn.
Se uso dn per entrambi mi ritrovo con un pasticcio: $|q_n> dn$ e $|n> dn$ sembra che si integrano entrambi sulla stessa dn. Mi lascia molto confuso questa cosa perché l'integrale è per forza di cose riferito solo a q o n!

Quindi mi chiedo, perché è così sbagliato usare la sommatoria su m' e non su m? A me sembra utile proprio perché se fossi in un caso che ha $sum_m...|m,H>....|m,Q>...$ creerebbe non pochi casini. invece scrivendo $sum_(m')...|m,H>....|m',Q>$ viene tutto molto più naturale capire dove agisce la "sum" no?
(Nota: dove ho messo i puntini potrebbe esserci qualunque cosa che so: oppure , insomma era solo giusto per capirci)

[Lampo1089]

Se usi m come label non c'è nessuna ambiguità. La somma corre su m, e solo gli autostati di Q sono indicizzati da m.Gli autostati di energia sono fissati (e infatti hanno indice n).
Più tardi proverò ad integrare, comunque mi pare di capire che il dubbio sia più di notazione che concettuale.

[Lampo1089]

Il punto della questione è che, formalmente parlando, l'indice di sommatoria è una variabile muta - ossia puoi rinominarla in qualunque modo e il risultato non cambia. Ciò che importa è solo l'insieme su cui corre.
Quindi, gli stati su cui stai sommando \(\left\{|m\rangle_{m \in \mathbb{N}} \right\} = \left\{|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle ... \right\} \) (per l'energia) e \(\left\{|m'\rangle_{m' \in \mathbb{N}} \right\} = \left\{|0\rangle,|1\rangle,|2\rangle ... \right\}\) (per Q) rappresentano formalmente lo stesso identico insieme di autostati.
Diversamente, con la mia notazione primata (autostati "primati" ma indicizzazione non primata) questo problema (a patto di interpretare correttamente il primed) non c'è, e non c'è nessuna ambiguità con l'ultima notazione proposta.

In sostanza la notazione che usi è abbastanza prona ad errori, ma è un abuso di notazione talmente comune che viene fatto implicitamente praticamente sempre: pensa agli autostati di posizione e impulso, e infatti in questo caso si è estremamente attenti nella scelta del nome della variabile muta su cui si "somma" (tutte le volte che integri sugli impulsi usi una p, o una k, mai una x) poiché è l'unica cosa che to può ricordare che stai maneggiando sono autostati di posizione o impulso (i due condividono lo stesso spettro).

Essendo un problema abb banale, e non essendo una notazione molto pesante, ho preferito essere il più possibile formalmente corretto nella mia risposta. In ogni caso però deve essere ben chiaro il "chi è cosa" altrimenti le fregature, specialmente quando si abusa della notazione, sono davvero dietro l'angolo
---
ps nei vecchi posts citi che hai consultato il Sakurai, per chiarire questo punto consulta il capitolo sui cambi di base, troverai un qualcosa molto simile - ma non identico - alla notazione che ho usato. Ossia le somme corrono sugli interi, mentre gli autostati di un operatore A sono indicati con \(|a_k\rangle\), quelli di un operatore B con \(|b_k\rangle\) dove k varia nell'insieme dei numeri naturali. I label "a" e "b" sono semplicemente delle lettere che mi dicono "chi è cosa" - eg fanno il paio con ",H" e ",Q" della mia notazione o con il "'" della notazione originale.

[Oberdan2]

Uhm ok forse ho compreso..
Cioè il punto mi pare che gli autostati che siano di Q o H sono infinito numerabili e quindi sono comunque scritti come ${|0⟩,|1⟩,|2⟩...}$, ovviamente però se indico con $sum_m$ una somma sugli autostati |m> non posso sommare sugli autostati |m> di Q (qui nascerebbe l'mbiguità). Quel che voglio dire è che sarebbe stupido chiamarli entrambi con |m>, allora posso chiamarli |n,H> e |m,Q> ad esempio, sinteticamente |n> ed |m>, però onestamente non capisco cosa cambiasse chiamarli |m'>.

Nel tuo ultimo post dell'altra pagina dicevi di scrivere:
$\sum_{m,s}\langle n|U^{\dagger}(t)|m\rangle\langle m|Q|s\rangle\langle s|U(t)|n\rangle$ (1)
(tralasciando la scrittura ovvia di Q e H all'interno)

però dicevi di scrivere
$\sum_{m,s}\langle n|U^{\dagger}(t)|m'\rangle\langle m'|Q|s'\rangle\langle s'|U(t)|n\rangle$ (2)

e non

$\sum_{m',s'}\langle n|U^{\dagger}(t)|m'\rangle\langle m'|Q|s'\rangle\langle s'|U(t)|n\rangle$ (3)

Però a me personalmente scrivere: (3) sembra equivalente a scrivere (1) ma non equivalente a (2), perché che io chiami |m',Q> o |m,Q> l'autostato di Q mi sembra indifferente la sommatoria su m o m' se non una scomodità di mettere il "primo", mentre la (2) mi sembra sbagliata nel senso che non corre sull'insieme di mio interesse.


[EDIT]
Ah caspita rileggendo per la decima volta forse ho capito cosa volevi trasmettermi. io leggevo il |m'> come semplificazione |m',Q> e dicevo beh semplifico e scrivo |m'> sapendo che m' inteso come autostato di Q e m di H.
invece tu dici di scrivere. |m'>:=|m,Q> e poi far correre su m la sommatoria e il "primo" permette di non confondersi perché sai che si tratta dell'autostato Q; in definitiva pur correndo la sommatoria su {1,2,3...}in Q, esattamente come per gli autostati di H ho questo distunguo grafico: ' .

