Urto di un corpo su slitta senza attrito
Vi voglio proporre un esercizio che ho inventato io e che ritengo non proprio facile, anche se tutto si svolge in assenza di attriti.
Naturalmente credo di averlo risolto, però mi piacerebbe confrontare il mio risultato con quello trovato da altri.
Ecco l'esercizio.
Una slitta di massa $M = 2m$ può scivolare senza attrito su un piano orizzontale.
Un punto materiale (ovvero un corpo di dimensioni trascurabili) di massa $m$ viene lasciato cadere sul lato inclinato a 45° della slitta, impattando con essa sul punto $P$. Dopo tale impatto il punto materiale rimbalza senza fare attrito e in modo completamente elastico, esegue una traiettoria e cade sull'estremo destro della slitta (punto $Q$).
Supposta nota la lunghezza $h$, si chiede di calcolare l’altezza di caduta $z$.
Naturalmente credo di averlo risolto, però mi piacerebbe confrontare il mio risultato con quello trovato da altri.
Ecco l'esercizio.
Una slitta di massa $M = 2m$ può scivolare senza attrito su un piano orizzontale.
Un punto materiale (ovvero un corpo di dimensioni trascurabili) di massa $m$ viene lasciato cadere sul lato inclinato a 45° della slitta, impattando con essa sul punto $P$. Dopo tale impatto il punto materiale rimbalza senza fare attrito e in modo completamente elastico, esegue una traiettoria e cade sull'estremo destro della slitta (punto $Q$).
Supposta nota la lunghezza $h$, si chiede di calcolare l’altezza di caduta $z$.
Risposte
Domande/chiarimenti: subito prima di impattare contro la slitta il punto materiale possiede una certa componente $y$ della velocità diretta verso il basso, mentre la componente $x$ è zero.Subito dopo l'urto immagino che la slitta inizi a spostarsi verso sinistra con moto rettilineo uniforme ed unica componente della velocità quella $x$, e il punto materiale verso "destra" iniziando un moto parabolico. Però presumo che subito dopo l'urto la componente $y$ della quantità di moto totale del sistema punto-slitta sia diretta verso l'alto, mentre subito prima era diretta verso il basso. Questo si spiega dal fatto che il sistema non è isolato, in quanto agisce la forza di reazione del piano su cui poggia la slitta (naturalmente agisce per tutto il tempo anche la forza peso, infatti il punto parte da fermo, ma valutando solo gli istanti prima e dopo l'urto possiamo ignorarla appunto durante l'urto).
Quindi le domande vere e proprie: posto che la quantità di moto totale non si conserva, come devo procedere? Tra prima e dopo l'urto inverto semplicemente la componente $y$ della velocità della pallina? Non credo perchè dopo l'urto, contando le inevitabili componenti $x$ della velocità di punto e slitta (quando il punto impatta sulla slitta la forza di reazione che questa sviluppa sul punto è inclinata di $45^o$, e quindi ha effetti anche sulla componente $x$ della velocità del punto e per reazione su quella della slitta) avremmo un'energia cinetica maggiore, impossibile. Quindi come valuto la componente $y$ del punto subito dopo l'urto? Mi è sufficiente impore la conservazione dell'energia cinetica (questa si conserva almeno giusto?) unita a (vedi punto successivo)... per risolvere o mi sfugge qualcosa?
...Inoltre ricordiamo che prima dell'urto la copmponente $x$ della quanità di moto era zero: la sola componente $x$ invece dovrebbe conservarsi giusto? (fermo restando che la componente $y$, ed in definitiva la quantità di moto totale non si conserva)
Quindi le domande vere e proprie: posto che la quantità di moto totale non si conserva, come devo procedere? Tra prima e dopo l'urto inverto semplicemente la componente $y$ della velocità della pallina? Non credo perchè dopo l'urto, contando le inevitabili componenti $x$ della velocità di punto e slitta (quando il punto impatta sulla slitta la forza di reazione che questa sviluppa sul punto è inclinata di $45^o$, e quindi ha effetti anche sulla componente $x$ della velocità del punto e per reazione su quella della slitta) avremmo un'energia cinetica maggiore, impossibile. Quindi come valuto la componente $y$ del punto subito dopo l'urto? Mi è sufficiente impore la conservazione dell'energia cinetica (questa si conserva almeno giusto?) unita a (vedi punto successivo)... per risolvere o mi sfugge qualcosa?
