Urto anelastico in presenza di una molla
Salve ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto riguardo a questo esercizio.
Il testo dice: "Un corpo di massa m inizialmente in quiete viene lasciato cadere da un'altezza h su un corpo di massa M sostenuto da una molla di costante elastica k.
Supponendo che l'urto tra i due corpi sia istantaneo e perfettamente anelastico, si determini la massima compressione y raggiunta dalla molla rispetto alla posizione iniziale di equilibrio statico della massa M".
Ora, ho scomposto il mio problema in tre parti:
1-caduta del corpo di massa m (conservazione energia meccanica)
2-urto anelastico tra i due corpi (conservazione quantità di moto)
3-compressione della molla (conservazione energia meccanica)
Un'ulteriore considerazione fatta è che la massa M inizialmente è in equilibrio statico, per cui la molla è già compressa di un tratto y1=Mg/k ( dovrò tenerne conto nel punto 3, nell'equazione riguardante la conservazione dell'energia meccanica ).
Quello che non mi è chiaro è prima di tutto quell'altezza h da cui cade il corpo: qual è l'origine in questo caso? cioè la distanza h è misurata rispetto a cosa: al suolo, o alla massa m? non riesco a capire come comportarmi con l'energia potenziale gravitazionale inizialmente posseduta dal corpo m.
Potreste darmi una mano? il procedimento penso di averlo capito, ma faccio molta confusione con l'analisi delle varie forze in gioco. Grazie in anticipo
Il testo dice: "Un corpo di massa m inizialmente in quiete viene lasciato cadere da un'altezza h su un corpo di massa M sostenuto da una molla di costante elastica k.
Supponendo che l'urto tra i due corpi sia istantaneo e perfettamente anelastico, si determini la massima compressione y raggiunta dalla molla rispetto alla posizione iniziale di equilibrio statico della massa M".
Ora, ho scomposto il mio problema in tre parti:
1-caduta del corpo di massa m (conservazione energia meccanica)
2-urto anelastico tra i due corpi (conservazione quantità di moto)
3-compressione della molla (conservazione energia meccanica)
Un'ulteriore considerazione fatta è che la massa M inizialmente è in equilibrio statico, per cui la molla è già compressa di un tratto y1=Mg/k ( dovrò tenerne conto nel punto 3, nell'equazione riguardante la conservazione dell'energia meccanica ).
Quello che non mi è chiaro è prima di tutto quell'altezza h da cui cade il corpo: qual è l'origine in questo caso? cioè la distanza h è misurata rispetto a cosa: al suolo, o alla massa m? non riesco a capire come comportarmi con l'energia potenziale gravitazionale inizialmente posseduta dal corpo m.
Potreste darmi una mano? il procedimento penso di averlo capito, ma faccio molta confusione con l'analisi delle varie forze in gioco. Grazie in anticipo
Risposte
Ciao, prima di tutto fissiamo un asse di riferimento x diretto verso l'alto e con origine alla base della molla. $h$ dovrebbe essere la distanza di $m$ da $M$. Il metodo utilizzato per risolvere questo problema è quello di considerare la conservazione dell'energia meccanica, questa infatti si conserva quando il lavoro compiuto dalle forze non conservative è nullo e poichè in questo caso non sono presenti forze non conservative abbiamo appunto che l'energia meccanica finale (considerando come istante finale quello in cui la massa $M+m$ raggiunge la quota minima) è uguale all'energia meccanica iniziale (considerando come istante iniziale quello in cui la massa $m$ ha appena urtato la $M$ cioè quello in cui le due masse si sono appena "unite" poichè l'urto è anelastico). Iniziamo ora a ricavarci un po di dati che ci saranno utili:
