Urto anelastico tra corpo puntiforme e asta
Buonasera a tutti, avrei un problema con l'esercizio seguente, non riesco a capire come procedere, potreste darmi una mano? Grazie.
Io ho provato inizialmente calcolandomi la velocità del corpo puntiforme di massa m un istante prima dell'urto, utilizzando la conservazione dell'energia meccanica e ottenendo:
$ mgh=1/2mv1^2 $
$ v1=sqrt(2gh)= 3,13 $ m/s
Successivamente ho calcolato il momento d'inerzia del sistema (Isist) sommando il momento d'inerzia dell'asta (Ia) con il momento d'inerzia del corpo puntiforme (Ic):
$ Isist=Ia+Ic=(ML^3)/3 + mh^2 = 1,195 $ Kg m^2
Poi avevo pensato di ricavarmi la velocità angolare del sistema asta + corpo dopo l'urto affinché esso ruoti di un angolo di 90 gradi attraverso la conservazione dell'energia ma il risultato mi sembra un po' troppo grande e mi sono perso...
Io ho provato inizialmente calcolandomi la velocità del corpo puntiforme di massa m un istante prima dell'urto, utilizzando la conservazione dell'energia meccanica e ottenendo:
$ mgh=1/2mv1^2 $
$ v1=sqrt(2gh)= 3,13 $ m/s
Successivamente ho calcolato il momento d'inerzia del sistema (Isist) sommando il momento d'inerzia dell'asta (Ia) con il momento d'inerzia del corpo puntiforme (Ic):
$ Isist=Ia+Ic=(ML^3)/3 + mh^2 = 1,195 $ Kg m^2
Poi avevo pensato di ricavarmi la velocità angolare del sistema asta + corpo dopo l'urto affinché esso ruoti di un angolo di 90 gradi attraverso la conservazione dell'energia ma il risultato mi sembra un po' troppo grande e mi sono perso...
Risposte
Il calcolo di $v_1$ deve tener conto di una velocità $v_0$ incognita (da ricavare con la massima rotazione) ovvero vale
$1/2mv1^2 - 1/2 mv_0^2 = mgh$
Tenendo conto di questa correzione prova a postare i conti.
$1/2mv1^2 - 1/2 mv_0^2 = mgh$
Tenendo conto di questa correzione prova a postare i conti.
"ingres":
Il calcolo di $v_1$ deve tener conto di una velocità $v_0$ incognita (da ricavare con la massima rotazione) ovvero vale
$1/2mv1^2 - 1/2 mv_0^2 = mgh$
Tenendo conto di questa correzione prova a postare i conti.
Ora quindi ho sia v1 che v0 incognite...Non ci sto capendo molto...
Sono tutti conti da fare in sequenza inversa rispetto al fenomeno fisico.
Con la condizione di raggiungere 90° puoi determinare l'energia cinetica e la velocità angolare iniziale necessaria. Data la velocità angolare iniziale, dalla conservazione del momento angolare determini $v_1$ e noto $v_1$ determini $v_0$
Con la condizione di raggiungere 90° puoi determinare l'energia cinetica e la velocità angolare iniziale necessaria. Data la velocità angolare iniziale, dalla conservazione del momento angolare determini $v_1$ e noto $v_1$ determini $v_0$
"ingres":
Sono tutti conti da fare in sequenza inversa rispetto al fenomeno fisico.
Con la condizione di raggiungere 90° puoi determinare l'energia cinetica e la velocità angolare iniziale necessaria. Data la velocità angolare iniziale, dalla conservazione del momento angolare determini $v_1$ e noto $v_1$ determini $v_0$
Ok ho provato ma penso mi vengano dei valori troppo alti, posto i conti:
$ 1/2Isist \omega1^2 + MgL + mgL = ML + mL $
$ \omega1=sqrt(MgL+2mg(L-h)) = 6,49 $ rad/s
Da qui poi applicando la conservazione del momento angolare:
$ mv1h=Isist\omega1 $
$ v1 = (Isist\omega1)/(mh) = 51,73 $ m/s
Un valore che mi sembra troppo alto...
Non capisco bene la prima equazione che peraltro non è neanche dimensionalmente corretta.
Comunque prendendo come origine degli assi il perno dell'asta mi risulta:
$1/2 I_(text(sist)) omega^2 - MgL/2 - mgh = 0$
$omega = sqrt((MgL + 2mgh)/I_(text(sist)))= 6.08 text( ) (rad)/s$
$v_1 = (I_(text(sist))*omega)/(m*h) =29 m/s$
$v_0 = sqrt(v_1^2 - 2*g*h) = 28.83 m/s$
Comunque prendendo come origine degli assi il perno dell'asta mi risulta:
$1/2 I_(text(sist)) omega^2 - MgL/2 - mgh = 0$
$omega = sqrt((MgL + 2mgh)/I_(text(sist)))= 6.08 text( ) (rad)/s$
$v_1 = (I_(text(sist))*omega)/(m*h) =29 m/s$
$v_0 = sqrt(v_1^2 - 2*g*h) = 28.83 m/s$
"ingres":
Non capisco bene la prima equazione che peraltro non è neanche dimensionalmente corretta.
Comunque prendendo come origine degli assi il perno dell'asta mi risulta:
$1/2 I_(text(sist)) omega^2 - MgL/2 - mgh = 0$
$omega = sqrt((MgL + 2mgh)/I_(text(sist)))= 6.08 text( ) (rad)/s$
$v_1 = (I_(text(sist))*omega)/(m*h) =29 m/s$
$v_0 = sqrt(v_1^2 - 2*g*h) = 28.83 m/s$
Non capisco perché nella prima equazione al secondo membro c'è 0.
Io nella prima equazione mia ho confrontato l'energia meccanica dopo l'urto del sistema con l'energia meccanica del sistema una volta arrivato a 90 gradi (ho preso come origine degli assi l'estremo opposto rispetto al perno dell'asta). Potresti dirmi se e dove sbaglio? Ti ringrazio.
Nella seconda equazione invece mi sono scordato di dividere per il momento d'inerzia del sistema, per quanto riguarda il resto sono d'accordo.
"Karim_the_dream":
Non capisco perché nella prima equazione al secondo membro c'è 0.
Perchè ho posto lo zero sull'asse orizzontale che passa per il perno per cui si parte con il baricentro di M posto a -L/2 e quello di m a quota -h e quando lo si raggiunge con velocità nulla anche le quote sono nulle e il totale è zero.
"Karim_the_dream":
preso come origine degli assi l'estremo opposto rispetto al perno dell'asta
Rispetto a questo riferimento risulterà il baricentro di M a quota +L/2 e alla fine +L e la massa m inizialmente a L-h e alla fine anch'essa ad altezza +L. Quindi:
$1/2 I_(text(sist))*omega^2 + MgL/2 + mg (L-h) = MgL + mgL$
ovvero nuovamente
$1/2 I_(text(sist))*omega^2 - MgL/2 - mg h = 0$
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Si effettivamente così mi torna tutto. Ho notato solo ora che manca il termine g sopra ecco perché non tornava dimensionalmente, ho sbagliato io a riportare quello che avevo scritto correttamente, ho fatto parecchi errori di distrazione perdonami, ti ringrazio dell'aiuto e ti auguro una buona serata.
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