...Inoltre ricordiamo che prima dell'urto la copmponente $x$ della quanità di moto era zero: la sola componente $x$ invece dovrebbe conservarsi giusto? (fermo restando che la componente $y$, ed in definitiva la quantità di moto totale non si conserva)
@Falco5x
[mod="Fioravante Patrone"]
Ciao,
per favore modifica il tuo post iniziale mettendo un titolo in accordo col regolamento (art. 3.3)[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]
Ciao,
per favore modifica il tuo post iniziale mettendo un titolo in accordo col regolamento (art. 3.3)[/mod]
"Fioravante Patrone":
@Falco5x
Fatto.
@Strangolatoremancino
Non capisco questa cosa.
Io immagino così: subito dopo l'urto, la pallina avrà una velocità parellela al pavimento.
Infatti se non ci fosse il peso, la traiettoria seguirebbe la legge della riflessione, quindi appunto i due vettori (velocità prima, velocità dopo) sarebbero ortogonali.
Poi come dici tu, lungo l'asse y ci sono 2 forze, quindi la quantità di moto non si conserva, cosa che accade lungo l'asse x.
Io ho un'idea di come procedere, appena ho tempo spero di metterla.
Fammi sapere,
ciao.
Però presumo che subito dopo l'urto la componente y della quantità di moto totale del sistema punto-slitta sia diretta verso l'alto, mentre subito prima era diretta verso il basso.
Non capisco questa cosa.
Io immagino così: subito dopo l'urto, la pallina avrà una velocità parellela al pavimento.
Infatti se non ci fosse il peso, la traiettoria seguirebbe la legge della riflessione, quindi appunto i due vettori (velocità prima, velocità dopo) sarebbero ortogonali.
Poi come dici tu, lungo l'asse y ci sono 2 forze, quindi la quantità di moto non si conserva, cosa che accade lungo l'asse x.
Io ho un'idea di come procedere, appena ho tempo spero di metterla.
Fammi sapere,
ciao.
"strangolatoremancino":Premesso che non so se la mia soluzione è giusta (anche se lo spero), veniamo alle questioni che sollevi e a come le vedo io.
Domande/chiarimenti
"strangolatoremancino":Fin qui d'accordo.
subito prima di impattare contro la slitta il punto materiale possiede una certa componente $y$ della velocità diretta verso il basso, mentre la componente $x$ è zero. Subito dopo l'urto immagino che la slitta inizi a spostarsi verso sinistra con moto rettilineo uniforme ed unica componente della velocità quella $x$, e il punto materiale verso "destra" iniziando un moto parabolico
"strangolatoremancino":Direi che questo è tutto da stabilire. Come si fa a dirlo a priori? sarebbe come affermare che il punto "rimbalza" risalendo un poco prima di cadere... nessuno ce lo assicura...
Però presumo che subito dopo l'urto la componente $y$ della quantità di moto totale del sistema punto-slitta sia diretta verso l'alto, mentre subito prima era diretta verso il basso.
"strangolatoremancino":Che la quantità di moto verticale non si conservi è pacifico, ma questo non basta a far concludere che la quantità di moto dopo l'urto avrà componente verticale verso l'alto...
Questo si spiega dal fatto che il sistema non è isolato, in quanto agisce la forza di reazione del piano su cui poggia la slitta
"strangolatoremancino":Esatto, impossibile che la componente verticale della quantità di moto della pallina sia uguale in modulo a quella che aveva prima dell'urto!
