Urto tra masse su guida circolare
"Su un'ampia guida circolare orizzontale senza attrito , di raggio $ R $ stanno due piccole masse $ m $ e $ M $ libere di scorrere nella guida . Esse sono tenute unite da una cordicella e tra di esse c'è una molla compressa ( di massa trascurabile ) che non è fissata a nessuna delle due masse . ( a ) Se si rompe la cordicella , la molla si allarga e lancia le due masse in direzioni opposte ; le palline collidono quando si incontrano . Dove avverrà l'urto ? ( È conveniente esprimere la risposta in funzione dell'angolo percorso da $ m $ o $ M $ ) . (b ) Se l'energia potenziale della molla era $ U_0 $ quanto tempo passa tra la rottura della corda e l'urto delle palline ? (c ) Supponendo che l'urto sia perfettamente elastico e centrale dove si urteranno le palline una seconda volta ? " . Io ho proceduto così per i primi due punti ma sono molto dubbioso
(a) nel generico punto dell'urto abbiamo le due masse che hanno percorso due generici angoli , chiamati $ alpha $ e $ theta $ . I due archi descritti dalle due particelle devono essere rispettivamente uguali a $ alpha(t)R+theta(t)R= 2piR $ . Derivando rispetto al tempo ottengo $ omega_(alpha)+omega_(theta)=0 $ . Da questa equazione si deduce che le due velocità sono opposte in verso ma uguali in modulo . Pertanto se le velocità crescono in maniera identica per i due corpi allora si deduce che questi si incontreranno a metà circonferenza ovvero all'angolo $ pi $
(b) per trovare il tempo , conoscendo la energia potenziale elastica iniziale pari a $ U_0 $ utilizzo la conservazione della energia
$ U_0=1/2omega^2R^2(m+M) $ . Da questa equazione trovo la velocità angolare nell'istante dell'urto e conoscendo l'equazione oraria del moto delle sferette $ theta(t) = omegat $ , quando è stato compiuto mezzo giro pari a $ pi $ è passato un tempo $ t=piRsqrt((M+m)/(2U_0)) $ . Per il terzo punto ho scritto la conservazione della energia cinetica ma non so bene come procedere , mi aiutate per favore ? Come vi sembra come ragionamento ?
(a) nel generico punto dell'urto abbiamo le due masse che hanno percorso due generici angoli , chiamati $ alpha $ e $ theta $ . I due archi descritti dalle due particelle devono essere rispettivamente uguali a $ alpha(t)R+theta(t)R= 2piR $ . Derivando rispetto al tempo ottengo $ omega_(alpha)+omega_(theta)=0 $ . Da questa equazione si deduce che le due velocità sono opposte in verso ma uguali in modulo . Pertanto se le velocità crescono in maniera identica per i due corpi allora si deduce che questi si incontreranno a metà circonferenza ovvero all'angolo $ pi $
(b) per trovare il tempo , conoscendo la energia potenziale elastica iniziale pari a $ U_0 $ utilizzo la conservazione della energia
$ U_0=1/2omega^2R^2(m+M) $ . Da questa equazione trovo la velocità angolare nell'istante dell'urto e conoscendo l'equazione oraria del moto delle sferette $ theta(t) = omegat $ , quando è stato compiuto mezzo giro pari a $ pi $ è passato un tempo $ t=piRsqrt((M+m)/(2U_0)) $ . Per il terzo punto ho scritto la conservazione della energia cinetica ma non so bene come procedere , mi aiutate per favore ? Come vi sembra come ragionamento ?
