Urto massa con asta
Buon settembre a tutti . Posto questo esercizio per avere una vostra opinione sulla correttezza dello svolgimento perché è uno degli esercizi generali sugli urti punti materiali-corpi rigidi che spesso il mio professore mette nei suoi esami ed è importante che mi sia chiaro . " Un'asta rigida omogenea di massa $ M=1 kg $ e lunghezza $ l=2m $ può ruotare senza attrito in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo baricentro C . Essa è ferma e forma un angolo di 45 gradi con la verticale ( l'asta è inclinata di questo angolo verso l'alto a sinistra , rispetto alla verticale ) . Ad un certo istante , l'asta viene colpita nell'estremo A ( quello in alto a sinistra appunto ) da un proiettile di massa $ m=30gr $ che nell'istante dellurto ha velocità orizzontale rivolta verso destra pari a $ v_0=100m/s $ . L'urto è istantaneo e completamente anelastico. Calcolare :
(a) l'impulso trasmesso dal perno C all'asta durante l'urto ;
(b) l'energia dissipata nell'urto ;
(c) l'accelerazione $ a_(CM) $ del centro di massa del sistema ( asta+proiettile ) quando l'asta è orizzontale
Risoluzione punto (a)
Conservo il momento angolare rispetto al centro C dato che le forze esterne presenti passano per il polo ( reazione del perno ) e non sono impulsive ( forze peso della $ m $ ) . Dunque $ ml/2v_0sen45°=I_comega $ con $ I_c=1/12Ml^2+m(l/2)^2=1/4l^2(M/3+m) $ e da qui riesco a trovare la velocità con cui ruota il sistema subito dopo l'urto che mi serve per trovare l'impulso $ J=Delta Q $
$ J_x=\DeltaQ_x=momegal/2cos45°-mv_0 $
$ J_y=\DeltaQ_y=momegal/2sen45° $
Facendo poi $ sqrt(J_x^2+J_y^2 $ trovo il modulo di $ J $
Risoluzione punto (b)
l'energia cinetica dissipata nell'urto è $ E_(kf)-E_(ki)=1/2I_comega^2-1/2mv_0^2 $
Risoluzione punto (c)
Ho ragionato così : quando l'asta passa per la posizione orizzontale , il centro di massa del sistema che si trova in posizione nota $ x_(cm)=(ml)/(2(M+m)) $ scelto come origine il punto C , ha accelerazione sia tangenziale che centripeta dato che sta percorrendo un moto circolare non uniforme . Dunque $ a_(cm)=sqrt(a_N^2+a_T^2 $ , entrambe le componenti calcolate nell'istante in cui l'asta è orizzontale per l'appunto . Sappiamo che $ a_N=omega^2x_(cm) $ e per trovarmi la velocità angolare quando l'asta è orizzontale applico la conservazione dell'energia tra l'stante immediatamente successivo all'urto e quello in cui ho l'asta orizzontale .
$ 1/2I_comega_0^2-1/2I_comega^2=(m+M)gx_(cm)costheta $ dove $ omega_0 $ è la velocità incognita . Trovata questa troviamo la componente normale della accelerazione centripeta .