1) la velocità con cui $m$ urta $M$ sarà $v=sqrt(2gh)$
2) la velocità delle due masse nell'istante che abbiamo chiamato iniziale; possiamo ricavarla utilizzando la conservazione della quantità di moto, questa si conserva se la risultante delle forze esterne in gioco è uguale a zero, in questo caso volendo essere pignoli non è così perchè abbiamo una risultante non nulla data dalla forza peso e dalla forza elastica della molla, MA negli urti queste forze che sono di tipo non impulsivo possono essere trascurate rispetto a quelle impulsive che si generano durante l'urto e quindi vale la conservazione della quantità di moto. Per cui avremo: $(M+m)V=mv$ con $v=sqrt(2gh)$ ricavato precedentemente, quindi mettendo in evidenza $V$ abbiamo $V=(msqrt(2gh))/(M+m)$
3) la considerazione che hai fatto sul fatto che la molla sia già un po compressa è esatta, determiniamo di quanto lo è:
chiamiamo $l_0$ la lunghezza a riposo della molla, quindi dalla prima equazione cardinale avrò subito:$Mg=k(l_0-x_i)$ quindi $x_i=l_0-(Mg)/k$
4)vediamo finalmente l'energia meccanica iniziale. Essa è data dalla somma di $E_(C i)+E_(P i)$ con
$E_(C i)=1/2(M+m)V^2=(m^2gh)/(M+m)$
$E_(P i)=(M+m)gx_i+1/2k(l_0-x_i)^2=(M+m)g(l_0-(Mg)/k)+1/2k((Mg)/k)^2$
5)ora l'energia meccanica finale. Data da $E_(C f)+E_(P f)$
$E_(C f)=0$
$E_(P f)=(M+m)gx_f+1/2k(l_0-x_f)^2$
6) ponendo ora l'uguaglianza fra 4) e 5) otteniamo: $(m^2gh)/(M+m)+(M+m)g(l_0-(Mg)/k)+1/2k((Mg)/k)^2=(M+m)gx_f+1/2k(l_0-x_f)^2$ l'unica incognita qui è $x_f$ quindi il problema è risolto esplicitandola.
spero che sia tutto chiaro
altrimenti chiedi pure.
Ora una curiosità, per caso frequenti in corso di ingegneria dell'energia a Pisa?
1) la velocità con cui $m$ urta $M$ sarà $v=sqrt(2gh)$
2) la velocità delle due masse nell'istante che abbiamo chiamato iniziale; possiamo ricavarla utilizzando la conservazione della quantità di moto, questa si conserva se la risultante delle forze esterne in gioco è uguale a zero, in questo caso volendo essere pignoli non è così perchè abbiamo una risultante non nulla data dalla forza peso e dalla forza elastica della molla, MA negli urti queste forze che sono di tipo non impulsivo possono essere trascurate rispetto a quelle impulsive che si generano durante l'urto e quindi vale la conservazione della quantità di moto. Per cui avremo: $(M+m)V=mv$ con $v=sqrt(2gh)$ ricavato precedentemente, quindi mettendo in evidenza $V$ abbiamo $V=(msqrt(2gh))/(M+m)$
3) la considerazione che hai fatto sul fatto che la molla sia già un po compressa è esatta, determiniamo di quanto lo è:
chiamiamo $l_0$ la lunghezza a riposo della molla, quindi dalla prima equazione cardinale avrò subito:$Mg=k(l_0-x_i)$ quindi $x_i=l_0-(Mg)/k$
4)vediamo finalmente l'energia meccanica iniziale. Essa è data dalla somma di $E_(C i)+E_(P i)$ con
$E_(C i)=1/2(M+m)V^2=(m^2gh)/(M+m)$
$E_(P i)=(M+m)gx_i+1/2k(l_0-x_i)^2=(M+m)g(l_0-(Mg)/k)+1/2k((Mg)/k)^2$
5)ora l'energia meccanica finale. Data da $E_(C f)+E_(P f)$
$E_(C f)=0$
$E_(P f)=(M+m)gx_f+1/2k(l_0-x_f)^2$
6) ponendo ora l'uguaglianza fra 4) e 5) otteniamo: $(m^2gh)/(M+m)+(M+m)g(l_0-(Mg)/k)+1/2k((Mg)/k)^2=(M+m)gx_f+1/2k(l_0-x_f)^2$ l'unica incognita qui è $x_f$ quindi il problema è risolto esplicitandola.
spero che sia tutto chiaro
altrimenti chiedi pure.Ora una curiosità, per caso frequenti in corso di ingegneria dell'energia a Pisa?