Risposte
"Mynameis":
(a) nel generico punto dell'urto abbiamo le due masse che hanno percorso due generici angoli , chiamati $ alpha $ e $ theta $ . I due archi descritti dalle due particelle devono essere rispettivamente uguali a $ alpha(t)R+theta(t)R= 2piR $ . Derivando rispetto al tempo ottengo $ omega_(alpha)+omega_(theta)=0 $ . Da questa equazione si deduce che le due velocità sono opposte in verso ma uguali in modulo . Pertanto se le velocità crescono in maniera identica per i due corpi allora si deduce che questi si incontreranno a metà circonferenza ovvero all'angolo $ pi $
Ma no. Quando la corda si rompe, le due palline aquistano la stessa QM, cioè prendono velocità inversamente proporzionali alle loro masse. Così anche gli spazi percorsi, e gli angoli. Cioè abbiamo $theta_1/theta_2 = m_2/m_1$
Il secondo punto è sbagliato in quanto è sbagliato il primo, ma, a parte il fatto che le due velocità non sono uguali, il ragionamento è giusto. Trovi in tempo che ci vuole perchè, a velocità $v_1 + v_2$ venga percorso lo spazio $2piR$
Per il terzo punto, direi di notare che tutto è simmetrico per una inversione temporale, cioè, nell'urto, le palline invertono la loro velocità, così si incontreranno nel punto di partenza (un po' informale, magari, ma direi giusto...)
Un attimo di esitazione sul perché le due palline acquistano la stessa quantità di moto. Suppongo tu stia applicando il principio della sua conservazione lungo il piano parallelo alla guida , corretto ? La relazione $ theta_1/(theta_2)=m_2/m_1 $ mi permette di trovare l'angolo in cui avviene l'urto tramite , per esempio , $ theta_1=(theta_2m_2)/m_1 $ ? Intendo dire , la relazione scritta da te , mgrau , è una relazione generale derivata ( se non ho sbagliato il ragionamento precedente io ) dalla conservazione della quantità di moto e può essere adottata per l'istante in cui avviene l'urto ? Dunque con $ theta_2 $ indichiamo l'angolo percorso da $ M $ mentre con $ theta_1 $ indichiamo l'angolo percorso da $ m $ . Vorrei mi fosse chiarito questo punto .
Per (b) dunque procedo come segue :
$ momega_1=Momega_2rArr omega_1=M/m omega_2 $
Per la conservazione della energia si ha $ U_0=1/2momega_1^2R^2+1/2Momega_2^2R^2 $ . A questa relazione sostituiamo $ omega_1 $ trovata prima e ricaviamo $ omega_2 $
Durante il tempo $ t $ intercorso dall'istante della rottura della cordicella e l'urto viene percorso lo spazio $ 2pi $ per cui
$ 2pi=(omega_1+omega_2)t $ . Anche qui sostituiamo la relazione di $ omega_1 $ e , trovata $ omega _2 $ dalla conservazione dell'energia ricaviamo
$ t=(2piRm)/sqrt(2U_0m/M(M+m) $ .
Per quanto concerne il terzo punto invece non capisco cosa intendi " tutto simmetrico per inversione temporale " ... non sarebbe meglio sfruttare la condizione imposta dall'urto elastico ovvero la conservazione dell'energia cinetica del sistema ?
Per (b) dunque procedo come segue :
$ momega_1=Momega_2rArr omega_1=M/m omega_2 $
Per la conservazione della energia si ha $ U_0=1/2momega_1^2R^2+1/2Momega_2^2R^2 $ . A questa relazione sostituiamo $ omega_1 $ trovata prima e ricaviamo $ omega_2 $
Durante il tempo $ t $ intercorso dall'istante della rottura della cordicella e l'urto viene percorso lo spazio $ 2pi $ per cui
$ 2pi=(omega_1+omega_2)t $ . Anche qui sostituiamo la relazione di $ omega_1 $ e , trovata $ omega _2 $ dalla conservazione dell'energia ricaviamo
$ t=(2piRm)/sqrt(2U_0m/M(M+m) $ .
Per quanto concerne il terzo punto invece non capisco cosa intendi " tutto simmetrico per inversione temporale " ... non sarebbe meglio sfruttare la condizione imposta dall'urto elastico ovvero la conservazione dell'energia cinetica del sistema ?
"Mynameis":
Un attimo di esitazione sul perché le due palline acquistano la stessa quantità di moto.
Ma, secondo te, il fatto che la guida sia circolare invece che rettilinea cambia qualcosa? Idealmente, dopo che la corda si è rotta, e le masse hanno acquistato la loro velocità, queste non si sono ancora mosse, e allora cosa può importare la forma della guida? Immagino che non avresti problemi se la guida fosse rettilinea, o non ci fosse del tutto.
"Mynameis":
La relazione $ theta_1/(theta_2)=m_2/m_1 $ mi permette di trovare l'angolo in cui avviene l'urto tramite , per esempio , $ theta_1=(theta_2m_2)/m_1 $ ?