Quindi le domande vere e proprie: posto che la quantità di moto totale non si conserva, come devo procedere? Tra prima e dopo l'urto inverto semplicemente la componente $y$ della velocità della pallina? Non credo perchè dopo l'urto, contando le inevitabili componenti $x$ della velocità di punto e slitta (quando il punto impatta sulla slitta la forza di reazione che questa sviluppa sul punto è inclinata di $45^o$, e quindi ha effetti anche sulla componente $x$ della velocità del punto e per reazione su quella della slitta) avremmo un'energia cinetica maggiore, impossibile.
"strangolatoremancino":Vero anche questo.
Inoltre ricordiamo che prima dell'urto la copmponente $x$ della quanità di moto era zero: la sola componente $x$ invece dovrebbe conservarsi giusto? (fermo restando che la componente $y$, ed in definitiva la quantità di moto totale non si conserva)
Adesso però io non vorrei aggiungere suggerimenti, perché altrimenti ti porto sulla mia strada, cosa che voglio evitare perché ti assicuro che io non so se ho fatto giusto.
Il problema è aperto a tutti i contributi.
Tuttavia per non dare l'impressione di barare, voglio dichiarare subito il valore che ho trovato:
$z = \frac{25}{24}h$
Se è sbagliato pazienza, vorrà dire che rivedrò le mie conclusioni alla luce di più corretti ragionamenti che saranno emersi da questa discussione.
"Steven":
Infatti se non ci fosse il peso, la traiettoria seguirebbe la legge della riflessione, quindi appunto i due vettori (velocità prima, velocità dopo) sarebbero ortogonali.
Aggiungo solo una ulteriore considerazione a chiarimento.
La velocità iniziale dopo l'urto non è orizzontale perché la slitta non è immobile. Se la slitta fosse un muro fermo (oppure avesse massa M infinita, il che è lo stesso), allora la velocità della pallina dopo l'urto sarebbe perfettamente orizzontale e la parabola "di tiro" inizierebbe esattamente dal suo vertice.
Qua il problema è che parte dell'energia della pallina viene ceduta alla slitta che così si muove, e quindi l'angolo di riflessione non è più necessariamente uguale all'angolo di incidenza.
E' questo il fattore che complica l'esercizio.
mi sono perso nei vostri ragionamenti....
però qui a mio avviso il fatto di "idealizzare" la palla, la slitta, l'urto, ecc... ci fa incasinare. Nel senso che, è vero che appena urttata la slitta questa comincia a muoversi, ma è anche vero che l'istante in cui la palla tocca la slitta è infinitesimale, perciò nell'istante dell'urto la slitta è ancora ferma, e ciò farebbe presumere che l'angolo di riflessione sia 90°, il che porterebbe la palla a schizzare in orizzontale mentre nel frattempo la slitta inizia a muoversi...
Cioè, il fatto è che se fosse un caso reale non potremmo non tener conto del fatto che la palla non è un punto materiale, ma ha una certa dimensione che fa sì che tocchi la slitta per un tempo che non è infinitamente piccolo, perciò che la slitta inizi a muoversi mentre la palla è ancora in contatto con il piano, e che quindi, in un caso reale, la palla non è detto che parta in orizzontale, ma potrebbe anche partire con direzione leggermente inclinata verso l'alto.... (o verso il basso).
Magari la sto sparando grossa...
Detto questo, io approccerei partendo dalla conservazione dell'energia, anche se non so ancora come...
però qui a mio avviso il fatto di "idealizzare" la palla, la slitta, l'urto, ecc... ci fa incasinare. Nel senso che, è vero che appena urttata la slitta questa comincia a muoversi, ma è anche vero che l'istante in cui la palla tocca la slitta è infinitesimale, perciò nell'istante dell'urto la slitta è ancora ferma, e ciò farebbe presumere che l'angolo di riflessione sia 90°, il che porterebbe la palla a schizzare in orizzontale mentre nel frattempo la slitta inizia a muoversi...
Cioè, il fatto è che se fosse un caso reale non potremmo non tener conto del fatto che la palla non è un punto materiale, ma ha una certa dimensione che fa sì che tocchi la slitta per un tempo che non è infinitamente piccolo, perciò che la slitta inizi a muoversi mentre la palla è ancora in contatto con il piano, e che quindi, in un caso reale, la palla non è detto che parta in orizzontale, ma potrebbe anche partire con direzione leggermente inclinata verso l'alto.... (o verso il basso).
