Urto anelastico tra disco e asta imperniata
Ciao a tutti, volevo proporvi questo esercizio che mi sta dando non pochi problemi;
Vi riporto di seguito il testo ed il disegno
Il centro di massa di un disco omogeneo di massa \(\displaystyle m \) e raggio \(\displaystyle r \) è in moto sopra un piano orizzontale liscio con velocità \(\displaystyle V0 \).Il disco inoltre ruota in senso antiorario con velocità angolare \(\displaystyle \omega 0 \). Ad un certo punto urta contro un'asta omogenea AB di massa \(\displaystyle M \), lunghezza \(\displaystyle l \), disposta lungo la retta d'azione della velocità \(\displaystyle V0 \). L'asta inizialmente in quiete è vincolata a ruotare sul piano orizzontale attorno all'asse verticale passante per A. L'urto è istantaneo e completamente anelastico. Calcolare: a) l'impulso trasmesso dal perno A all'asta durante l'urto
b) il modulo della reazione vincolare dopo l'urto
Allora, io ho ragionato per istanti, come per ogni urto.. Sapendo che è un urto anelastico so che si conserva la quantità di moto del sistema, dunque posso scrivere che \(\displaystyle mV0=Vf*(m+M) \) e da qui trovare la velocità totale del sistema dopo l'urto, ovvero \(\displaystyle Vf \). Adesso il mio dubbio è il seguente : l'impulso non è dato dalla variazione della quantità di moto? dunque \(\displaystyle J=\Delta P \) e quindi \(\displaystyle J= (m+M)Vf - (m+M)Vi \)? ma per \(\displaystyle Vi \) si intende la velocià iniziale del sistema? Ammetto di avere le idee un pò confuse.
Per il punto b) ho pensato invece di ragionare con i momenti ponendo come polo il centro di massa e ricavando in questo modo la reazione vincolare in A, ma non ne sono sicura..
Vi riporto di seguito il testo ed il disegno
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Il centro di massa di un disco omogeneo di massa \(\displaystyle m \) e raggio \(\displaystyle r \) è in moto sopra un piano orizzontale liscio con velocità \(\displaystyle V0 \).Il disco inoltre ruota in senso antiorario con velocità angolare \(\displaystyle \omega 0 \). Ad un certo punto urta contro un'asta omogenea AB di massa \(\displaystyle M \), lunghezza \(\displaystyle l \), disposta lungo la retta d'azione della velocità \(\displaystyle V0 \). L'asta inizialmente in quiete è vincolata a ruotare sul piano orizzontale attorno all'asse verticale passante per A. L'urto è istantaneo e completamente anelastico. Calcolare: a) l'impulso trasmesso dal perno A all'asta durante l'urto
b) il modulo della reazione vincolare dopo l'urto
Allora, io ho ragionato per istanti, come per ogni urto.. Sapendo che è un urto anelastico so che si conserva la quantità di moto del sistema, dunque posso scrivere che \(\displaystyle mV0=Vf*(m+M) \) e da qui trovare la velocità totale del sistema dopo l'urto, ovvero \(\displaystyle Vf \). Adesso il mio dubbio è il seguente : l'impulso non è dato dalla variazione della quantità di moto? dunque \(\displaystyle J=\Delta P \) e quindi \(\displaystyle J= (m+M)Vf - (m+M)Vi \)? ma per \(\displaystyle Vi \) si intende la velocià iniziale del sistema? Ammetto di avere le idee un pò confuse.
Per il punto b) ho pensato invece di ragionare con i momenti ponendo come polo il centro di massa e ricavando in questo modo la reazione vincolare in A, ma non ne sono sicura..
Risposte
Il punto è che la quantità di moto si conserva in assenza di forze esterne al sistema. In questa situazione c'è la reazione del vincolo (il perno a cui è incernierata l'asta). L'impulso è dato proprio da questa variazione della quantità di moto. Per la risoluzione del problema, prova a ragionare con i momenti prendendo come polo il punto $A$, in questo modo dovresti avere una risultante dei momenti delle forze esterne uguale a zero e, di conseguenza, la conservazione del momento angolare totale del sistema.
"singularity":
Il punto è che la quantità di moto si conserva in assenza di forze esterne al sistema. In questa situazione c'è la reazione del vincolo (il perno a cui è incernierata l'asta). L'impulso è dato proprio da questa variazione della quantità di moto. Per la risoluzione del problema, prova a ragionare con i momenti prendendo come polo il punto $ A $, in questo modo dovresti avere una risultante dei momenti delle forze esterne uguale a zero e, di conseguenza, la conservazione del momento angolare totale del sistema.
prendendo come polo il punto \(\displaystyle A \) allora avrò :
\(\displaystyle \sum M = I\omega \) e quindi \(\displaystyle mg(l/2)= I\omega \) così trovo \(\displaystyle \omega \) e da li posso in qualche modo calcolare la reazione vincolare in A?
La somma dei momenti delle forze esterne, scegliendo $A$ come polo, abbiamo detto che è nulla. La conservazione del momento angolare implica che il momento angolare totale (bada bene!) del sistema prima dell'urto (dovuto a...?) sia uguale a quello dopo l'urto (dovuto a...?).
\(\displaystyle Ii \omega i=If \omega f \)
quindi \(\displaystyle I(disco) \omega0 + I(asta) \omega asta = I \omega f \) dove \(\displaystyle \omega asta =0 \) perchè prima dell'urto l'asta è in quiete. Quindi \(\displaystyle \omega f \) posso scriverlo come \(\displaystyle \omega f = Id \omega0/I \) ? Con \(\displaystyle Id \) intendo il momento di inerzia relativo al disco
quindi \(\displaystyle I(disco) \omega0 + I(asta) \omega asta = I \omega f \) dove \(\displaystyle \omega asta =0 \) perchè prima dell'urto l'asta è in quiete. Quindi \(\displaystyle \omega f \) posso scriverlo come \(\displaystyle \omega f = Id \omega0/I \) ? Con \(\displaystyle Id \) intendo il momento di inerzia relativo al disco
Non si capisce molto bene, ma credo che tu abbia afferrato il concetto. Scriviamo così la conservazione del momento angolare:
$I_D omega_0 = I_(TOT) omega_f$
$I_D$ è il momento di inerzia del disco, mentre $I_(TOT)$ è il momento di inerzia totale del sistema asta + disco che si crea dopo l'urto, rispetto al punto $A$. Lo stesso vale per la $omega_f$ che si riferisce alla velocità angolare finale del sistema dopo l'urto.
Questo però dovrebbe servire per il punto b), mentre per il punto a) tutto ciò che devi fare è applicare il Teorema dell'impulso, secondo cui l'impulso corrisponde alla variazione della quantità di moto del sistema in un intervallo temporale (in questo caso la variazione tra prima e dopo l'urto).
$I_D omega_0 = I_(TOT) omega_f$
$I_D$ è il momento di inerzia del disco, mentre $I_(TOT)$ è il momento di inerzia totale del sistema asta + disco che si crea dopo l'urto, rispetto al punto $A$. Lo stesso vale per la $omega_f$ che si riferisce alla velocità angolare finale del sistema dopo l'urto.
Questo però dovrebbe servire per il punto b), mentre per il punto a) tutto ciò che devi fare è applicare il Teorema dell'impulso, secondo cui l'impulso corrisponde alla variazione della quantità di moto del sistema in un intervallo temporale (in questo caso la variazione tra prima e dopo l'urto).
Grazie mille davvero, sei stato chiarissimo! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo