Urto e oscillazioni
Una massa \(\displaystyle m \) con velocità \(\displaystyle v_{0} \) urta una conca di massa \(\displaystyle M \) e raggio \(\displaystyle R \) al cui interno è presente una massa \(\displaystyle \mu \). Supponiamo che l'urto sia totalmente anelastico e non ci sia attrito. Trova l'ampiezza massima delle oscillazioni della massa \(\displaystyle \mu \).
La mia soluzione: Partendo da un consiglio dell'esercitatore ("usate il principio di inerzia"), al momento dell'urto la massa \(\displaystyle \mu \) ha velocità nulla. Nel SR della conca essa ha invece una certa velocità, uguale e opposta alla velocità della conca stessa nel SR del laboratorio. A questo punto possiamo usare la conservazione della quantità di moto:
\(\displaystyle mv_{0}=(M+m)u \)
da cui \(\displaystyle u=\frac{m}{m+M}v_{0} \).
A questo punto usiamo la conservazione dell'energia meccanica applicata alla massa \(\displaystyle \mu \):
\(\displaystyle \frac{1}{2}\mu u^2=\mu gh \).
Con un poco di trigonometria scriviamo \(\displaystyle h=R(1-cos\theta) \)
e dunque \(\displaystyle cos\theta=1-\frac{u^2}{2gR} \).
Ora, sostituendo con i dati del problema,
\(\displaystyle cos\theta=1-\frac{m^2}{2gR(m+M)^2}v_{0}^2 \).
Ho sbagliato qualcosa o è questa la soluzione?
La mia soluzione: Partendo da un consiglio dell'esercitatore ("usate il principio di inerzia"), al momento dell'urto la massa \(\displaystyle \mu \) ha velocità nulla. Nel SR della conca essa ha invece una certa velocità, uguale e opposta alla velocità della conca stessa nel SR del laboratorio. A questo punto possiamo usare la conservazione della quantità di moto:
\(\displaystyle mv_{0}=(M+m)u \)
da cui \(\displaystyle u=\frac{m}{m+M}v_{0} \).
A questo punto usiamo la conservazione dell'energia meccanica applicata alla massa \(\displaystyle \mu \):
\(\displaystyle \frac{1}{2}\mu u^2=\mu gh \).
Con un poco di trigonometria scriviamo \(\displaystyle h=R(1-cos\theta) \)
e dunque \(\displaystyle cos\theta=1-\frac{u^2}{2gR} \).
Ora, sostituendo con i dati del problema,
\(\displaystyle cos\theta=1-\frac{m^2}{2gR(m+M)^2}v_{0}^2 \).
Ho sbagliato qualcosa o è questa la soluzione?
Risposte
Direi che gia' che il fatto che la massa $mu$ non compare nella soluzione ti dovrebbe insospettire.
Usare la conservazione dell'energia meccanica nel sistema di laboratorio richiede attenzione.
La risalita della massa $mu$ comporta una diminuzione della velocita della conca.
Vuoi riprovarci?
Usare la conservazione dell'energia meccanica nel sistema di laboratorio richiede attenzione.
La risalita della massa $mu$ comporta una diminuzione della velocita della conca.
Vuoi riprovarci?
"professorkappa":
Direi che gia' che il fatto che la massa $mu$ non compare nella soluzione ti dovrebbe insospettire.
In effetti il fatto che \(\displaystyle \mu \) si semplificasse mi sembrava troppo bello per essere vero... Ora ci riprovo.
Approfitto del mio errore per un ragionamento però...
Se \(\displaystyle M>>m \) è lecito pensare che la conca tenda a restare ferma (comportandosi come se fosse ancorata a terra). Suppongo allora che si debba aggiungere un termine del tipo \(\displaystyle +\frac{\mu}{\mu+M}v \).
Cerco di capire cosa vada aggiunto e torno... Magari calcolo anche il periodo delle piccole oscillazioni
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