Magari la sto sparando grossa...
Detto questo, io approccerei partendo dalla conservazione dell'energia, anche se non so ancora come...
"falco5x":
Qua il problema è che parte dell'energia della pallina viene ceduta alla slitta che così si muove, e quindi l'angolo di riflessione non è più necessariamente uguale all'angolo di incidenza.
Sì, ma non capisco perchè il fatto che lui ceda energia cinetica al blocco dovrebbe incidere sulla traiettoria, e non solo sul modulo.
Sul modulo ok, ma non è un problema.
Come giustifichi che non parte orizzontalmente?
"boba74":
mi sono perso nei vostri ragionamenti....
però qui a mio avviso il fatto di "idealizzare" la palla, la slitta, l'urto, ecc... ci fa incasinare. Nel senso che, è vero che appena urttata la slitta questa comincia a muoversi, ma è anche vero che l'istante in cui la palla tocca la slitta è infinitesimale...
Io non credo che si debba prescindere dalla idealità della schematizzazione per ragionare correttamente.
Visto che me ne dai l’occasione faccio allora alcune considerazione sugli urti.
Noi sappiamo che si può scrivere $Fdt = dP = mdv$, e quando vogliamo trovare le quantità di moto finale di un corpo integriamo l’espressione. Nel caso degli urti però la forza tende all’infinito e agisce in un tempo brevissimo. Poco male. Non è necessario rinunciare all’idealità del modello, per gestire casi come questo la matematica ha inventato gli impulsi di Dirac. Ma anche non volendone sapere niente, essendo evidente che dopo l’urto la quantità di moto cambia, nulla ci vieta di pensare che l’integrale esteso a un tempo finito di una forza infinita ma istantanea dia un risultato finito, cioè $\int_0^T Fdt = \Delta P = m\Delta v$.
Ho detto forse cose ovvie, ma il mio ragionamento per risolvere il problema passa proprio attraverso la considerazione che la slitta è un sistema di riferimento inerziale tranne che nell’istante dell’urto, istante nel quale si comporta come un sistema accelerato da una accelerazione impulsiva, e quindi in questo sistema ogni oggetto assume accelerazione impulsiva uguale e contraria.
La mia via di soluzione passa attraverso questo concetto.
scusate se mi intrometto, solo una domanda: è da tanto che non faccio esercizi simili e mi sto dimenticando praticamente tutto 
ma volevo chiedere se la quantità di moto prima e dopo l'urto lungo la direzione orizzontale si conserva
ma volevo chiedere se la quantità di moto prima e dopo l'urto lungo la direzione orizzontale si conserva
"Steven":
[quote="falco5x"]Qua il problema è che parte dell'energia della pallina viene ceduta alla slitta che così si muove, e quindi l'angolo di riflessione non è più necessariamente uguale all'angolo di incidenza.
Sì, ma non capisco perchè il fatto che lui ceda energia cinetica al blocco dovrebbe incidere sulla traiettoria, e non solo sul modulo.
Sul modulo ok, ma non è un problema.
Come giustifichi che non parte orizzontalmente?[/quote]
Questo lo puoi facilmente intuire se ragioni con casi limite.
Ad esempio se la slitta avesse una massa piccolissima, è abbastanza intuitivo che la pallina risentirebbe poco della sua presenza e verrebbe poco influenzata dall'urto deviando quindi poco dalla sua naturale traiettoria verticale. Al limite se la slitta avesse massa zero schizzerebbe via al contatto con la pallina che cadrebbe verticalmente indisturbata.
"minavagante":
scusate se mi intrometto, solo una domanda: è da tanto che non faccio esercizi simili e mi sto dimenticando praticamente tutto
Ovvio che sì, non ci sono forze orizzontali a modificare la quantità di moto, poiché il suolo è senza attrito.
A questo aggiungo però una cosa forse un po' meno ovvia.
