Valor medio della posizione di una particella [MQ]
salve
ho un dubbio sui passaggi di questo esercizio
dato uno stato iniziale:
$\phi(x,0) = N (cos (\pi x/(2a)) + e^(i\alpha) sin (\pi x/(a)))$
con N fattore di normalizzazione.
il valore medio della posizione di una particella si calcola cosi:
$ = (<\phi(x,0)|x|\phi(x,0)>)/|\phi|^2$
la condizione per trovare N è: (condizione di norma)
$|\phi(x,0)|^2 = 1$
dato che 'magicamente' (nel senso che non ho ben compreso tale passaggio...) si pongono le autofunzioni normalizzate ortonormali $\phi_1 (x)$ e $\phi_2 (x)$ e si riscrive in questo modo per 'definizione':
$\phi(x,0) = N (cos (\pi x/(2a)) + e^(i\alpha) sin (\pi x/(a))) = N (\phi_1 (x) + e^(i\alpha) \phi(x)) = N (|1> + e^(i\alpha) |2>)$
gli ultimi sarebbero gli autostati, quindi:
$|\phi(x,0)|^2 = N^2 (<1|+e^(-i\alpha) <2|, |1> + e^(i\alpha) |2>) = N^2 (1+1) = 2 N^2 = 1$ cosi da trovare il valore per N cioè:
$N =1/sqrt(2)$
il passaggio che non ho ben compreso è:
$|\phi(x,0)|^2 = N^2 (<1|+e^(-i\alpha) <2|, |1> + e^(i\alpha) |2>) = N^2 (1+1)$
mi spiegate il passaggio 'matematico' che c'è scritto sotto? e perchè si sommano i due 1? nel senso che ho intuito che si fa il prodotto scalare tra bra e ket, ma non capisco perchè venga fuori 1
ho un dubbio sui passaggi di questo esercizio
dato uno stato iniziale:
$\phi(x,0) = N (cos (\pi x/(2a)) + e^(i\alpha) sin (\pi x/(a)))$
con N fattore di normalizzazione.
il valore medio della posizione di una particella si calcola cosi:
$
la condizione per trovare N è: (condizione di norma)
$|\phi(x,0)|^2 = 1$
dato che 'magicamente' (nel senso che non ho ben compreso tale passaggio...) si pongono le autofunzioni normalizzate ortonormali $\phi_1 (x)$ e $\phi_2 (x)$ e si riscrive in questo modo per 'definizione':
$\phi(x,0) = N (cos (\pi x/(2a)) + e^(i\alpha) sin (\pi x/(a))) = N (\phi_1 (x) + e^(i\alpha) \phi(x)) = N (|1> + e^(i\alpha) |2>)$
gli ultimi sarebbero gli autostati, quindi:
$|\phi(x,0)|^2 = N^2 (<1|+e^(-i\alpha) <2|, |1> + e^(i\alpha) |2>) = N^2 (1+1) = 2 N^2 = 1$ cosi da trovare il valore per N cioè:
$N =1/sqrt(2)$
il passaggio che non ho ben compreso è:
$|\phi(x,0)|^2 = N^2 (<1|+e^(-i\alpha) <2|, |1> + e^(i\alpha) |2>) = N^2 (1+1)$
mi spiegate il passaggio 'matematico' che c'è scritto sotto? e perchè si sommano i due 1? nel senso che ho intuito che si fa il prodotto scalare tra bra e ket, ma non capisco perchè venga fuori 1
Risposte
Hai che \(\displaystyle \langle 1 | 1 \rangle = 1 \), mentre \(\displaystyle \langle 1 | 2 \rangle = 0 \), per ortonormalità.
Sarò scemo io, ma non ho ben compreso il perché $<1|1>$ e $<2|2>$ 'sopravvivano' facendo 1 e invece $<1|2>$ (e quindi persuppongo anche $<2|1>$ faccia $0$)
come si chiamano queste proprietà? se volessi scriverlo per esteso?
altra domanda per trovare il fattore di normalizzazione c'è solo questo metodo?
come si chiamano queste proprietà? se volessi scriverlo per esteso?
altra domanda per trovare il fattore di normalizzazione c'è solo questo metodo?
Beh, sai a cosa corrisponde il prodotto bra-ket in termini di funzioni d'onda? Forse è il caso che ripassi MQ dal principio, o la vedo dura...
Ad esempio, hai che
\(\displaystyle \langle 1 | 2 \rangle = \int \phi_1^*(x) \phi_2(x)\text{d}x \)
e procedi in modo analogo per gli altri tre prodotti.
Ora puoi anche svolgerti gli integrali, ma se hai fatto un minimo di teoria di Fourier dovresti vedere a occhio che sopravvivono solo \(\displaystyle \langle 1 | 1 \rangle \) e \(\displaystyle \langle 2 | 2 \rangle \). Come ho detto su, la proprietà di cui godono le autofunzioni (gli autostati) è l'ortonormalità. L'unica via per trovare il fattore di normalizzazione è questa.
PS: in LaTeX per scrivere i bra e i ket bisognerebbe usare \rangle e \langle, e non < e >.
Ad esempio, hai che
\(\displaystyle \langle 1 | 2 \rangle = \int \phi_1^*(x) \phi_2(x)\text{d}x \)
e procedi in modo analogo per gli altri tre prodotti.
Ora puoi anche svolgerti gli integrali, ma se hai fatto un minimo di teoria di Fourier dovresti vedere a occhio che sopravvivono solo \(\displaystyle \langle 1 | 1 \rangle \) e \(\displaystyle \langle 2 | 2 \rangle \). Come ho detto su, la proprietà di cui godono le autofunzioni (gli autostati) è l'ortonormalità. L'unica via per trovare il fattore di normalizzazione è questa.
PS: in LaTeX per scrivere i bra e i ket bisognerebbe usare \rangle e \langle, e non < e >.
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