Urto anelastico e velocità relativa
Salve a tutti, non riesco a capire come mai non imposto bene il seguente, esercizio, non capisco dove sbaglio.
Due punti materiali di uguale massa (12.6kg) si muovono in direzioni opposte e hanno velocità iniziali pari a 22.4 m/s e 7.25 m/s. I due punti materiali si urtano in modo anaelastico, viene richiesto di calcolare la variazione di energia cinetica del sistema nell'ipotesi che la velocità relativa tra i due corpi dopo l'urto sia la metà della velocità relativa tra i due corpi all'inizio.
io ho impostato la conservazione della quantità di moto e l'ho messa a sistema con un'equazione data dalle informazioni che ottengo dalla velocità relativa, ovvero V1f-V2f = (22.4+7.25)/2. risolvendo il sistema non ottengo le velocità finali corrette, dove sbaglio ? grazie mille in anticipo.
Due punti materiali di uguale massa (12.6kg) si muovono in direzioni opposte e hanno velocità iniziali pari a 22.4 m/s e 7.25 m/s. I due punti materiali si urtano in modo anaelastico, viene richiesto di calcolare la variazione di energia cinetica del sistema nell'ipotesi che la velocità relativa tra i due corpi dopo l'urto sia la metà della velocità relativa tra i due corpi all'inizio.
io ho impostato la conservazione della quantità di moto e l'ho messa a sistema con un'equazione data dalle informazioni che ottengo dalla velocità relativa, ovvero V1f-V2f = (22.4+7.25)/2. risolvendo il sistema non ottengo le velocità finali corrette, dove sbaglio ? grazie mille in anticipo.
Risposte
E cioè, cosa ottieni, e cosa dovresti ottenere?
"mgrau":
E cioè, cosa ottieni, e cosa dovresti ottenere?
Io ho interpretato che V1f-V2f = (22.4+7.25)/2, risolvendo il sistema ottengo che V2f è leggermente superiore a quella iniziale (mi torna 7.425) mentre la V1f mi torna leggermente inferiore alla V1 iniziale (mi torna 22.225).
Sommando le energie cinetiche finali e sottraendo le energie cinetiche iniziali ottengo come variazione di energia cinetica addirittura un numero negativo, quando in realtà dovrebbe tornare 2080J.
Il fatto che nella tua risoluzione ottenga una variazione di energia cinetica (Kfin -Kin) negativa è ragionevole dato che in un urto anelastico viene dissipata energia in calore o deformazione degli oggetti. Probabilmente la soluzione riporta in realtà il valore assoluto della diff, per cui se ottieni un numero uguale a meno del segno non mi preoccuperei.
Altrimenti, potresti scrivere il sistema che stai risolvendo? Il modo di procedere che descrivi mi sembra corretto ma forse potrebbe esserci qualche dettaglio che sfugge da qualche parte
Altrimenti, potresti scrivere il sistema che stai risolvendo? Il modo di procedere che descrivi mi sembra corretto ma forse potrebbe esserci qualche dettaglio che sfugge da qualche parte
"Lampo1089":
Il fatto che nella tua risoluzione ottenga una variazione di energia cinetica (Kfin -Kin) negativa è ragionevole dato che in un urto anelastico viene dissipata energia in calore o deformazione degli oggetti. Probabilmente la soluzione riporta in realtà il valore assoluto della diff, per cui se ottieni un numero uguale a meno del segno non mi preoccuperei.
Altrimenti, potresti scrivere il sistema che stai risolvendo? Il modulo di procedere che descrivi mi sembra corretto ma forse potrebbe esserci qualche dettaglio che sfugge da qualche parte
Allora imposto il sistema a 2 equazioni con:
mV1o + mV2o = mV1f+ mV2f
V1f - V2f = (22.4+7.25)/2
Sapendo che (22.4+7.25)/2= 14.825 porto il V2f di là e sostituisco nell'equazione di sopra. Semplifico le masse essendo tutte uguali, mi rimangono le velocità iniziali a sinistra e a destra mi rimane (V2f+ 14.825) + V2f.
Mi rimane V1o+V2o= 2V2f + 14.825, ovvero 29.65-14.825=2V2f.
V2f mi viene 7.413. Sostituendola nella seconda equazione del sistema ottengo che V1f= 7.413+14.825= 22.238.
Rispetto alle velocità iniziali trovo che la velocità finale del punto materiale 2 è leggermente superiore, mentre del punto materiale 1 la velocità finale è di poco inferiore.
Sommando le cinetiche finali ottengo: Kf1+Kf2= 1/2*m*(V1f^2 + V2f^2). La massa era 12.6 kg, quindi ho:
6.3*(494.53+54.95)= 3461.72 J che è l'energia cinetica finale totale.