Ti ringrazio tantissimo, mi è servito molto seguire il ragionamento perchè mi ha aiutata a capire cose in cui non avevo molto le idee chiare. Rimane però un problema purtroppo: il risultato dell'esercizio è Y=2mgh/(m+M)k , e sembra non tornare! La cosa che non mi è chiara nei tuoi passaggi è quell'energia potenziale gravitazionale che hai inserito nel punto 4) : se il quesito mi chiede di calcolare l'allungamento rispetto alla posizione di equilibrio statico, perchè devo considerarla?
Non capisco perchè tu metta in relazione la richiesta che pone il problema col fatto di considerare l'energia potenziale gravitazionale... l'energia meccanica è data dalla somma di energia potenziale e energia cinetica, se la utilizzi devi considerarle entrambe indipendentemente da quello che ti richiede il problema, l'unica cosa che puoi decidere arbitrariamente è dove posizionare il "livello zero" dell'energia potenziale gravitazionale, mi sono dimenticato di specificarlo ma io come si può capire l'ho posto alla base della molla, cioè nell'origine dell'asse x. Inoltre sono stato un po distratto e non ho notato che ti chiedeva la compressione rispetto alla posizione iniziale di equilibrio, la $x_f$ che si può ricavare da quello che ho scritto è la quota rispetto al suolo che la massa $M+m$ raggiunge nel momento di massima compressione della molla, ciò che ti chiede il testo è invece la massima compressione $y$ raggiunta dalla molla rispetto alla posizione iniziale di equilibrio statico della massa $M$ che in parole povere sarebbe la differenza fra $x_i$ e $x_f$. Quindi $y=x_i-x_f$. In questo momento purtroppo non ho tempo per verificare che il calcolo fornisca la risposta esatta, però per il momento non riesco a trovare errori in quello che ho scritto.
nota importante: io sono uno studente al primo anno di ingegneria a Pisa e non ho ancora passato l'esame di fisica che darò a settembre, quindi vedi la mia spiegazione come un cammino indicativo perchè potrei aver sbagliato qualcosa...
EDIT: mi è venuto in mente ora che il termine $l_0$ è un po pesante da portare dietro, quindi questo si potrebbe eliminare facendo queste modifiche: considerare "il livello zero" dell'energia potenziale nella quota alla quale si trova la massa $M$ quando è in equilibrio all'inizio, inoltre considerare $x$ come la compressione della molla dovuta alla sola massa $M$ in equilibrio statico, e $y$ come la massima compressione raggiunta dalla molla rispetto alla posizione iniziale di equilibrio statico della massa $M$, cioè proprio quella che richiede il problema.
quindi i punti precedenti diventano:
3)$Mg=kx$ quindi subito $x=(Mg)/k$
4)$E_(C i)=1/2(M+m)V^2=(m^2gh)/(M+m)$
$E_(P i)=1/2kx^2=1/2k((Mg)/k)^2$
5)$E_(C f)=0$
$E_(P f)=-(M+m)gy+1/2k(x+y)^2=-(M+m)gy+1/2k((Mg)/k+y)^2$
6) ponendo ora l'uguaglianza fra 4) e 5) otteniamo: $(m^2gh)/(M+m)+1/2k((Mg)/k)^2=-(M+m)gy+1/2k((Mg)/k+y)^2$
ora l'incognita è solo la $y$, cioè proprio quello che ti serve, prova a controllare se ora torna e dimmi se noti qualche errore
nota importante: io sono uno studente al primo anno di ingegneria a Pisa e non ho ancora passato l'esame di fisica che darò a settembre, quindi vedi la mia spiegazione come un cammino indicativo perchè potrei aver sbagliato qualcosa...