Sappiamo anche che $ a_T=alphax_(cm) $ dove per trovare la $ alpha $ nel momento in questione utilizziamo la seconda cardinale , prendendo come polo il punto C e sapendo che l'unica forza che ha momento è quella peso del sistema applicata nel centro di massa del sistema . Allora
$ (M+m)gx_(cm)=1/4l^2(M/3+m)alpha rArr alpha=(6mg)/(l(M+3m)) $ . Nota $ alpha $ tramite la legge della accelerazione tangenziale troviamo questa $ a_T=alphax_(cm) $ ed una volta nota anche questa componente della accelerazione troviamo finalmente l'accelerazione del centro di massa
$ a_(cm)=sqrt(a_N^2+a_T^2 $
I miei dubbi riguardano per lo più il calcolo dell'impulso e la risoluzione del punto C . Grazie in anticipo , buona giornata
(a) l'impulso trasmesso dal perno C all'asta durante l'urto ;
(b) l'energia dissipata nell'urto ;
(c) l'accelerazione $ a_(CM) $ del centro di massa del sistema ( asta+proiettile ) quando l'asta è orizzontale
Risoluzione punto (a)
Conservo il momento angolare rispetto al centro C dato che le forze esterne presenti passano per il polo ( reazione del perno ) e non sono impulsive ( forze peso della $ m $ ) . Dunque $ ml/2v_0sen45°=I_comega $ con $ I_c=1/12Ml^2+m(l/2)^2=1/4l^2(M/3+m) $ e da qui riesco a trovare la velocità con cui ruota il sistema subito dopo l'urto che mi serve per trovare l'impulso $ J=Delta Q $
$ J_x=\DeltaQ_x=momegal/2cos45°-mv_0 $
$ J_y=\DeltaQ_y=momegal/2sen45° $
Facendo poi $ sqrt(J_x^2+J_y^2 $ trovo il modulo di $ J $
Risoluzione punto (b)
l'energia cinetica dissipata nell'urto è $ E_(kf)-E_(ki)=1/2I_comega^2-1/2mv_0^2 $
Risoluzione punto (c)
Ho ragionato così : quando l'asta passa per la posizione orizzontale , il centro di massa del sistema che si trova in posizione nota $ x_(cm)=(ml)/(2(M+m)) $ scelto come origine il punto C , ha accelerazione sia tangenziale che centripeta dato che sta percorrendo un moto circolare non uniforme . Dunque $ a_(cm)=sqrt(a_N^2+a_T^2 $ , entrambe le componenti calcolate nell'istante in cui l'asta è orizzontale per l'appunto . Sappiamo che $ a_N=omega^2x_(cm) $ e per trovarmi la velocità angolare quando l'asta è orizzontale applico la conservazione dell'energia tra l'stante immediatamente successivo all'urto e quello in cui ho l'asta orizzontale .
$ 1/2I_comega_0^2-1/2I_comega^2=(m+M)gx_(cm)costheta $ dove $ omega_0 $ è la velocità incognita . Trovata questa troviamo la componente normale della accelerazione centripeta .
Sappiamo anche che $ a_T=alphax_(cm) $ dove per trovare la $ alpha $ nel momento in questione utilizziamo la seconda cardinale , prendendo come polo il punto C e sapendo che l'unica forza che ha momento è quella peso del sistema applicata nel centro di massa del sistema . Allora
$ (M+m)gx_(cm)=1/4l^2(M/3+m)alpha rArr alpha=(6mg)/(l(M+3m)) $ . Nota $ alpha $ tramite la legge della accelerazione tangenziale troviamo questa $ a_T=alphax_(cm) $ ed una volta nota anche questa componente della accelerazione troviamo finalmente l'accelerazione del centro di massa
$ a_(cm)=sqrt(a_N^2+a_T^2 $
I miei dubbi riguardano per lo più il calcolo dell'impulso e la risoluzione del punto C . Grazie in anticipo , buona giornata
Risposte
Direi che va bene, almeno come impostazione. Non ho verificato tutti i passaggi.
L'urto anelastico , nel caso in esame, si tratta con la conservazione del momento angolare. Ho fatto due conti, e ho trovato che la velocità angolare dopo l'urto dovrebbe valere :
$omega = (sqrt2m)/(M/3+m)*v_0/l $
ti torna ? Poi, l'impulso ha due componenti , una secondo $x$ e una secondo $y$ . In generale, si può dire che :
$Delta\vecL= vecR\timesDeltavecQ$ , per cui va bene .
Archiviato l' urto , che cosa abbiamo ? Un'asta, con una massa ad un estremo, che è libera di ruotare in un piano verticale , quindi è soggetta alla gravità. All'asta è impressa una velocità angolare iniziale, quindi si tratta di applicare un po' di conservazione dell'energia nel campo gravitazionale, e le leggi della cinematica per trovare l'accelerazione in una certa posizione.