Se sommo le cinetiche iniziali ottengo: 6.3*(501.76+52.56)= 3492.22 J
Stai sbagliando un segno della velocità nel membro di sx dell'equazione (quello che contiene le velocità iniziali).
Una delle due masse viaggia in un verso, l'altra nel verso opposto; quindi una delle due velocità deve avere segno negativo - segno che in realtà hai considerato correttamente nel calcolo nella velocità relativa al tempo iniziale, ma non in questa equazione. Controlla le tue assunzioni sui versi, in modo da risolvere in maniera consistente le equ.
Una delle due masse viaggia in un verso, l'altra nel verso opposto; quindi una delle due velocità deve avere segno negativo - segno che in realtà hai considerato correttamente nel calcolo nella velocità relativa al tempo iniziale, ma non in questa equazione. Controlla le tue assunzioni sui versi, in modo da risolvere in maniera consistente le equ.
@Polle97
Occorre prima di tutto qualche precisazione sui versi delle velocità vettoriali prima e dopo l’urto, e quindi sulla velocità relativa.
Disegna un asse $x$ da sinistra verso destra, con versore $hati$ , e metti le due masse 1 e 2, uguali in valore, con le rispettive velocità prima dell’urto, supponendo che la massa 1 di sinistra si sposti nel verso di $hati$, cioè verso destra, e quindi la 2 nel verso opposto:
$vecv_(1i) = v_(1i) hati = +22.5hati $
il pedice $i$ sta per indicare “prima dell’urto” . Analogamente :
$vecv_(2i) = - v_(2i) hati = -7.25hati$
infatti la massa 2 si muove in verso opposto al versore $hati$ , da cui il segno “-“ .
Perciò la velocità relativa iniziale è data da : $ vecv_(ri) = vecv_(1i) - vecv_(2i) = 22.4 hati - (-7.25)hati = 29,65 hati$
cioè quello che hai scritto inizialmente è giusto. Del resto, pensiamo un attimo a quello che succede, per esempio, se viaggi in auto con velocità di 70 km/h , e vedi venire in senso contrario un’auto che viaggia a 40 km/h. La velocità relativa in modulo è la somma delle due velocità assolute in modulo : (70 + 40) km/h, ciascuno dei due guidatori si considera fermo e vede l’altro che gli viene incontro a 110 km/h . Questo è chiaro.
ORa consideriamo l’urto del problema: è parzialmente anelastico, cioè le due masse non rimangono appiccicate dopo l’urto. Non sappiamo a priori come cambiano le velocità delle due masse, sia in grandezza che in verso. Però sappiamo che si deve conservare la quantità di moto totale del sistema. Inoltre, quando si considerano urti parzialmente anelatici, si introduce il coefficiente di restituzione $e$ , dato dal rapporto tra la velocità relativa finale e la velocità relativa iniziale; questo va sotto il nome di regola di Newton per gli urti; si ha:
$ vecv_(rf) = -e*vecv_(ri)$
ovvero : $vecv_(1f) - vecv_(2f) = -e* ( vecv_(1i) -vecv_(2i))$ ....(1)
ovvero, passando ai moduli: $ e = v_(rf)/v_(ri) $
Il valore del coefficiente di restituzione è un numero positivo compreso tra 0 ed 1 ; quando $e=0$ l’urto è completamente anelastico, quando $e =1$ l’urto è elastico. Nei casi di urto parzialmente anelastico, come il tuo, è compreso nell’intervallo detto.
MA noi già sappiamo quanto vale il coefficiente di restituzione , ce lo dice il testo, vale $e = 0.5$ , perchè la velocità relativa finale è, in grandezza, metà di quella iniziale. Nota che finora non ho parlato di versi e grandezze delle velocità finali. Non possiamo dire a priori che la massa 1 continua a muoversi verso destra, e che la 2 inverte il verso e si sposta, dopo l’urto, verso destra. Abbiamo solo il coefficiente di restituzione finora. Ci serve una seconda equazione, che viene dalla conservazione della quantità di moto totale.
Se avessimo due masse diverse $m_1$ ed $m_2$, scriveremmo la conservazione della q.d.m. in forma vettoriale cosi:
$m_1vecv_(1f) + m_2vecv_(2f) =m_1vecv_(1i) + m_2vecv_(2i) $ ........ (2)
e risolvendo il sistema costituito da (1) e (2) si trova ( scrivo direttamente le formule, salto i passaggi perchè fastidiosi) :
$vecv_(1f) = ( (m_1-em_2)vecv_(1i) + m_2(1+e) vecv_(2i))/(m_1+m_2) $
$vecv_(2f) = (m_1(1+e) vecv_(1i)+ (m_2-em_1)vecv_(2i) )/(m_1+m_2) $
nel nostro caso, essendo le due masse uguali , le espressioni si semplificano :
$vecv_(1f) = ( (1-e)vecv_(1i) + (1+e) vecv_(2i))/2 $
$vecv_(2f) = ((1+e) vecv_(1i)+ (1-e)vecv_(2i) )/2 $
ecco, queste sono le due formule che consentono di calcolare le velocità finali vettoriali. Quando passi alle componenti, cioè proietti queste espressioni sull’asse $x$ , devi tener sempre presente che : $vecv_(2i) = -7.25 hati$ , chiaro ?
Lascio a te i conti, Io li ho fatti , e mi risulta che le velocità finali sono in modulo :
$v_(1f) = 0.1625 m/s$
$v_(2f) =14.9875 m/s$
puoi controllare che la velocità relativa finale è in valore la metà di quella iniziale. E ho calcolato anche le energie, e quella perduta mi risulta (quasi) uguale a 2080 J , come hai scritto. A te i conti .
Occorre prima di tutto qualche precisazione sui versi delle velocità vettoriali prima e dopo l’urto, e quindi sulla velocità relativa.
Disegna un asse $x$ da sinistra verso destra, con versore $hati$ , e metti le due masse 1 e 2, uguali in valore, con le rispettive velocità prima dell’urto, supponendo che la massa 1 di sinistra si sposti nel verso di $hati$, cioè verso destra, e quindi la 2 nel verso opposto:
$vecv_(1i) = v_(1i) hati = +22.5hati $
il pedice $i$ sta per indicare “prima dell’urto” . Analogamente :
$vecv_(2i) = - v_(2i) hati = -7.25hati$
infatti la massa 2 si muove in verso opposto al versore $hati$ , da cui il segno “-“ .
Perciò la velocità relativa iniziale è data da : $ vecv_(ri) = vecv_(1i) - vecv_(2i) = 22.4 hati - (-7.25)hati = 29,65 hati$
cioè quello che hai scritto inizialmente è giusto. Del resto, pensiamo un attimo a quello che succede, per esempio, se viaggi in auto con velocità di 70 km/h , e vedi venire in senso contrario un’auto che viaggia a 40 km/h. La velocità relativa in modulo è la somma delle due velocità assolute in modulo : (70 + 40) km/h, ciascuno dei due guidatori si considera fermo e vede l’altro che gli viene incontro a 110 km/h . Questo è chiaro.
ORa consideriamo l’urto del problema: è parzialmente anelastico, cioè le due masse non rimangono appiccicate dopo l’urto. Non sappiamo a priori come cambiano le velocità delle due masse, sia in grandezza che in verso. Però sappiamo che si deve conservare la quantità di moto totale del sistema. Inoltre, quando si considerano urti parzialmente anelatici, si introduce il coefficiente di restituzione $e$ , dato dal rapporto tra la velocità relativa finale e la velocità relativa iniziale; questo va sotto il nome di regola di Newton per gli urti; si ha:
$ vecv_(rf) = -e*vecv_(ri)$
ovvero : $vecv_(1f) - vecv_(2f) = -e* ( vecv_(1i) -vecv_(2i))$ ....(1)
ovvero, passando ai moduli: $ e = v_(rf)/v_(ri) $
Il valore del coefficiente di restituzione è un numero positivo compreso tra 0 ed 1 ; quando $e=0$ l’urto è completamente anelastico, quando $e =1$ l’urto è elastico. Nei casi di urto parzialmente anelastico, come il tuo, è compreso nell’intervallo detto.
MA noi già sappiamo quanto vale il coefficiente di restituzione , ce lo dice il testo, vale $e = 0.5$ , perchè la velocità relativa finale è, in grandezza, metà di quella iniziale. Nota che finora non ho parlato di versi e grandezze delle velocità finali. Non possiamo dire a priori che la massa 1 continua a muoversi verso destra, e che la 2 inverte il verso e si sposta, dopo l’urto, verso destra. Abbiamo solo il coefficiente di restituzione finora. Ci serve una seconda equazione, che viene dalla conservazione della quantità di moto totale.
Se avessimo due masse diverse $m_1$ ed $m_2$, scriveremmo la conservazione della q.d.m. in forma vettoriale cosi:
$m_1vecv_(1f) + m_2vecv_(2f) =m_1vecv_(1i) + m_2vecv_(2i) $ ........ (2)
e risolvendo il sistema costituito da (1) e (2) si trova ( scrivo direttamente le formule, salto i passaggi perchè fastidiosi) :
$vecv_(1f) = ( (m_1-em_2)vecv_(1i) + m_2(1+e) vecv_(2i))/(m_1+m_2) $
$vecv_(2f) = (m_1(1+e) vecv_(1i)+ (m_2-em_1)vecv_(2i) )/(m_1+m_2) $
nel nostro caso, essendo le due masse uguali , le espressioni si semplificano :
$vecv_(1f) = ( (1-e)vecv_(1i) + (1+e) vecv_(2i))/2 $
$vecv_(2f) = ((1+e) vecv_(1i)+ (1-e)vecv_(2i) )/2 $
ecco, queste sono le due formule che consentono di calcolare le velocità finali vettoriali. Quando passi alle componenti, cioè proietti queste espressioni sull’asse $x$ , devi tener sempre presente che : $vecv_(2i) = -7.25 hati$ , chiaro ?
Lascio a te i conti, Io li ho fatti , e mi risulta che le velocità finali sono in modulo :
$v_(1f) = 0.1625 m/s$
$v_(2f) =14.9875 m/s$
puoi controllare che la velocità relativa finale è in valore la metà di quella iniziale. E ho calcolato anche le energie, e quella perduta mi risulta (quasi) uguale a 2080 J , come hai scritto. A te i conti .
@Shackle grazie mille sei stato chiarissimo, onestamente del segno sbagliato di V2 potevo e dovevo accorgermene, visto che nel calcolare la velocità relativa iniziale l'avevo considerata con il segno -. Dell'uguaglianza tra velocità relativa iniziale e finale con il termine e, nessuno me lo aveva mai spiegato, a maggior ragione ti ringrazio. Sto preparando l'esame di Fisica 1 e riscontro spesso difficoltà, penso che scriverò nuovamente su questo forum, spero di ritrovarti nei commenti 
Per me è un piacere aiutare uno studente in difficoltà, e il piacere è doppio quando lo studente ringrazia, non capita quasi mai! Ma disse qualcuno una volta che noi rispondiamo non per esser ringraziati...ed è cosí ! 
Io rispondo spesso, e talvolta aggiungo dei link a dispense che trovo in giro. Ti ho parlato del "coefficiente di restituzione” nel caso di urti parzialmente anelastici, ma se leggi bene il testo e la mia risposta ti rendi conto che, anche senza conoscere questo aspetto della “regola di Newton” sugli urti, forse potevi applicarla automaticamente, basta guardare quella che che ho chiamato equazione (1) : bastava scrivere che la velocita relativa dopo l’urto è uguale a 0.5 quella relativa prima dell’urto, pur senza sapere che 0.5 si chiama a quella maniera; e naturalmente poi fare sistema con la conservazione della q.d.m. del sistema.
Ad ogni modo, l’importante è aver capito. Ti metto il link ad una buona dispensa che ho trovato in rete :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... a/Urti.pdf
in questa dispensa, si fa uso del riferimento del centro di massa (grandezze con apice) , ma a volte questo porta a confondersi non poco. Il paragrafo più interessante per te è il paragrafo 8.3.
LE formule finali che ti ho riportato, nel riferimento del laboratorio, sono le (8.12), come puoi vedere. SE metti $e=0.5$ , hai quelle giuste per il tuo caso.
Alla prossima.
Io rispondo spesso, e talvolta aggiungo dei link a dispense che trovo in giro. Ti ho parlato del "coefficiente di restituzione” nel caso di urti parzialmente anelastici, ma se leggi bene il testo e la mia risposta ti rendi conto che, anche senza conoscere questo aspetto della “regola di Newton” sugli urti, forse potevi applicarla automaticamente, basta guardare quella che che ho chiamato equazione (1) : bastava scrivere che la velocita relativa dopo l’urto è uguale a 0.5 quella relativa prima dell’urto, pur senza sapere che 0.5 si chiama a quella maniera; e naturalmente poi fare sistema con la conservazione della q.d.m. del sistema.
Ad ogni modo, l’importante è aver capito. Ti metto il link ad una buona dispensa che ho trovato in rete :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... a/Urti.pdf
in questa dispensa, si fa uso del riferimento del centro di massa (grandezze con apice) , ma a volte questo porta a confondersi non poco. Il paragrafo più interessante per te è il paragrafo 8.3.
LE formule finali che ti ho riportato, nel riferimento del laboratorio, sono le (8.12), come puoi vedere. SE metti $e=0.5$ , hai quelle giuste per il tuo caso.
Alla prossima.
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