EDIT: mi è venuto in mente ora che il termine $l_0$ è un po pesante da portare dietro, quindi questo si potrebbe eliminare facendo queste modifiche: considerare "il livello zero" dell'energia potenziale nella quota alla quale si trova la massa $M$ quando è in equilibrio all'inizio, inoltre considerare $x$ come la compressione della molla dovuta alla sola massa $M$ in equilibrio statico, e $y$ come la massima compressione raggiunta dalla molla rispetto alla posizione iniziale di equilibrio statico della massa $M$, cioè proprio quella che richiede il problema.
quindi i punti precedenti diventano:
3)$Mg=kx$ quindi subito $x=(Mg)/k$
4)$E_(C i)=1/2(M+m)V^2=(m^2gh)/(M+m)$
$E_(P i)=1/2kx^2=1/2k((Mg)/k)^2$
5)$E_(C f)=0$
$E_(P f)=-(M+m)gy+1/2k(x+y)^2=-(M+m)gy+1/2k((Mg)/k+y)^2$
6) ponendo ora l'uguaglianza fra 4) e 5) otteniamo: $(m^2gh)/(M+m)+1/2k((Mg)/k)^2=-(M+m)gy+1/2k((Mg)/k+y)^2$
ora l'incognita è solo la $y$, cioè proprio quello che ti serve, prova a controllare se ora torna e dimmi se noti qualche errore
Ora provo subito a vedere se torna. Ti dico intanto quali sono i miei dubbi, così riusciamo a confrontarci e a darci una mano a vicenda,visto che anch'io devo dare l'esame a settembre 
Il mio problema è sostanzialmente scegliere un punto di riferimento; mi spiego meglio: nel passaggio 5 l'energia potenziale gravitazionale è -(M+m)gy, dove con "y" indichi la distanza rispetto alla posizione di equilibrio statico iniziale, che è assunta quindi come origine; diversamente, nel calcolo dell'energia potenziale elastica, l'origine sembra essere la posizione in cui la molla non è compressa,visto che consideri la somma delle due compressioni subite. Può essere quindi che si prendano due "origini diverse"? C'è qualcosa che non mi torna.
Ti ringrazio intanto per l'aiuto!
Il mio problema è sostanzialmente scegliere un punto di riferimento; mi spiego meglio: nel passaggio 5 l'energia potenziale gravitazionale è -(M+m)gy, dove con "y" indichi la distanza rispetto alla posizione di equilibrio statico iniziale, che è assunta quindi come origine; diversamente, nel calcolo dell'energia potenziale elastica, l'origine sembra essere la posizione in cui la molla non è compressa,visto che consideri la somma delle due compressioni subite. Può essere quindi che si prendano due "origini diverse"? C'è qualcosa che non mi torna.
Ti ringrazio intanto per l'aiuto!
si esatto sono 2 energie potenziali diverse, una è l'energia potenziale della molla data da $1/2kx^2+c_1$ l'altra è quella gravitazionale data da $mgh+c_2$,tu puoi cambiare arbitrariamente il livello zero e quindi le due costanti assumeranno un opportuno valore, solo che quella potenziale la cambio sempre, quella elastica invece la uso sempre con la $c_1=0$ perchè ho qualche dubbio al quale non riesco a trovare una soluzione ne sui libri ne su internet..infatti la crescita dell'energia potenziale gravitazionale è lineare, mentre quella dell'energia elastica è parabolica, quindi se io cambio "il livello zero" in quella gravitazionale la differenza di energia potenziale fra 2 quote è sempre la stessa, mentre nell'energia elastica questo non succede..
Sei sicura che
Mi sembra che non torni dimensionalmente.
"marips":?
...
il risultato dell'esercizio è Y=2mgh/(m+M)k
...
Mi sembra che non torni dimensionalmente.
Si, il risultato che è riportato è esattamente quello che ho scritto, ma anche a me sembra che non torni. Secondo il mio procedimento ottengo: y= [2m^(2)gh(m+M)k]^(1/2).
