Urto di un sistema composito
Un contenitore di massa m della forma in Figura 5.108 ospita al suo interno un corpo puntiforme, pure di massa m. Il corpo può muoversi senza attrito sul fondo, che ha una lunghezza totale 2a, ed è fissato ai due bordi da molle di lunghezza a riposo trascurabile e costante elastica k. Inizialmente il contenitore è in quiete su un piano orizzontale privo di attrito, e anche il corpo si trova all’interno in quiete nella posizione di equilibrio.
1. In un tempo molto breve si applica al contenitore un impulso orizzontale J. Determinare nell’istante immediatamente successivo la velocità del contenitore e quella del corpo all’interno.
2. Per quale valore minimo di J il corpo all’interno urta contro le pareti?
3. Se tra corpo e contenitore esistesse attrito, quale frazione dell’energia cinetica
iniziale del sistema verrebbe dissipata?
1) All'inizio il contenitore era in quiete, per cui:
$ J = mv_c $ $\rightarrow$ $ v_c = \frac{J}{m} $
Mentre:
$ v_m = 0 $ Perchè la massetta rimane in quiete dopo l'urto, infatti non subisce direttamente l'impulso
2) Dopo l'urto
$E_i = E_f $
Poichè possiamo scrivere, per il teorema di Koenig, $K = K' + \frac{1}{2}Mv_{CM}^2$, scegliendo un sistema solidale al contenitore con origine nel bordo sinistro del contenitore:
$\frac{1}{2}2mv_{CM}^2 + K'_i + \frac{1}{2}k (a)^2 + \frac{1}{2} k(2a - a)^2 = \frac{1}{2}2mv_{CM}^2 + K'_f + \frac{1}{2}k (2a)^2 + \frac{1}{2} k(2a - 2a)^2 $
Ora arrivano i miei dubbi:
Non sono sicuro ma credo che dopo l'urto $v_{CM} = 0$ e $K'_i = \frac{1}{2}\mu v_r^2 = \frac{1}{4}m v_c^2$ poichè $v_m = 0$ inizialmente
e $K'_f = 0$ poichè entrambe le velocità dei corpi sono nulle, essendo la molla tirata o rilasciata al massimo
Allora si ha:
$\frac{1}{4}m v_c^2 = k a^2$ $\rightarrow$ $ v_c = \sqrt{\frac{4ka^2}{m}} $ $\rightarrow$ $J = \sqrt{4kma^2} $
3)
In questo caso non so se $v_{CM}$ sia invariata, d'altronde l'attrito sarebbe una forza interna. In ogni caso la quantità richiesta si potrebbe ricavare come:
$\epsilon = \frac{K_i}{K_f}$
.
Qualcuno che mi da una mano con questo punto e mi aiuta a capire se quello che ho scritto è corretto?
Risposte
Ciao @Nexus99 !
Non è la risposta che cerchi, ma prova a dare un'occhiata qui:
http://osiris.df.unipi.it/~cella/uegbook/uegbook.pdf
Se non sbaglio a pag. 308 c'è proprio il tuo esercizio (problema 5.124). Magari può tornarti utile.
Saluti
Non è la risposta che cerchi, ma prova a dare un'occhiata qui:
http://osiris.df.unipi.it/~cella/uegbook/uegbook.pdf
Se non sbaglio a pag. 308 c'è proprio il tuo esercizio (problema 5.124). Magari può tornarti utile.
Saluti
Ciao, grazie del post utilissimo, ora ho capito da dove vengono questi problemi 
Però anche dalla sua risoluzione, le cose su cui avevo dubbi ancora non mi tornano
Però anche dalla sua risoluzione, le cose su cui avevo dubbi ancora non mi tornano
Io ragionerei così.
La velocità del centro di massa di tutto il sistema dopo l'impulso è costante visto che non intervengono più forze esterne.
Si trova facilmente che vale
$v_{"cm"}=I/(2m)$
d'altra parte subito dopo l'impulso solo il corpo esterno si muove e la sua velocità vale:
$v_E=I/m$
L'energia iniziale di tutto il sistema subito dopo l'urto è quindi
$E_i=1/2 m v_E^2=1/2 m(I/m)^2$
Nel momento di massima elongazione delle molle la velocità della massa interna e della massa esterna devono essere uguali e ovviamente, visto che la velocità del centro di massa non cambia come detto, saranno pari proprio alla velocità del centro di massa per cui, l'energia cinetica dopo l'urto vale.
$E_c=1/2 (2m) (\frac{I}{2m})^2$
Per avere l'energia totale in questa condizione va aggiunta l'energia potenziale delle molle che si sono spostate dalla posizione di equilibrio iniziale. Quindi l'energia totale finale alla massima elongazione, se la massa interna arriva a toccare il contenitore esterno, deve essere:
$E_f=1/2 (2m) (\frac{I}{2m})^2+2*1/2k a^2$
A questo punto eguagliando l'energia iniziale e quella finale si trova
$I=sqrt(4mka^2)$
Per il punto 3 credo che sia facile ora, osservando appunto che la forza di attrito è una forza interna non varia i ragionamenti sul centro di massa, varia solo il computo della energia finale.....
La velocità del centro di massa di tutto il sistema dopo l'impulso è costante visto che non intervengono più forze esterne.