Anche se ci fosse attrito col terreno, nell'istante dell'urto la quantità di moto orizzontale sarebbe comunque conservata. Infatti l'attrito è una forza finita, mentre l'urto sviluppa una forza impulsiva. Dunque al momento dell'urto la quantità di moto istantanea acquisita dalla slitta verso sinistra non risentirebbe dell'attrito, che essendo una forza finita ha bisogno di un tempo finito per agire, e pertanto in quell'istante rimarrebbe uguale e contraria a quella acquisita dalla pallina.
Poi con lo scorrere del tempo l'attrito rallenterebbe la slitta fino a fermarla.
Io lo risolverei così.
Equazione di conservazione dell'energia (ipotesi di urto elastico).
Equazione di bilancio di quantità di moto orizzontale lungo x per la massa (lascio l'impulso incognito).
Equazione di bilancio di quantità di moto lungo y per la massa (idem come sopra).
Equazione di bilancio quantità di moto lungo x slitta (anche qui l'impulso incognito).
So che l'impulso è perpendicolare alla superficie inclinata della slitta.
Alla fine ottengo un sistema in cui ho 4 equazioni in 4 incognite (velocità finale orizzontale slitta, velocità finale orizzontale massa, velocità finale verticale massa e impulso).
Una volta ottenute le velocità finali il resto è cinematica.
Non ho tempo di fare i conti però....
Equazione di conservazione dell'energia (ipotesi di urto elastico).
Equazione di bilancio di quantità di moto orizzontale lungo x per la massa (lascio l'impulso incognito).
Equazione di bilancio di quantità di moto lungo y per la massa (idem come sopra).
Equazione di bilancio quantità di moto lungo x slitta (anche qui l'impulso incognito).
So che l'impulso è perpendicolare alla superficie inclinata della slitta.
Alla fine ottengo un sistema in cui ho 4 equazioni in 4 incognite (velocità finale orizzontale slitta, velocità finale orizzontale massa, velocità finale verticale massa e impulso).
Una volta ottenute le velocità finali il resto è cinematica.
Non ho tempo di fare i conti però....
"Faussone":
Io lo risolverei così.
Alla fine ottengo un sistema in cui ho 4 equazioni in 4 incognite (velocità finale orizzontale slitta, velocità finale orizzontale massa, velocità finale verticale massa e impulso).
Sì certo.
Però detta così non vorrei che qualcuno si scoraggiasse... posso assicurare che non ho dovuto risolvere alcun sistemone, i calcoli mi sono venuti semplici. Mi è bastato disegnare il grafico vettoriale delle quantità di moto, e con considerazioni geometriche e trigonometriche elementari il tutto è andato abbastanza liscio.
"Falco5x":
[quote="Faussone"]Io lo risolverei così.
Alla fine ottengo un sistema in cui ho 4 equazioni in 4 incognite (velocità finale orizzontale slitta, velocità finale orizzontale massa, velocità finale verticale massa e impulso).
Sì certo.
Però detta così non vorrei che qualcuno si scoraggiasse... posso assicurare che non ho dovuto risolvere alcun sistemone, i calcoli mi sono venuti semplici. Mi è bastato disegnare il grafico vettoriale delle quantità di moto, e con considerazioni geometriche e trigonometriche elementari il tutto è andato abbastanza liscio.[/quote]
Be' alla fine il sistema si risolve in pochissimi passaggi.
Non ho voglia di fare il calcolo cinematico completo, ma per le velocità ottengo questo:
"Faussone":
$v_(2x)=(2v_1)/(m/M+2)$
$V=(2v_1)/(2M/m+1)$
$v_(2y)=(2v_1)/(m/M+2)-v_1$
Ok, mi torna.
Con la sola differenza che la $v_(2y) $ da te calcolata deve essere considerata positiva verso l'alto (io ho fatto l'inverso, per cui nella mia soluzione cambia il segno per la $v_(2y) $).
Siccome ho disegnato un grafico vettoriale di quello che succede, visto che la fatica maggiore l'ho già fatta prima o poi posterò la soluzione completa.
