Urti relativistici

[giammarco.cugliari]

Salve ragazzi , ho un problema nel capire una relazione che salta fuori nello studio di un sistema in cui un elettrone viene diffuso su un nucleo.L'urto è elastico e siamo ampiamente in campo relativistico.

Con una notazione spero abbastanza evidente , avrò che

$ { ( p+P=p^{\prime}+P^{\prime} ),( E+E_n=E^{\prime}+E_n^{\prime}):} $

Ora le masse a riposo degli oggetti che urtano,nel nostro caso elettrone e nucleo ,sono invarianti durante la reazione,dunque

$ p^2=p^('2)=m_e^2c^2 $

$ P^2=P^('2)=M^2c^2 $ ma allora

$ p+P=p^{\prime}+P^{\prime} rArr p^2+P^2+2pP=p^('2)+P^('2)+2p^{\prime}P^{\prime}rArr pP=p^{\prime}P^{\prime} $

Fin qui tutto ok.
Ora di solito viene rilevata solo la particella diffusa e non il rinculo del bersaglio ,
inoltre ci si pone nel s.d.r laboratorio, in cui il bersaglio è inizialmente fermo.

$ p=(E/c,vec(p)) $ $ P=(Mc,0) $

$ p'=(E^{\prime}/c,vec(p') ) $ $ P'=((E_n^{\prime})/c,vec(p') ) $ ,

qui allora si puo concludere che (e io non ho capito come)

$ EMc^2=E^{\prime}E-vec(p) vec(p^{\prime}) c^2+E^{\prime}Mc^2-m_e^2c^4 $ .

Le ho provate tutte ma niente , ringrazio in anticipo

[Studente Anonimo]

Premesso che preferisco cambiare le notazioni, basta esprimere la seguente relazione:

$E_(e1)E_(n1)-c^2vecp_(e1)*vecp_(n1)=E_(e2)E_(n2)-c^2vecp_(e2)*vecp_(n2)$

eliminando l'energia e l'impulso del nucleo dopo l'urto:

$\{(E_(e1)+Mc^2=E_(e2)+E_(n2)),(vecp_(e1)=vecp_(e2)+vecp_(n2)):} rarr \{(E_(n2)=E_(e1)+Mc^2-E_(e2)),(vecp_(n2)=vecp_(e1)-vecp_(e2)):}$

In questo modo:

$E_(e1)E_(n1)-c^2vecp_(e1)*vecp_(n1)=E_(e2)E_(n2)-c^2vecp_(e2)*vecp_(n2) rarr$

$rarr E_(e1)Mc^2=E_(e2)(E_(e1)+Mc^2-E_(e2))-c^2vecp_(e2)*(vecp_(e1)-vecp_(e2)) rarr$

$rarr E_(e1)Mc^2=E_(e1)E_(e2)+E_(e2)Mc^2-E_(e2)^2-c^2vecp_(e1)*vecp_(e2)+c^2vecp_(e2)^2 rarr$

$rarr E_(e1)Mc^2=E_(e1)E_(e2)+E_(e2)Mc^2-c^2vecp_(e1)*vecp_(e2)-m_e^2c^4$

[Sk_Anonymous]

"Giammy_":Salve ragazzi , ho un problema nel capire una relazione che salta fuori nello studio di un sistema in cui un elettrone viene diffuso su un nucleo.L'urto è elastico e siamo ampiamente in campo relativistico.

Con una notazione spero abbastanza evidente , avrò che

$ { ( p+P=p^{\prime}+P^{\prime} ),( E+E_n=E^{\prime}+E_n^{\prime}):} $

Ora le masse a riposo degli oggetti che urtano,nel nostro caso elettrone e nucleo ,sono invarianti durante la reazione,dunque

$ p^2=p^('2)=m_e^2c^2 $

$ P^2=P^('2)=M^2c^2 $ ma allora

$ p+P=p^{\prime}+P^{\prime} rArr p^2+P^2+2pP=p^('2)+P^('2)+2p^{\prime}P^{\prime}rArr pP=p^{\prime}P^{\prime} $

Fin qui tutto ok.

Verificato, tutto ok fin qui.

Ora di solito viene rilevata solo la particella diffusa e non il rinculo del bersaglio ,
inoltre ci si pone nel s.d.r laboratorio, in cui il bersaglio è inizialmente fermo.

$ p=(E/c,vec(p)) $ $ P=(Mc,0) $

$ p'=(E^{\prime}/c,vec(p') ) $ $ P'=((E_n^{\prime})/c,vec(p') ) $ ,

qui allora si puo concludere che (e io non ho capito come)

$ EMc^2=E^{\prime}E-vec(p) vec(p^{\prime}) c^2+E^{\prime}Mc^2-m_e^2c^4 $ .

Le ho provate tutte ma niente , ringrazio in anticipo

Essendo : $ pP=p^{\prime}P^{\prime} $ , e anche : $ p+P=p^{\prime}+P^{\prime} $ , dalla seconda ricavi : $ P^{\prime} = p+P-p^{\prime} $ , per cui sostituendo nella prima (nb : sono tutti 4-vettori impulso) :

$p*P = p' *( p+P-p^{\prime} ) = p'*p + p'*P - p'*p' $

questi sono prodotti scalari tra 4-vettori . Il primo membro risulta facilmente : $ pP = EM $ . I tre termini al secondo membro si calcolano con la regola del prodotto scalare detto. Quindi , ponendo $c = 1 $ per evitare scritture inutilmente pesanti :

$EM = E E' - \vecp*\vecp' + E' M - m_e^2 $

[giammarco.cugliari]

Grazie !