Urto elastico centrale

[biowep]

Buonasera,
vi espongo brevemente il problema. Ho una sfera di \(\displaystyle m_1=0.216kg \) che urta centralmente ed elasticamente un'altra sfera inizialmente ferma.
L'unico dettaglio è che "la seconda sfera si allontana con metà della velocità posseduta dalla prima".
Devo calcolare la massa della seconda.
Io interpreto il problema nel seguente modo:
dopo l'urto le due sfere proseguono sulla sessa traiettoria con delle velocità che in modulo sono: la seconda la metà della prima.
Ora sorge un problema, per risolvere l'esercizio ho a disposizione 2 equazioni in 3 incognite:
\begin{cases}
m_1v=m_1w+m_2\frac{w}{2} \\
\frac{1}{2}m_1v^2 = \frac{1}{2}m_1w^2+\frac{1}{2}m_2\left(\frac{w}{2}\right)^2
\end{cases}
Mi sono perso qualcosa sugli urti elastici frontali?

[kobeilprofeta]

ma metà della velocità è riferito alla velocità della prima pallina prima o dopo l'urto?

[biowep]

Non lo so con esattezza. Ma anche se fosse riferita alla velocità della prima pallina prima dell'urto avrei comunque 3 variabili: m2, v1 prima, v1 dopo. A meno che la prima pallina non sia ferma dopo l'urto, ma non credo sia possibile in caso di masse diverse.

[Falco5x]

Ma al di là delle ambiguità del problema, è evidente che non puoi determinare tutto avendo 3 incognite. Sarebbe come se tu pretendessi di trovare la v senza che il problema te la dica.
In realtà se tu dividi la prima equazione per per [tex]v[/tex] e la seconda la dividi per [tex]{v^2}[/tex] ottieni 2 sole incognite, ovvero [tex]\frac{w}{v}[/tex] e [tex]{m_2}[/tex]. E tanto ti basta per determinare la [tex]{m_2}[/tex].

[Scotti1]

"biowep":
Io interpreto il problema nel seguente modo:
dopo l'urto le due sfere proseguono sulla sessa traiettoria con delle velocità che in modulo sono: la seconda la metà della prima.
Ora sorge un problema, per risolvere l'esercizio ho a disposizione 2 equazioni in 3 incognite:
\begin{cases}
m_1v=m_1w+m_2\frac{w}{2} \\
\frac{1}{2}m_1v^2 = \frac{1}{2}m_1w^2+\frac{1}{2}m_2\left(\frac{w}{2}\right)^2
\end{cases}

Ciao biowep

la soluzione per le velocità dopo l'urto di un sistema energia ed impulso invariante, a carattere generale, è:

$v_(1f) = ((m_1 - m_2)v_(1i) + 2m_2 v_(2i))/(m_1 + m_2)$
$v_(2f) = ((m_2 - m_1)v_(2i) + 2m_1 v_(1i))/(m_1 + m_2)$

Ora tenendo conto della tua interpretazione assolutamente plausibile

"biowep":dopo l'urto le due sfere proseguono sulla sessa traiettoria con delle velocità che in modulo sono: la seconda la metà della prima.

Ora detto questo, dobbiamo osservare che se la sfera colpita emerge dall'urto con una velocità in modulo pari a

$v_(2f) = v_(1f)/2$

necessariamente le due sfere devono avere versi opposti cioè:

$v_(2f) = -v_(1f)/2$

se imponi questa condizione alle due precedenti e ne fai il rapporto ottieni:

$-2 =v_(1f) /v_(2f) =((m_1 - m_2)v_(1i) )/(( 2m_1 v_(1i))$

da cui:

$ m_2 = 5 m_1$

Questo è quanto.
Bye

[biowep]

Grazie mille delle risposte. Spero di ricordarmi in futuro il trucchetto di considerare il rapporto per avere meno variabili.