"Falco5x":
Ok, mi torna.
Con la sola differenza che la $v_(2y) $ da te calcolata deve essere considerata positiva verso l'alto (io ho fatto l'inverso, per cui nella mia soluzione cambia il segno per la $v_(2y) $).
Esattamente l'asse y per me è verso l'alto.e la $v_1$ è da intendersi come modulo della velocità prima dell'urto.
"Falco5x":
Siccome ho disegnato un grafico vettoriale di quello che succede, visto che la fatica maggiore l'ho già fatta prima o poi posterò la soluzione completa.
Bene!
Posto la mia soluzione.
Di seguito è rappresentata la relazione vettoriale tra le grandeze in gioco.
Definizioni:
$m$ massa del corpo che impatta sulla slitta
$v$ velocità del corpo che impatta sulla slitta
$M = 2m$ massa della slitta
$V_S$ velocità della slitta
$h$ dislivello tra il punto P e il punto Q
$z$ dislivello tra il punto di partenza del corpo e il punto di impatto P
Pedice 0: grandezza prima dell’urto
Pedice 1: grandezza dopo l’urto
Pedice R: grandezza relativa al sistema “slitta”
Pedice X: vettore componente orizzontale
Pedice Y: vettore componente verticale
All’impatto un impulso orizzontale identico e di segno opposto interessa sia la slitta che il punto materiale. Essendo un urto, la forza istantanea tende a infinito e agisce per un tempo tendente a zero. Le velocità assunte dal corpo materiale e dalla slitta stanno nella relazione $mv_{1x} = MV_{S1}$. La conservazione dell’energia impone poi $mv_1^2 + MV_{S1}^2 = mv_0^2$.
Mettiamoci in un sistema di riferimento solidale con la slitta. Questo sistema risulta prima inerziale, poi accelerato (istante di impatto) e infine inerziale. Il calcolo della traiettoria è possibile farlo applicando le leggi della balistica al sistema inerziale successivo all’urto e utilizzando le velocità iniziali del punto materiale relative alla slitta $v_{1RX}$ e $v_{1RY}$.
Imponendo la condizione di raggiungimento del punto Q, le velocità relative iniziali devono obbedire alla seguente relazione (ricavata utilizzando i principi della cinematica):
$\frac{2gh}{v_{1RX}^2} + 2\frac{v_{1RY}}{v_{1RX}} - 1 = 0$
Per stabilire le velocità iniziali in funzione di $v_0$, occorre fare delle considerazioni su cosa accade al momento dell’urto.
Prima dell’urto la slitta è ferma, quindi prima dell’urto la quantità di moto del corpo materiale relativa al sistema slitta è $v_{X0} = 0\quad v_{Y0} = v_0$.
Al momento dell’urto il sistema diviene accelerato, e quindi il punto materiale appare soggetto a una “gravità” aggiuntiva orizzontale uguale e contraria all’accelerazione stessa. La quantità di moto di tale corpo dunque assume una variazione istantanea verso destra pari (in modulo) a $mV_{S1}$, dove $V_{S1}$ è la velocità di traslazione (verso sinistra) istantaneamente assunta dalla slitta. Inoltre sul corpo agisce anche un impulso normale alla superficie di impatto (a causa della mancanza d’attrito). Dunque alla quantità di moto iniziale si sommano queste due variazioni: una in senso normale al piano inclinato di impatto, l’altra in senso orizzontale (verso destra), chiamata in figura $ - mV_{S1}$, che rappresenta il contributo dovuto al fatto che il sistema di riferimento è accelerato (anche se in questo caso l’accelerazione è di tipo impulsivo e conferisce variazioni di velocità istantanee). Il risultato complessivo è il vettore $mv_{1R}$. Le sue componenti sono le grandezze da inserire nell’equazione balistica.
Il vettore $v_1$ (velocità assoluta del corpo) si ottiene dal $v_{1R}$ (velocità del corpo relativa) sommando $V_{S1}$ che è la velocità di trascinamento.
