Urto e forza media
Un saluto a tutti! Voglio chiarirmi un piccolo dubbio.
Ho un sistema (privo di attriti) con un carrello che può scorrere su un piano orizzontale, tale carrello, inizialmente in quiete, presenta una faccia inclinata di un certo angolo rispetto l'orizzontale. Ad un certo istante una sfera, con velocità iniziale v0 orizzontale urta elasticamente la faccia inclinata del carrello. Mi si chiede di calcolare la forza media esercitata dal piano ORIZZONTALE su cui sorre il carrello, durante l'urto, che si suppone durare un certo dt.
Allora: ciò che accade è che la quantità di moto si conserva solo lungo l'asse x, ma non su l'asse y, in quanto la particella dopo l'urto, inclina la sua traiettoria dello stesso angolo con cui colpisce il piano inclinato del carrello (specularmente), e nasce quindi una componente della quantità di moto anche lungo y. Per cui, dovendomi servire della variazione della quantità di moto per determinare l'impulso, nel caso in questione, in cui mi si chiede la forza media esercitata dal piano orizzontale, dovrei tenere conto della quantità di moto del centro di massa del sistema sfera-carrello, e non della sola sfera. Quindi, ancora, conservandosi la quantità di moto lungo x, la sola variazione che questa subisce non è altro che, in modulo, la componente verticale della quantità di moto della sfera dopo l'urto, che divisa per dt mi da la forza media cercata. Corretto?
Thank you all!
Ho un sistema (privo di attriti) con un carrello che può scorrere su un piano orizzontale, tale carrello, inizialmente in quiete, presenta una faccia inclinata di un certo angolo rispetto l'orizzontale. Ad un certo istante una sfera, con velocità iniziale v0 orizzontale urta elasticamente la faccia inclinata del carrello. Mi si chiede di calcolare la forza media esercitata dal piano ORIZZONTALE su cui sorre il carrello, durante l'urto, che si suppone durare un certo dt.
Allora: ciò che accade è che la quantità di moto si conserva solo lungo l'asse x, ma non su l'asse y, in quanto la particella dopo l'urto, inclina la sua traiettoria dello stesso angolo con cui colpisce il piano inclinato del carrello (specularmente), e nasce quindi una componente della quantità di moto anche lungo y. Per cui, dovendomi servire della variazione della quantità di moto per determinare l'impulso, nel caso in questione, in cui mi si chiede la forza media esercitata dal piano orizzontale, dovrei tenere conto della quantità di moto del centro di massa del sistema sfera-carrello, e non della sola sfera. Quindi, ancora, conservandosi la quantità di moto lungo x, la sola variazione che questa subisce non è altro che, in modulo, la componente verticale della quantità di moto della sfera dopo l'urto, che divisa per dt mi da la forza media cercata. Corretto?
Thank you all!
Risposte
"Spark_94":
la particella dopo l'urto, inclina la sua traiettoria dello stesso angolo con cui colpisce il piano inclinato del carrello (specularmente)
Questa affermazione non è giustificata da fatti fisici, e infatti non è necessariamente vera.
Dobbiamo ragionare esclusivamente sulla base di ipotesi fisiche sostenibili.
Allora, io direi che viste le caratteristiche di questo sistema, cioè di essere privo di attriti, una superficie colpita da un corpo deve reagire con un impulso in direzione normale alla superficie stessa.
In particolare: la superficie inclinata del carrello (supponiamo di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale) che riceve l'urto della pallina deve comunicare alla pallina stessa un impulso normale. Il che significa che la differenza tra il vettore quantità di moto finale della pallina (che possiede sia una componente orizzontale che una componente verticale) e la quantità di moto iniziale della pallina stessa (che ha solo componente orizzontale) deve essere un impulso normale alla superficie inclinata del carrello.
L'angolo di rimbalzo dipende oltre che dall'inclinazione $\alpha$ della superficie laterale del carrello, anche dal rapporto di massa tra pallina e carrello.
Innanzi tutto ti ringrazio per l'intervento.