Però questo metodo mi pare esattamente contenere la stessa ambiguità di sommare su m' onestamente, cioè non ne riesco a vedere il vantaggio, nel senso che devo comunque sapere che |m'>=|m,Q> così come nel "mio" metodo devo sapere a priori che |m'>=|m',Q>. Non è che sommando su m' o m come "pedice" della sommatoria mi aiuti molto. Devo già sapere cosa sto facendo dall'inizio, insomma non capisco il vantaggio ora come ora della scrittura (2) v/s (3).


Scusa se ho scritto così male ma sono da cellulare ed è un bordello... non lo farò mai più l'ho riscritto 80 volte XD

[Lampo1089]

Non hai ancora colto il punto fondamentale.
Interpreta letteralmente la sommatoria che hai scritto.
In (3) l'elemento di matrice dell'operatore Q è preso tra autostati di H e non tra autostati di Q - come intenderesti fare. Questa notazione è quindi errata.
In (2) invece, la somma corre su m, gli stati nell'elemento di matrice di Q dipendono dall'indice di sommatoria (è l'abuso che mi ha motivato ha introdurre l'ultima notazione) ed è quindi tutto corretto.

eg in (3) avresti
\[
= \langle n|U^\dagger(t)|0\rangle\langle 0|Q|0\rangle\langle 0 |U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0\rangle\langle 0|Q|1\rangle\langle 1|U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0\rangle\langle 0|Q|2\rangle\langle 2|U(t)|n\rangle + ....
\]
che NON è quello che intendi

eg in (2) avresti
\[
= \langle n|U^\dagger(t)|0'\rangle\langle 0'|Q|0'\rangle\langle 0'|U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0'\rangle\langle 0'|Q|1'\rangle\langle 1'|U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0'\rangle\langle 0'|Q|2'\rangle\langle 2'|U(t)|n\rangle + ....
\]
che è quello che vuoi - vuoi valutare l'elemento di matrice di Q tra autostati di Q, mica di H.
Spero sia chiara la questione, perché mi è difficile - se non impossibile - esporla in maniera più chiara.

[Oberdan2]

C'è una cosa che all'inizio mi ha n attimo confuso ma penso sia solo una piccola svista, vediamo se ho interpretato bene il tuo scritto:

In (3) l'elemento di matrice dell'operatore Q è preso tra autostati di H e non tra autostati di Q - come intenderesti fare. Questa notazione è quindi errata.
In (2) invece, la somma corre su m, gli stati nell'elemento di matrice di Q dipendono dall'indice di sommatoria (è l'abuso che mi ha motivato ha introdurre l'ultima notazione) ed è quindi tutto corretto.

eg in (2) (credo volessi scrivere (3)?) avresti
\[
= \langle n|U^\dagger(t)|0\rangle\langle 0|Q|0\rangle\langle 0 |U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0\rangle\langle 0|Q|1\rangle\langle 1|U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0\rangle\langle 0|Q|2\rangle\langle 2|U(t)|n\rangle + ....
\]
che NON è quello che intendi

eg in (3) (credo volessi scrivere (2)?) avresti
\[
= \langle n|U^\dagger(t)|0'\rangle\langle 0'|Q|0'\rangle\langle 0'|U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0'\rangle\langle 0'|Q|1'\rangle\langle 1'|U(t)|n\rangle + \langle n|U^\dagger(t)|0'\rangle\langle 0'|Q|2'\rangle\langle 2'|U(t)|n\rangle + ....
\]
che è quello che vuoi

Dico così perché sennò inizialmente sembra che mi dia torto ma poi dici che la scrittura giusta è la 3 (contraddizione). Insomma rileggendola mi sembra corretta letta così.

***** ***** ***** *****

Ora, ciò detto: (riferendomi alla numerazione del mio post antecedente al tuo)

IN (2): in sostanza mi stai dicendo che gli indici m e s della sommatoria sul generico autostato $|s'>$ funzionano cosi. $s in{0,1,2,3,4,...}$ dunque avrò le scritture $|0'>,|1'>,|2'>,|3'>$ (in pratica in s di s' sostituisco 1,2,3 ottenendo 1' 2' 3'....) che sono distinte da $|0>,|1>,|2>,|3>$ perché il ' mi aiuta a distinguere l'autostato $|s,Q> = |s'>$

IN (3): facendo correre la sommatoria sull'indice s' ha il grosso difetto che sarà:
(s' corre su = $s' in{0,1,2,3,4,...}$) quindi quando prendo lo stato generico $|s'>$ evidentemente quando vado a sostituirci s'=0,1,2... mi "sparisce" il "primo" e esiterebbe $|s'> =|0>$ oppure $|2>$ ecc e non riesco più a distinguerli dagli autostati non primati di H.

Non so perché ma nella mia testa questo problema non si poneva, nel senso che in effetti notazionalmente il punto (3) ha quel grave difetto, ma io dicevo di agire così: $s' in{0,1,2,3,4,...}$ io ho l'autostato $|s'>$ che so essere $|s,Q>$ e quando sostituisco s' è vero che diventa $|0>,|1>,|2>$ ma io so giò che è un artificio per scrivere: $|0,Q>,|1,Q>,|2,Q>$.

Ora mi pare di esserci davvero. vediamo che ne pensi

[Lampo1089]

C'è una cosa che all'inizio mi ha n attimo confuso ma penso sia solo una piccola svista, vediamo se ho interpretato bene il tuo scritto:

confermo la svista (vedrò di correggere il post)

sì adesso hai ben compreso la questione. Comunque, come ti dicevo si tratta di un abuso di notazione fatto molto spesso, l'importante è esserne ben consci e non incappare nei potenziali errori derivanti.

[Oberdan2]

Più che altro ti ringrazio molto per la pazienza!
Finalmente ho capito

Gentilissimo!