Certo, insieme all'altra $theta_1 + theta_2 = 2pi$
"Mynameis":
Intendo dire , la relazione scritta da te , mgrau , è una relazione generale derivata ( se non ho sbagliato il ragionamento precedente io ) dalla conservazione della quantità di moto e può essere adottata per l'istante in cui avviene l'urto ? Dunque con $ theta_2 $ indichiamo l'angolo percorso da $ M $ mentre con $ theta_1 $ indichiamo l'angolo percorso da $ m $ . Vorrei mi fosse chiarito questo punto .
Qui non ho capito la questione. Stiamo parlando dell'urto, o dell'inizio del moto?
"Mynameis":
Per (b) dunque procedo come segue :
$ momega_1=Momega_2rArr omega_1=M/m omega_2 $
Per la conservazione della energia si ha $ U_0=1/2momega_1^2R^2+1/2Momega_2^2R^2 $ . A questa relazione sostituiamo $ omega_1 $ trovata prima e ricaviamo $ omega_2 $
Durante il tempo $ t $ intercorso dall'istante della rottura della cordicella e l'urto viene percorso lo spazio $ 2pi $ per cui
$ 2pi=(omega_1+omega_2)t $ . Anche qui sostituiamo la relazione di $ omega_1 $ e , trovata $ omega _2 $ dalla conservazione dell'energia ricaviamo
$ t=(2piRm)/sqrt(2U_0m/M(M+m) $ .
Non ho controllato i calcoli, ma il procedimento è ok
"Mynameis":
Per quanto concerne il terzo punto invece non capisco cosa intendi " tutto simmetrico per inversione temporale " ... non sarebbe meglio sfruttare la condizione imposta dall'urto elastico ovvero la conservazione dell'energia cinetica del sistema ?
Sicuramente si può procedere in modo più "accademico", come proponi tu.
Ma siccome a me i calcoli non piacciono troppo, sono partito dall'idea che se fai un film dell'urto, (dopo l'urto) e lo proietti a rovescio (inversione temporale) ottieni il film della partenza, cioè stesse velocità, stesse QM, col verso opposto. Quindi l'urto produce lo stesso effetto come se, nel punto dell'urto, ci fosse la molla originale che ha lanciato le biglie, e queste fossero ferme. Ne segue che tutto l'andamento di ritorno è il rovescio di quello di andata, e le biglie si incontrano dove sono partite
Il problema non è assolutamente la guida circolare o rettilinea al contrario di quello che possa avere pensato tu . Volevo solo capire se era questo il principio che era stato applicato come tra l'altro avevo chiaramente espresso ma evidentemente è quello . Non capisco come tu possa aver pensato alla forma della guida ... Comunque , dove non avevi chiaro se si stesse parlando dell'urto o dell'inizio del moto , io con la relazione su scritta da te , $ (theta_2)/(theta_1)=m/M $ mi chiedevo se questa riassume tutti gli istanti del moto , dall'inizio fino all'istante dell'urto , non so se ora mi sono spiegato meglio
"Mynameis":
Il problema non è assolutamente la guida circolare o rettilinea al contrario di quello che possa avere pensato tu . Volevo solo capire se era questo il principio che era stato applicato come tra l'altro avevo chiaramente espresso ma evidentemente è quello . Non capisco come tu possa aver pensato alla forma della guida ...
Niente, mi sono sbagliato io... Comunque, due masse ferme con una molla in mezzo, QM = 0 inizialmente, quando la molla viene rilasciata QM continua ad essere zero (parlando un po' alla buona... è vero per i moduli, poi in realtà la guida modifica la direzione dei vettori, ma qui non interessa).
"Mynameis":
io con la relazione su scritta da te , $ (theta_2)/(theta_1)=m/M $ mi chiedevo se questa riassume tutti gli istanti del moto , dall'inizio fino all'istante dell'urto ,
Visto che vale $ (v_2)/(v_1)=omega_2/omega_1= m/M$ segue che in ogni momento - e anche dopo l'urto - vale $ (theta_2)/(theta_1)=m/M $
Tutto chiaro , grazie dell'aiuto
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