Quindi, se non ho capito male, effettivamente l'angolo di rimbalzo non è così scontato per come lo avevo dato, per cui, essendo, dalla conservazione della quantità di moto lungo l'asse x, a conoscenza della componente Px lungo le ascisse della sfera dopo l'urto, posso, con un po di trigonometria, ricavarmi la componente lungo le ordinate affinchè, come hai detto tu, la differenza tra le quantità di moto iniziale e finale della sfera sia un vettore normale al piano inclinato del carrello e potrò adesso procedere secondo lo stesso ragionamento per il seguito. Confermi?
Quindi, se non ho capito male, effettivamente l'angolo di rimbalzo non è così scontato per come lo avevo dato, per cui, essendo, dalla conservazione della quantità di moto lungo l'asse x, a conoscenza della componente Px lungo le ascisse della sfera dopo l'urto, posso, con un po di trigonometria, ricavarmi la componente lungo le ordinate affinchè, come hai detto tu, la differenza tra le quantità di moto iniziale e finale della sfera sia un vettore normale al piano inclinato del carrello e potrò adesso procedere secondo lo stesso ragionamento per il seguito. Confermi?
"Spark_94":
Confermi?
Sì, però non puoi calcolare la componente Px della pallina indipendentemente, e poi da questa ricavare con la trigonometria la Py. La relazione è quella trigonometrica che dicevi, però sia la Vx che la Vy che la V del carrello entrano insieme nel calcolo dell'energia cinetica.
Allora, penso di esserne venuto a capo, ti descrivo in breve il ragionamento e la procedura.
Parto con l'analisi da un sistema di riferimento con l'asse x orizzontale. Rispetto ad esso si scrive la conservazione della quantità di moto lungo l'asse delle ascisse e la conservazione dell'energia cinetica totale. L'obiettivo è quello di risalire all'angolo con cui rimbalza la sfera, ma le incognite sono troppe rispetto alle due equazioni. Perciò, mi sposto in un sistema di riferimento con l'asse delle x parallelo al piano inclinato del carrello, qui scrivo la conservazione della componente quantità di moto parallela ad esso. Adesso ho tre equazioni, da qui in poi si tratta di eseguire le dovute sostituzioni e svolgere equazioni di secondo grado fino ad ottenere l'angolo cercato, sapendo che $ (Vy)/(Vx)=tan \Theta $ . Di conseguenza conosco anche il modulo della componente di velocità nonché quantità di moto verticale della sfera e servirmene, pertanto, al fine di trovare la forza media esercitata dal piano durante l'urto.
Spero sia corretto, ancora grazie!
Parto con l'analisi da un sistema di riferimento con l'asse x orizzontale. Rispetto ad esso si scrive la conservazione della quantità di moto lungo l'asse delle ascisse e la conservazione dell'energia cinetica totale. L'obiettivo è quello di risalire all'angolo con cui rimbalza la sfera, ma le incognite sono troppe rispetto alle due equazioni. Perciò, mi sposto in un sistema di riferimento con l'asse delle x parallelo al piano inclinato del carrello, qui scrivo la conservazione della componente quantità di moto parallela ad esso. Adesso ho tre equazioni, da qui in poi si tratta di eseguire le dovute sostituzioni e svolgere equazioni di secondo grado fino ad ottenere l'angolo cercato, sapendo che $ (Vy)/(Vx)=tan \Theta $ . Di conseguenza conosco anche il modulo della componente di velocità nonché quantità di moto verticale della sfera e servirmene, pertanto, al fine di trovare la forza media esercitata dal piano durante l'urto.
Spero sia corretto, ancora grazie!
"Spark_94":
sapendo che $ (Vy)/(Vx)=tan \Theta $
Io non so cosa intendi tu per $\Theta$,
Però se fosse l'angolo di inclinazione della faccia inclinata rispetto all'orizzontale allora non sarebbe giiusto.
Per non fare confusione prendo l'angolo di inclinazione della faccia inclinata e lo chiamo $\alpha$.
Allora la relazione diventa:
$${v_y}\tan \alpha = {v_{x0}} - {v_x}$$
Perdonami, non ho specificato abbastanza. Con "theta" indico l'angolo tra il vettore velocità della sfera dopo l'urto e l'asse x posto orizzontale
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