Urto elastico tra un pendolo e un'asta

[alessi0_r1]

Buongiorno! ho questo problema di cui non ho la soluzione e ho dei dubbi a riguardo sul procedimento:

"Due perni $O$ ed $O'$ sono posi a distanza $L/2$ sulla stessa retta orizzontale. Al perno $O$ è legata una corda leggera ed inestensibile che ha una massa $m$ alla sua estremità. Inizialmente la corda è tesa sulla retta orizzontale di $O$ ed $O'$ tenendo ferma la massa $m$. Al polo $O'$ è imperniata senza attrito un'asta omogenea di massa $M$ e lunghezza $L$. Inizialmente l'asta è nella sua posizione di equilibrio stabile. Si lascia libera di muoversi la massa $m$ ed essa finisce per colpire l'asta urtandola in modo elastico. Si vuole sapere la velocità angolare dell'asta immediatamente dopo l'urto tra le due masse."

[fcd="Situazione iniziale"][FIDOCAD]
LI 95 30 25 30 0
LI 130 30 130 100 0
LI 95 15 130 15 0
TY 110 5 4 3 0 0 0 * L/2
SA 25 30 0
TY 95 30 4 3 0 0 0 * O
TY 135 30 4 3 0 0 0 * O'
TY 135 65 4 3 0 0 0 * M,L
TY 25 30 4 3 0 0 0 * m
TY 60 20 4 3 0 0 0 * L
LI 95 20 95 15 0
LI 95 10 95 20 0
LI 130 10 130 20 0[/fcd]

[fcd="Urto"][FIDOCAD]
LI 130 30 130 100 0
LI 95 15 130 15 0
TY 110 5 4 3 0 0 0 * L/2
TY 90 30 4 3 0 0 0 * O
TY 135 30 4 3 0 0 0 * O'
TY 135 65 4 3 0 0 0 * M,L
LI 95 20 95 15 0
LI 95 10 95 20 0
LI 130 10 130 20 0
LI 95 25 95 105 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 95 30 130 95 0
SA 130 95 0
TY 115 55 4 3 0 0 0 * L
LI 130 95 145 85 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 145 85 4 3 0 1 0 * v
LI 95 95 155 95 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 130 95 4 3 0 0 0 * m
TY 95 35 4 3 0 0 0 * θ
TY 125 80 4 3 0 0 0 * θ
TY 140 90 4 3 0 0 0 * θ[/fcd]

Prima di tutto mi sono calcolato la velocità con cui la massa $m$ urta l'asta

$1/2mv^2+mgLcos(theta)=mgL$
$v=sqrt(2gL(1-cos(theta)))$
Dato che non ci sono attriti possiamo considerare la conservazione del momento angolare e qui ho un dubbio: dato che il vettore velocità non è parallelo all'asta, qual è la componente che mette in rotazione l'asta? Solo la componente ortogonale all'asta $vcos(theta)$? o entrambe?

[mgrau]

"alessi0_r":
Prima di tutto mi sono calcolato la velocità con cui la massa $m$ urta l'asta

$1/2mv^2+mgLcos(theta)=mgL$

Ma non è così: invece

$1/2mv^2 = mgLcos(theta)$

[alessi0_r1]

"mgrau":[quote="alessi0_r"]
Prima di tutto mi sono calcolato la velocità con cui la massa $m$ urta l'asta

$1/2mv^2+mgLcos(theta)=mgL$

Ma non è così: invece

$1/2mv^2 = mgLcos(theta)$[/quote]

Perché ho considerato l'origine nel punto più basso quindi all'inizio la massa $m$ ha velocità nulla e energia potenziale $mgL$ mentre nel momento in cui urta l'asta è $mgLcos(theta)$.

[mgrau]

La discesa della massa è $Lcos(theta)$, che in un certo momento si sia trovata più in basso di $L$ rispetto al punto di partenza non conta nulla.

[alessi0_r1]

"mgrau":La discesa della massa è $Lcos(theta)$, che in un certo momento si sia trovata più in basso di $L$ rispetto al punto di partenza non conta nulla.

Ho capito, invece per quanto riguarda la componente della velocità?

[mgrau]

Per il momento angolare direi che conta solo la componente ortogonale della velocità

[alessi0_r1]

"mgrau":Per il momento angolare direi che conta solo la componente ortogonale della velocità

Va bene, quindi dato che il momento angolare si conserva:

$v^2=2gLcostheta$
$DeltaL=0$
$m(Lcostheta)vcostheta=1/3ML^2omega$

$omega=(3mcos^2thetasqrt(2gLcostheta))/(ML)$

tutto giusto?

[mgrau]

"alessi0_r":
$m(Lcostheta)vcostheta=1/3ML^2omega$

Il primo membro sarebbe il momento angolare della massa m rispetto al polo O'?
E il secondo il momento angolare dell'asta dopo l'urto?
Mi pare che così fai l'ipotesi che la massa m dopo l'urto sia ferma, ma non è così, l'urto è elastico e la massa rimbalza in qualche modo. Penso che dovresti tener conto anche della conservazione dell'energia.
Ma, onestamente, non mi sento di darti suggerimenti, non vorrei dire stupidate.

[alessi0_r1]

"mgrau":[quote="alessi0_r"]
$m(Lcostheta)vcostheta=1/3ML^2omega$

Il primo membro sarebbe il momento angolare della massa m rispetto al polo O'?
E il secondo il momento angolare dell'asta dopo l'urto?
Mi pare che così fai l'ipotesi che la massa m dopo l'urto sia ferma, ma non è così, l'urto è elastico e la massa rimbalza in qualche modo. Penso che dovresti tener conto anche della conservazione dell'energia.
Ma, onestamente, non mi sento di darti suggerimenti, non vorrei dire stupidate.[/quote]

Si, momento angolare della massa rispetto al polo O' al primo membro e momento angolare dell'asta al secondo membro.
L'urto è elastico quindi in pratica dopo l'urto l'asta inizia a ruotare con una certa velocità angolare mentre la massa $m$ dovrebbe "tornare indietro" però dato che il problema mi chiede solo qual è la velocità angolare dopo l'urto allora ho trascurato la cosa, non so se sia giusto o sbagliato, dato che non ho la soluzione, però non saprei come mettere in mezzo la conservazione dell'energia meccanica.