Inserendo il tutto nelle equazioni di conservazione della quantità di moto e dell’energia si ottengono le velocità iniziali cercate:
$ v_{1X} + v_{1Y} = v_0 $
$ mv_{1X} = MV_{S1} $
$ mv_{1X}^2 + mv_{1Y}^2 + MV_{S1}^2 = mv_0^2 $
$ v_{1X}^2 + ( v_0 - v_{1X})^2 + \frac{m}{M}v_{1X}^2 = v_0^2 $
$ 2v_{1X} - 2v_0 + \frac{m}{M}v_{1X} = 0 $
$ v_{1X} = v_0(\frac{1}{1 + \frac{m}{2M}}) $
$ v_{1Y} = v_{1YR} = v_0(\frac{\frac{m}{2M}}{1 + \frac{m}{2M}}) $
$ v_{1XR} = v_0(\frac{1 + \frac{m}{M}}{1 + \frac{m}{2M}}) $
$ V_{S1} = \frac{m}{M}v_{1X} = v_0 (\frac{\frac{m}{M}}{1 + \frac{m}{2M}}) $
Queste relazioni mostrano alcune caratteristiche prevedibili. Ad esempio quando il rapporto $\frac{m}{M}$ tende a zero, la velocità assoluta verticale del corpo tende a 0 mentre quella orizzontale tende a $v_0$ (rimbalzo orizzontale con slitta praticamente ferma perchè di massa molto grande rispetto al corpo). Viceversa quando il rapporto $\frac{m}{M}$ tende all’infinito (corpo con massa molto maggiore della slitta) accade l’inverso, e cioè il moto verticale del corpo appare indisturbato dalla presenza della slitta.
Inserendo dunque i valori delle componenti orizzontale e verticale della velocità relativa nell’equazione balistica e attribuendo alle masse il rapporto 2, come richiesto dall’esercizio, si ricava:
$\frac{gh}{v_0^2} = \frac{2( \frac{M}{m})^2 + 2\frac{M}{m}}{4( \frac{M}{m})^2 + 4\frac{M}{m} + 1} $
$\frac{M}{m} = 2 $
$\frac{gh}{v_0^2} = \frac{8 + 4}{16 + 8 + 1} = \frac{12}{25} $
$ v_0^2 = 2gz = gh\frac{25}{12} $
da cui la relazione cercata:
$z = \frac{25}{24}h$
Di seguito è rappresentata la relazione vettoriale tra le grandeze in gioco.
Definizioni:
$m$ massa del corpo che impatta sulla slitta
$v$ velocità del corpo che impatta sulla slitta
$M = 2m$ massa della slitta
$V_S$ velocità della slitta
$h$ dislivello tra il punto P e il punto Q
$z$ dislivello tra il punto di partenza del corpo e il punto di impatto P
Pedice 0: grandezza prima dell’urto
Pedice 1: grandezza dopo l’urto
Pedice R: grandezza relativa al sistema “slitta”
Pedice X: vettore componente orizzontale
Pedice Y: vettore componente verticale
All’impatto un impulso orizzontale identico e di segno opposto interessa sia la slitta che il punto materiale. Essendo un urto, la forza istantanea tende a infinito e agisce per un tempo tendente a zero. Le velocità assunte dal corpo materiale e dalla slitta stanno nella relazione $mv_{1x} = MV_{S1}$. La conservazione dell’energia impone poi $mv_1^2 + MV_{S1}^2 = mv_0^2$.
Mettiamoci in un sistema di riferimento solidale con la slitta. Questo sistema risulta prima inerziale, poi accelerato (istante di impatto) e infine inerziale. Il calcolo della traiettoria è possibile farlo applicando le leggi della balistica al sistema inerziale successivo all’urto e utilizzando le velocità iniziali del punto materiale relative alla slitta $v_{1RX}$ e $v_{1RY}$.
Imponendo la condizione di raggiungimento del punto Q, le velocità relative iniziali devono obbedire alla seguente relazione (ricavata utilizzando i principi della cinematica):
$\frac{2gh}{v_{1RX}^2} + 2\frac{v_{1RY}}{v_{1RX}} - 1 = 0$
Per stabilire le velocità iniziali in funzione di $v_0$, occorre fare delle considerazioni su cosa accade al momento dell’urto.