L'urto anelastico , nel caso in esame, si tratta con la conservazione del momento angolare. Ho fatto due conti, e ho trovato che la velocità angolare dopo l'urto dovrebbe valere :
$omega = (sqrt2m)/(M/3+m)*v_0/l $
ti torna ? Poi, l'impulso ha due componenti , una secondo $x$ e una secondo $y$ . In generale, si può dire che :
$Delta\vecL= vecR\timesDeltavecQ$ , per cui va bene .
Archiviato l' urto , che cosa abbiamo ? Un'asta, con una massa ad un estremo, che è libera di ruotare in un piano verticale , quindi è soggetta alla gravità. All'asta è impressa una velocità angolare iniziale, quindi si tratta di applicare un po' di conservazione dell'energia nel campo gravitazionale, e le leggi della cinematica per trovare l'accelerazione in una certa posizione.
Ciao . La velocità , salvo viste , è la stessa che ho trovato io dunque dovrebbe essere giusta . Per quanto riguarda il calcolo dell'accelerazione : come vedi ho applicato la conservazione tra istante iniziale ( subito dopo l'urto ) e finale ( asta orizzontale ) perché mi sembra una buona strada dato che il testo sottolinea come non agiscano attriti di alcun tipo . Mi confermi che nell'istante in cui l'asta è orizzontale il suo centro di massa ha entrambe le componenti centripeta e tangenziale ? Dopotutto la velocità angolare non è costante e il centro di massa sta percorrendo una traiettoria circolare quindi necessariamente deve esserci una componente centripreta ... L'impulso invece mi era sembrato di leggere andasse bene così quindi...
Seguendo invece la via cinematica come avremmo proceduto ? Perché il fatto che la accelerazione angolare non sia costante mi lascia un poco perplesso sulla effettiva percorribilità di questa via .... dopo tutto tramite considerazioni energetiche risolviamo il tutto più agevolmente
Seguendo invece la via cinematica come avremmo proceduto ? Perché il fatto che la accelerazione angolare non sia costante mi lascia un poco perplesso sulla effettiva percorribilità di questa via .... dopo tutto tramite considerazioni energetiche risolviamo il tutto più agevolmente
Si, ci sono entrambe le componenti , tangenziale e centripeta, dell'accelerazione. LA via cinematica mi sembra poco percorribile. D'altronde , per via cinematica non sappiamo risolvere neanche il caso di una massa pendolare , legata a un filo che inizialmente e' tenuto orizzontale , e che viene abbandonata alla gravita' , che io sappia . Va bene il metodo energetico.
Per quanto riguarda la cinematica:
$alpha=(domega)/(dt)=(domega)/(d theta)(d theta)/(dt)=(domega)/(d theta)omega$
$alpha d theta=omega domega$
E integri.
$alpha=(domega)/(dt)=(domega)/(d theta)(d theta)/(dt)=(domega)/(d theta)omega$
$alpha d theta=omega domega$
E integri.
Bravo Vulplasir ! E qual e' la legge con cui varia la velocità angolare, me lo sai dire ? Tu sei in grado , quindi, di risolvere il problema delle oscillazioni di un pendolo, semplice o composto, anche per grandi oscillazioni ? Fammi vedere come integri, forza. Io ti metto questo, nel frattempo :
https://www.fisi.polimi.it/complementi/ ... endolo.pdf
Mynameis , va bene la via energetica.
https://www.fisi.polimi.it/complementi/ ... endolo.pdf
Mynameis , va bene la via energetica.
La velocità angolare va integrata rispetto a $theta$ e la sua dipendenza da $theta$ si conosce
Stavo proprio per scrivere che l'accelerazione angolare non è costante ma varia durante il moto , quindi non credo che andare ad integrare sia una buona soluzione . Credo che Vulplasir facesse riferimento a $ (omega_f^2-omega_i^2)/(2theta)=alpha $ ma come detto prima l'accelerazione angolare non è costante durante la parte di moto che vede la variazione di velocità angolare dall'inizio alla fine considerati . Correggetemi se sbaglio . Preferisco di gran lunga la via energetica .
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