Urto anelastico e Fluidodinamica

[Karimmez]

Buonasera, mi servirebbe una mano con questi due esercizi, il primo l'ho impostato e risolto e vorrei più che altro qualcuno che provasse a risolverlo per vedere se gli vengono i miei stessi risultati mentre sul secondo ho qualche perplessità e vorrei capire cosa sbaglio:










Per quanto riguarda il primo molto velocemente ho ricavato con la conservazione dell'energia la velocità angolare prima dell'urto (Ia --> Momento d'inerzia dell'asta):

$ \omega1=sqrt((MgL1)/(Ia))=4,44 $ rad/s

Successivamente con la conservazione del momento angolare ho ricavato la velocità angolare dopo l'urto
(Is -->Momento d'inerzia del sistema asta + punto materiale):

$ \omega2=\(omega1*Ia)/(Is)=3,36 $ rad/s

Infine con la conservazione dell'energia ho calcolato l'angolo max raggiunto dal sistema dopo l'urto:

$ cos\thetamax=((1/2)Is\omega2)/(MgL1(1/2)+mgL2)+1=1,49 $

$ \thetamax=56° $




Per quanto riguarda il secondo esercizio ho proceduto nel seguente modo, dalla portata ho calcolato la velocità del fluido (calcolando ovviamente prima il raggio dividendo per 2 il diametro e dunque la sezione A1):

$ Q1=A1v1 => v1=Q1/A1 =0,093 $ m/s

Successivamente ho pensato di applicare la conservazione della portata

$ Q1=Q2=>A1v1=A2v2 $

Prima però ho applicato Bernoulli perché mi mancava v2, dal quale (l'altezza è 7,5 cm ed è fornita dal testo, sono partito da quota 0 e ho scelto come verso positivo quello che va in basso):

$ v2=sqrt(v1^2-2gh2)= ... $

Ho messo i puntini perché qua mi esce una velocità negativa e questo mi ha convinto che devo aver sbagliato qualcosa...


Ringrazio chi è arrivato fin qui e chi mi risponderà

[ingres]

Qualche punto di attenzione

Es.1 : non credo che possa venire $cos(theta) = 1.49$. Ricontrolla i conti.

Es. 2: è giusto usare l'equazione di continuità, ma la velocità $v_2$ deve aumentare rispetto a $v_1$ visto che il getto va verso il basso (e infatti il getto si restringe)

[Karimmez]

Ho rifatto i conti eppure mi esce sempre quel valore dell'angolo...

[Karimmez]

Per quanto riguarda il secondo esercizio si ho capito l'errore in pratica avrei:

$ v2=sqrt(v1^2+2gh2) = 1,48 $ m/s

Però mi sembra un po' basso come valore, a partire da v1, sbaglio io o effettivamente dal testo escono questi valori?

[ingres]

Visto che il coseno deve essere comunque minore o uguale a 1, il valore di 1.49 è assurdo e non capisco neppure da dove esca quell'angolo. Comunque mi risulta
$I_a = ML_1^2/3 = 0.75*1.5^2/3= 0.5625 kgm^2$
$I_s=I_a+m*L_2^2 = 0.5625 + 0.5*0.6^2 = 0.7425 kgm^2$

Dall'equazione di conservazione energia

$1/2*(ML_1^2)/3 omega_1^2 = M*g*L_1/2$

$omega_1 = sqrt(3g/L_1) = sqrt(3*9.81/1.5) = 4.43 (rad)/s$ OK

Dalla conservazione del momento angolare

$omega_2 = I_a/I_s * omega_1 = 3.36 (rad)/s$ OK

Dalla conservazione dell'energia

$1/2 I_s omega_2^2 = MgL_1/2(1-cos(theta_(max))) + mgL_2*(1-cos(theta_(max)))$

$ cos(theta_(max)) = 1 - (1/2 I_s omega_2^2)/(MgL_1/2+ mgL_2) = 0.5046$

$theta_(max)=59.7°$

[ingres]

"Karim_the_dream":Però mi sembra un po' basso come valore, a partire da v1, sbaglio io o effettivamente dal testo escono questi valori?

Rifacendo i conti mi risulta la stessa $v_1$ (d'altronde la portata è circa 1 litro ogni 100 secondi, per cui è abbastanza ridotta).
Invece per $v_2$ credo che devi ancora estrarre la radice.

[Karimmez]

Fluidodinamica va bene, però potresti togliermi solo un dubbio sulla conservazione dell'energia, perché a me salta un meno, come sarebbe l'equazione della conservazione? Non è così?

$ (MgL1)/2+mgL2+(1/2)Is\omega2^2=(MgL1)/2(cos\thetamax)+mgL2(cos\thetamax) $

E un'altra cosa off topic, come si scrive in formato pedice?

[ingres]

"Karim_the_dream":Fluidodinamica va bene, però potresti togliermi solo un dubbio sulla conservazione dell'energia, perché a me salta un meno ...

Se si prende come origine degli assi ad es. il perno (asse diretto verso l'alto) si avrà:
quota iniziale baricentro massa M: $- L_1/2$
quota iniziale del punto di massa m: $-L_2$
quota finale baricentro massa M: $- L_1/2*cos(theta_(max))$
quota finale del punto di massa m: $-L_2*cos(theta_(max))$

Quindi
$1/2 I_s omega_2^2 - MgL_1/2 - mgL_2= - MgL_1/2 *cos(theta_(max)) - mgL_2*cos(theta_(max))$

da cui segue l'equazione che ho riportato.

"Karim_the_dream":E un'altra cosa off topic, come si scrive in formato pedice?

Si usa il trattino basso (underscore "_"). Quindi $L_2$ = L_2

[Karimmez]

Chiarissimo, perfetto ti ringrazio tanto.

[Karimmez]

@ingres scusami se ti disturbo ancora, ma stavo provando una cosa sull'esercizio dell'urto:

Scegliendo come origine degli assi l'estremità opposta a quella dove si trova il perno non mi viene lo stesso risultato:

$ MgL_1/2+mgL_2+1/2I_s\omega_2^2 = MgL_1/2cos\theta_max+mgL_2cos\theta_max $

partendo da qui mi viene 1,49 il $ cos\theta_max $

Potresti aiutarmi a risolvere questo dilemma?

[ingres]

Prendendo come origine il punto dell'asta opposto al perno quando l'asta è in verticale si ha

Posizione iniziale massa M: $L_1/2$
Posizione iniziale massa m: $L_1-L_2$
Posizione finale massa M: $L_1 - L_1/2*cos(theta_(max))$
Posizione finale massa m: $L_1 - L_2*cos(theta_(max))$

$MgL_1/2 + mg(L_1-L_2) + 1/2 I_s omega_2^2 = Mg(L_1 - L_1/2*cos(theta_(max)))+mg(L_1 - L_2*cos(theta_(max)))$

da cui la solita equazione

$1/2 I_s omega_2^2 = MgL_1/2*(1 - cos(theta_(max)))+mgL_2*(1 - cos(theta_(max)))$

[Karimmez]

Perfetto ora è chiaro, grazie mille.