Si trova facilmente che vale
$v_{"cm"}=I/(2m)$
d'altra parte subito dopo l'impulso solo il corpo esterno si muove e la sua velocità vale:
$v_E=I/m$
L'energia iniziale di tutto il sistema subito dopo l'urto è quindi
$E_i=1/2 m v_E^2=1/2 m(I/m)^2$
Nel momento di massima elongazione delle molle la velocità della massa interna e della massa esterna devono essere uguali e ovviamente, visto che la velocità del centro di massa non cambia come detto, saranno pari proprio alla velocità del centro di massa per cui, l'energia cinetica dopo l'urto vale.
$E_c=1/2 (2m) (\frac{I}{2m})^2$
Per avere l'energia totale in questa condizione va aggiunta l'energia potenziale delle molle che si sono spostate dalla posizione di equilibrio iniziale. Quindi l'energia totale finale alla massima elongazione, se la massa interna arriva a toccare il contenitore esterno, deve essere:
$E_f=1/2 (2m) (\frac{I}{2m})^2+2*1/2k a^2$
A questo punto eguagliando l'energia iniziale e quella finale si trova
$I=sqrt(4mka^2)$
Per il punto 3 credo che sia facile ora, osservando appunto che la forza di attrito è una forza interna non varia i ragionamenti sul centro di massa, varia solo il computo della energia finale.....
@Faussone
Grazie della risposta, sei stato molto chiaro, ma nell'energia iniziale che hai scritto non manca il contributo dovuto al moto del centro di massa?
Per il 3:
Senza attrito avremmo:
$K_i = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}mv_{CM}^2$
Invece, con l'attrito, io credo che venga aumentata la velocità del contenitore e rallentata quella della massetta, per cui, c'è un bilancio in energia persa e guadagnata. Tuttavia dovrà comunque disperdersi energia, in particolare si disperderà quella centro di massa:
$K_i' = \frac{1}{2}mv_c^2 $
$ \epsilon = \frac{K_i'}{K_i} = \frac{\frac{1}{2}mv_{c}^2 }{\frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}mv_{CM}^2} = \frac{1}{2} $
Non sono ancora convinto al 100% di come funzioni il lavoro di forze interne come l'attrito, per cui sarebbe gradita conferma su ciò che ho scritto
Grazie della risposta, sei stato molto chiaro, ma nell'energia iniziale che hai scritto non manca il contributo dovuto al moto del centro di massa?
Per il 3:
Senza attrito avremmo:
$K_i = \frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}mv_{CM}^2$
Invece, con l'attrito, io credo che venga aumentata la velocità del contenitore e rallentata quella della massetta, per cui, c'è un bilancio in energia persa e guadagnata. Tuttavia dovrà comunque disperdersi energia, in particolare si disperderà quella centro di massa:
$K_i' = \frac{1}{2}mv_c^2 $
$ \epsilon = \frac{K_i'}{K_i} = \frac{\frac{1}{2}mv_{c}^2 }{\frac{1}{2}mv_c^2 + \frac{1}{2}mv_{CM}^2} = \frac{1}{2} $
Non sono ancora convinto al 100% di come funzioni il lavoro di forze interne come l'attrito, per cui sarebbe gradita conferma su ciò che ho scritto
"Nexus99":
@Faussone
Grazie della risposta, sei stato molto chiaro, ma nell'energia iniziale che hai scritto non manca il contributo dovuto al moto del centro di massa?
No, all'istante immediatamente successivo all'applicazione dell'impulso solo il corpo esterno si muove acquisendo una certa energia cinetica, il resto è immobile, poi l'energia si distribuisce anche alla molla e all'altro corpo.
Se calcoli comunque con Koenig a partire dall'energia del centro di massa più l'energia vista dal centro di massa otterrai lo stesso risultato per l'energia iniziale.
Per il discorso dell'attrito scrivo più tardi quando riesco a dedicarci un attimo.
Riguardo all'attrito, credo che il senso della domanda sia capire, in un tempo sufficientemente grande, quanta parte dell'energia iniziale si sarà dissipata per attrito.
Direi allora che ci sei: alla fine quello che accade è che il corpo procederà di moto rettilineo uniforme e che la massa interna sarà ferma nella posizione centrale di equilibrio tra le molle. Poi siccome l'attrito è una forza interna, la velocità del centro di massa non può variare quindi alla fine, dopo che l'attrito ha dissipato il dissipabile, tutto procederà alla velocità del centro di massa.
Pertanto la differenza tra energia cinetica iniziale scritta nel punto precedente e l'energia cinetica di tutto alla velocità del centro di massa è la quota di energia persa per il lavoro della forza interna di attrito.
Direi allora che ci sei: alla fine quello che accade è che il corpo procederà di moto rettilineo uniforme e che la massa interna sarà ferma nella posizione centrale di equilibrio tra le molle. Poi siccome l'attrito è una forza interna, la velocità del centro di massa non può variare quindi alla fine, dopo che l'attrito ha dissipato il dissipabile, tutto procederà alla velocità del centro di massa.
Pertanto la differenza tra energia cinetica iniziale scritta nel punto precedente e l'energia cinetica di tutto alla velocità del centro di massa è la quota di energia persa per il lavoro della forza interna di attrito.
Grazie Faussone, in sintesi l'attrito compie lavoro per far andare tutto il sistema alla velocità del centro di massa e dunque compie un lavoro pari -$K_{CM}$ ?
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