Urto anelastico con guida
Salve,
chiedo cortesemente un aiuto per la risoluzione del seguente problema.
Una guida circolare di raggio R e massa trascurabile, disposta in un piano verticale, è saldata ad un carrello di massa M, appoggiato su una superficie orizzontale liscia. Un piccolo manicotto B di massa m è inanellato alla guida lungo la quale può scorrere senza attrito. Inizialmente il sistema è in quiete, con B situato al punto più alto della guida. Un punto materiale C di massa m’ con velocità orizzontale v0 urta B rimanendovi attaccato. Calcolare l’accelerazione comune appena dopo l’urto.
La conservazione della q.d.m lungo l'asse x ci da $m_Cv_0=(m_C+m_B)V_x$ e derivando si ha $a_x=0$ dunque appena dopo l'urto l'accelerazione ha solo componente verticale ma come si fa a calcolarla?
chiedo cortesemente un aiuto per la risoluzione del seguente problema.
Una guida circolare di raggio R e massa trascurabile, disposta in un piano verticale, è saldata ad un carrello di massa M, appoggiato su una superficie orizzontale liscia. Un piccolo manicotto B di massa m è inanellato alla guida lungo la quale può scorrere senza attrito. Inizialmente il sistema è in quiete, con B situato al punto più alto della guida. Un punto materiale C di massa m’ con velocità orizzontale v0 urta B rimanendovi attaccato. Calcolare l’accelerazione comune appena dopo l’urto.
La conservazione della q.d.m lungo l'asse x ci da $m_Cv_0=(m_C+m_B)V_x$ e derivando si ha $a_x=0$ dunque appena dopo l'urto l'accelerazione ha solo componente verticale ma come si fa a calcolarla?
Risposte
Questo era quello che mi ero ripromesso di rivedere, ma poi mi era passato di mente.
LE coordinate del punto dopo l'urto sono:
$x=x_c+Rsin\theta$
$y=R+Rcos\theta$
Avendo scelto come sdr l'asse orizzontale passante per il centro guida e come angolo $\theta$ l'angolo formato dalla vettore posizione del punto rispetto all'asse y.
Derivando 2 volte rispetto al tempo,
$ ddot{x}=ddotx_c-Rdottheta^2sintheta $ (1)
$ ddot{y}=-Rdottheta^2costheta $ (2)
In orizzontale vale la conservazione della QdM, per cui chiamata $m_b$ la massa dei due corpi attaccati dopo l'urto e $m_c$ quella del carrello, con il valore di velocita' dopo l'urto da te calcolato (chiamiamolo $v_0$) deve valere
$ m_bdotx+m_c dotx_c=m_bv_0 $
Derivando questa e sostituendoci la (1) in quest'ultima, si ottiene:
$ m_bddotx+m_cddotx_c=m_b(ddotx_c-Rdottheta^2sintheta)+m_cddotx_c=0 $
Nell'intorno di $theta=0$, sparisce il seno, e l'equazione e' verificata se $ddotx_c=0$, per cui dalla (1) si ottiene che il corpo ha componente dell'accelerazione orizzontale nulla: infatti nell'istante immediato dopo l'urto, il corpo non trasmette impulso al carrello ne viceversa,
Si puo anche scrivere che $costheta=1$,
Per cui la 2 diventa:
$ ddot{y}=-Rdottheta^2$.
E siccome deve valere che $dottheta=v_0/R$, la componente verticale dell'accelerazione diventa:
$ ddot{y}=-v_0^2/R$
LE coordinate del punto dopo l'urto sono:
$x=x_c+Rsin\theta$
$y=R+Rcos\theta$
Avendo scelto come sdr l'asse orizzontale passante per il centro guida e come angolo $\theta$ l'angolo formato dalla vettore posizione del punto rispetto all'asse y.