Prima dell’urto la slitta è ferma, quindi prima dell’urto la quantità di moto del corpo materiale relativa al sistema slitta è $v_{X0} = 0\quad v_{Y0} = v_0$.
Al momento dell’urto il sistema diviene accelerato, e quindi il punto materiale appare soggetto a una “gravità” aggiuntiva orizzontale uguale e contraria all’accelerazione stessa. La quantità di moto di tale corpo dunque assume una variazione istantanea verso destra pari (in modulo) a $mV_{S1}$, dove $V_{S1}$ è la velocità di traslazione (verso sinistra) istantaneamente assunta dalla slitta. Inoltre sul corpo agisce anche un impulso normale alla superficie di impatto (a causa della mancanza d’attrito). Dunque alla quantità di moto iniziale si sommano queste due variazioni: una in senso normale al piano inclinato di impatto, l’altra in senso orizzontale (verso destra), chiamata in figura $ - mV_{S1}$, che rappresenta il contributo dovuto al fatto che il sistema di riferimento è accelerato (anche se in questo caso l’accelerazione è di tipo impulsivo e conferisce variazioni di velocità istantanee). Il risultato complessivo è il vettore $mv_{1R}$. Le sue componenti sono le grandezze da inserire nell’equazione balistica.
Il vettore $v_1$ (velocità assoluta del corpo) si ottiene dal $v_{1R}$ (velocità del corpo relativa) sommando $V_{S1}$ che è la velocità di trascinamento.
Inserendo il tutto nelle equazioni di conservazione della quantità di moto e dell’energia si ottengono le velocità iniziali cercate:
$ v_{1X} + v_{1Y} = v_0 $
$ mv_{1X} = MV_{S1} $
$ mv_{1X}^2 + mv_{1Y}^2 + MV_{S1}^2 = mv_0^2 $
$ v_{1X}^2 + ( v_0 - v_{1X})^2 + \frac{m}{M}v_{1X}^2 = v_0^2 $
$ 2v_{1X} - 2v_0 + \frac{m}{M}v_{1X} = 0 $
$ v_{1X} = v_0(\frac{1}{1 + \frac{m}{2M}}) $
$ v_{1Y} = v_{1YR} = v_0(\frac{\frac{m}{2M}}{1 + \frac{m}{2M}}) $
$ v_{1XR} = v_0(\frac{1 + \frac{m}{M}}{1 + \frac{m}{2M}}) $
$ V_{S1} = \frac{m}{M}v_{1X} = v_0 (\frac{\frac{m}{M}}{1 + \frac{m}{2M}}) $
Queste relazioni mostrano alcune caratteristiche prevedibili. Ad esempio quando il rapporto $\frac{m}{M}$ tende a zero, la velocità assoluta verticale del corpo tende a 0 mentre quella orizzontale tende a $v_0$ (rimbalzo orizzontale con slitta praticamente ferma perchè di massa molto grande rispetto al corpo). Viceversa quando il rapporto $\frac{m}{M}$ tende all’infinito (corpo con massa molto maggiore della slitta) accade l’inverso, e cioè il moto verticale del corpo appare indisturbato dalla presenza della slitta.
Inserendo dunque i valori delle componenti orizzontale e verticale della velocità relativa nell’equazione balistica e attribuendo alle masse il rapporto 2, come richiesto dall’esercizio, si ricava:
$\frac{gh}{v_0^2} = \frac{2( \frac{M}{m})^2 + 2\frac{M}{m}}{4( \frac{M}{m})^2 + 4\frac{M}{m} + 1} $
$\frac{M}{m} = 2 $
$\frac{gh}{v_0^2} = \frac{8 + 4}{16 + 8 + 1} = \frac{12}{25} $
$ v_0^2 = 2gz = gh\frac{25}{12} $
da cui la relazione cercata:
$z = \frac{25}{24}h$
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