Penso che lascerò così..è da ieri che riprovo a farlo, ma niente. L'importante era capire il ragionamento, e spero di aver almeno raggiunto questo modesto obiettivo
Penso che lascerò così..è da ieri che riprovo a farlo, ma niente. L'importante era capire il ragionamento, e spero di aver almeno raggiunto questo modesto obiettivo
Chiaraotta il procedimento che ho scritto ti sembra giusto?
"marips":
.... ottengo: y= [2m^(2)gh(m+M)k]^(1/2).
....
Mi pare che sia sbagliato. Non hai tenuto conto che durante la compressione della molla non è solo l'energia cinetica che viene trasformata in energia elastica, ma anche energia potenziale:
$U+E_c=E_(elastica)->$
$(M+m)gy+1/2(M+m)v'^2=1/2ky^2$.
Da cui, poiché $v'=m/(M+m)v$ e $v=sqrt(2gh)$, si ha
$ky^2-2(M+m)gy-(m^2)/(M+m)2gh=0$.
"chiaraotta":
[quote="marips"].... ottengo: y= [2m^(2)gh(m+M)k]^(1/2).
....
Mi pare che sia sbagliato. Non hai tenuto conto che durante la compressione della molla non è solo l'energia cinetica che viene trasformata in energia elastica, ma anche energia potenziale:
$U+E_c=E_(elastica)->$
$(M+m)gy+1/2(M+m)v'^2=1/2ky^2$.
Da cui, poiché $v'=m/(M+m)v$ e $v=sqrt(2gh)$, si ha
$ky^2-2(M+m)gy-(m^2)/(M+m)2gh=0$.[/quote]
non stai considerando che la molla era già compressa inizialmente da $M$
Il testo dice "la massima compressione $y$ raggiunta dalla molla rispetto alla posizione iniziale di equilibrio statico della massa $M$".
Mi sembra che quindi $y$ sia la compressione ulteriore, relativa alla lunghezza della molla già compressa dal peso di $M$.
Mi sembra che quindi $y$ sia la compressione ulteriore, relativa alla lunghezza della molla già compressa dal peso di $M$.
si è così, ma il fatto che sia già compressa non influisce sull'ulteriore compressione? io credo di si perchè l'energia potenziale elastica aumenta con il quadrato della compressione... è il fatto che dicevo prima di poter spostare o no il livello zero dell'energia potenziale elastica, infatti seguendo il tuo metodo hai posizionato lo zero nella posizione statica iniziale, quindi la differenza di energia potenziale elastica ti risulta essere $1/2ky^2$, invece se stabilisci che il livello zero dell'energia potenziale elastica si ha quando la molla è a riposo (come si fa generalmente), la stessa differenza di energia potenziale risulta (chiamando $x$ la prima compressione) $1/2k(x+y)^2-1/2kx^2$ sviluppando il quadrato risulta $1/2kx^2+kyx+1/2ky^2-1/2kx^2 =
kyx+1/2ky^2$ che quindi differisce dal precedente risultato per il termine $kyx$. quindi io mi chiedo, qual'è quello corretto da usare? sono corretti entrambi? e inoltre, il fatto che non siano uguali implica che non si può scegliere il livello zero dell'energia potenziale elastica arbitrariamente, altrimenti otterremmo sempre risultati diversi...o sbaglio?
per favore qualcuno potrebbe rispondere in modo esauriente e chiaro a questa domanda? , questo è un dubbio che ho da un sacco di tempo e non trovo una risposta...
kyx+1/2ky^2$ che quindi differisce dal precedente risultato per il termine $kyx$. quindi io mi chiedo, qual'è quello corretto da usare? sono corretti entrambi? e inoltre, il fatto che non siano uguali implica che non si può scegliere il livello zero dell'energia potenziale elastica arbitrariamente, altrimenti otterremmo sempre risultati diversi...o sbaglio?
per favore qualcuno potrebbe rispondere in modo esauriente e chiaro a questa domanda?
, questo è un dubbio che ho da un sacco di tempo e non trovo una risposta...
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