Derivando 2 volte rispetto al tempo,
$ ddot{x}=ddotx_c-Rdottheta^2sintheta $ (1)
$ ddot{y}=-Rdottheta^2costheta $ (2)
In orizzontale vale la conservazione della QdM, per cui chiamata $m_b$ la massa dei due corpi attaccati dopo l'urto e $m_c$ quella del carrello, con il valore di velocita' dopo l'urto da te calcolato (chiamiamolo $v_0$) deve valere
$ m_bdotx+m_c dotx_c=m_bv_0 $
Derivando questa e sostituendoci la (1) in quest'ultima, si ottiene:
$ m_bddotx+m_cddotx_c=m_b(ddotx_c-Rdottheta^2sintheta)+m_cddotx_c=0 $
Nell'intorno di $theta=0$, sparisce il seno, e l'equazione e' verificata se $ddotx_c=0$, per cui dalla (1) si ottiene che il corpo ha componente dell'accelerazione orizzontale nulla: infatti nell'istante immediato dopo l'urto, il corpo non trasmette impulso al carrello ne viceversa,
Si puo anche scrivere che $costheta=1$,
Per cui la 2 diventa:
$ ddot{y}=-Rdottheta^2$.
E siccome deve valere che $dottheta=v_0/R$, la componente verticale dell'accelerazione diventa:
$ ddot{y}=-v_0^2/R$
Grazie del chiaro svolgimento.
1) purtroppo il risultato sembrerebbe essere diverso e cioè $ddot y=-(m_C/(m_C+m_B))v_0^2/R$
con B e C che fanno riferimento alla figura
2) c'è una piccolissima svista per la coordinata y dei due punti appena dopo l'urto che dovrebbe essere $y=Rcostheta$
3) non mi è chiaro perchè nella derivata seconda delle coordinate il temine con l'accelerazione angolare è assente.
1) purtroppo il risultato sembrerebbe essere diverso e cioè $ddot y=-(m_C/(m_C+m_B))v_0^2/R$
con B e C che fanno riferimento alla figura
2) c'è una piccolissima svista per la coordinata y dei due punti appena dopo l'urto che dovrebbe essere $y=Rcostheta$
3) non mi è chiaro perchè nella derivata seconda delle coordinate il temine con l'accelerazione angolare è assente.
(1) Perche io ho chiamato v_0 la velocita uscente (immediatamente dopo l'urto), dando per scontato che fosse $v_0=(m_c/(m_c+m_b))v_i$ dato che era gia' assodata nell'altro thread, mi pare.
(2) Si, originariamente avevo messo l'origine gli assi a livello terreno, poi durante lo svolgimento, l'ho spostata a livello centro guida, ma non ho corretto la formula
(3) Perche' se svolgi per intero tutti i calcoli, quel termine viene moltiplicato per $sintheta$, che e' nulla a $theta=0$
(2) Si, originariamente avevo messo l'origine gli assi a livello terreno, poi durante lo svolgimento, l'ho spostata a livello centro guida, ma non ho corretto la formula
(3) Perche' se svolgi per intero tutti i calcoli, quel termine viene moltiplicato per $sintheta$, che e' nulla a $theta=0$
Ah! finalmente tutto chiaro....
un sentito grazie
un sentito grazie
solo che in effetti lo sviluppo della derivata seconda di x mi da il termine aggiuntivo
$Rddotthetacostheta$ che per $theta$ piccolo da$Rddot theta$
che non è altro che l'accelerazione tangenziale delle due masse ???
$Rddotthetacostheta$ che per $theta$ piccolo da$Rddot theta$
che non è altro che l'accelerazione tangenziale delle due masse ???
Si, che dovrebbe essere nulla, perche all'istante 0, le componenti orizzontali delle forze agenti sulle 2 masse sono nulle.
Si certo dalla derivata della conservazione della q.d.m sappiamo che $ddot x = 0$ e quindi l'eq. del moto (1) diventa
$ddot x_c+Rddot theta =0$ !!!
in sostanza deve risultare $Rddot theta =0$ ma perchè?
$ddot x_c+Rddot theta =0$ !!!
in sostanza deve risultare $Rddot theta =0$ ma perchè?
Dalla conservazione della QdM ti risulta che, all'istante iniziale, sia $ddotx$ che $ddotx_c$ sono nulle. Questo ti torna?
poiche $ddotx=ddotx_c+Rddot\thetacostheta-Rdot\theta^2sin\theta$, nell'istante iniziale, e' nulla anche $Rddot\theta$
poiche $ddotx=ddotx_c+Rddot\thetacostheta-Rdot\theta^2sin\theta$, nell'istante iniziale, e' nulla anche $Rddot\theta$
Scusa la mia insistenza ora "penso" di aver fugato ogni dubbio residuo.
Grazie ancora
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