Urti, inerzia e forse conservative
Premetto che non sono una cima in fisica... però stavo cercando di capire bene questo esercizio dell'esame, a cui veniva a ognuno un risultato diverso:
Una corpo puntiforme di massa $m$ è appeso ad un piolo $P$ tramite un filo di lunghezza $l$ e si trova nella sua posizione di riposo. Allo stesso piolo è appesa una sbarretta omogenea di massa $m$ e lunghezza $2l$ mantenuta ferma in posizione orizzontale. La sbarretta viene lasciata cadere e va ad urtare anelasticamente il corpo puntiforme. Calcolare l'angolo a cui il nuovo oggetto (corpo + sbarretta) si va a fermare dopo l'urto. (trascurare l'attrito)
Posto come ho provato a risolverlo io:
1) Per prima cosa, poichè non c'è attrito, conservazione dell'energia: ho che $mgL = 1/2I\omega_1^2$ dove $I$ è il momento d'inerzia della sbarretta, che calcolo dal teorema di Huygens-Steiner come $I = 1/12m(2L)^2 + mL^2 = 4/3mL^2$.
Quindi $mgL = 2/3mL^2\omega_1^2 \rarr \omega_1^2 = (2g)/(3l)$.
2) Nell'urto si conserva il momento angolare totale perchè il momento risultante delle forze esterne è nullo (qui l'ho dato per buono perchè avevamo fatto un esercizio analogo in classe, ma perchè il momento delle forze esterne è nullo? e perchè invece non è nulla la risultante delle forze esterne?).
Quindi, $I\omega_1 = (I + mL^2)\omega_2$, da cui $\omega_2 = 4/7\omega_1$.
3) Infine, dopo l'urto si conserva l'energia e si ha:
$1/2(I + mL^2)\omega_2^2 = (mgL +mgL)(1 -cos\theta)$ e da qui vabbè si ricava $\theta$ con passaggi algebrici.
I miei dubbi sono, più che sul procedimento, sopratutto nelle domande poste in grassetto, nel calcolo iniziale del momento d'inerzia della sbarretta e nelle formule iniziali di ogni punto (sopratutto, non capisco sempre quando devo considerare tutta la lunghezza della sbarretta e quando invece solo la distanza del centro di massa dall'asse di rotazione...).
Grazie anticipatamente a chi ha la pazienza di leggere e di chiarirmi i dubbi
Una corpo puntiforme di massa $m$ è appeso ad un piolo $P$ tramite un filo di lunghezza $l$ e si trova nella sua posizione di riposo. Allo stesso piolo è appesa una sbarretta omogenea di massa $m$ e lunghezza $2l$ mantenuta ferma in posizione orizzontale. La sbarretta viene lasciata cadere e va ad urtare anelasticamente il corpo puntiforme. Calcolare l'angolo a cui il nuovo oggetto (corpo + sbarretta) si va a fermare dopo l'urto. (trascurare l'attrito)
Posto come ho provato a risolverlo io:
1) Per prima cosa, poichè non c'è attrito, conservazione dell'energia: ho che $mgL = 1/2I\omega_1^2$ dove $I$ è il momento d'inerzia della sbarretta, che calcolo dal teorema di Huygens-Steiner come $I = 1/12m(2L)^2 + mL^2 = 4/3mL^2$.
Quindi $mgL = 2/3mL^2\omega_1^2 \rarr \omega_1^2 = (2g)/(3l)$.
2) Nell'urto si conserva il momento angolare totale perchè il momento risultante delle forze esterne è nullo (qui l'ho dato per buono perchè avevamo fatto un esercizio analogo in classe, ma perchè il momento delle forze esterne è nullo? e perchè invece non è nulla la risultante delle forze esterne?).
Quindi, $I\omega_1 = (I + mL^2)\omega_2$, da cui $\omega_2 = 4/7\omega_1$.
3) Infine, dopo l'urto si conserva l'energia e si ha:
$1/2(I + mL^2)\omega_2^2 = (mgL +mgL)(1 -cos\theta)$ e da qui vabbè si ricava $\theta$ con passaggi algebrici.
I miei dubbi sono, più che sul procedimento, sopratutto nelle domande poste in grassetto, nel calcolo iniziale del momento d'inerzia della sbarretta e nelle formule iniziali di ogni punto (sopratutto, non capisco sempre quando devo considerare tutta la lunghezza della sbarretta e quando invece solo la distanza del centro di massa dall'asse di rotazione...).
Grazie anticipatamente a chi ha la pazienza di leggere e di chiarirmi i dubbi
Risposte
Ciao.
Per prima cosa correggerei questo
[tex]\omega_1^2 = \frac{3g}{2L}[/tex]
Poi
1) perchè il momento delle forze esterne è nullo?
Al momento dell'urto, tutte le forze esterne che agiscono sono la forza di gravità sui due oggetti e la reazione vincolare del perno; tutte le rette d'azione passano per il punto di rotazione del sistema ed il relativo momento delle forze risulta quindi nullo. Le forze sono infatti tutte verticali nel momento dell'urto.
2) perchè invece non è nulla la risultante delle forze esterne?
La reazione vincolare del perno nel momento dell'impatto è maggiore della forza di gravità complessiva. Il sistema, infatti, è sceso e poi risalito; in ogni istante la quantità di moto del sistema è un vettore che ruota in senso orario oltre che cambiare modulo... La risultante delle forze esterne deve per forza essere diversa da zero in ogni istante.
3) non capisco sempre quando devo considerare tutta la lunghezza della sbarretta e quando invece solo la distanza del centro di massa
Se parli dell'energia potenziale gravitazionale, essendo lineare nell'altezza, ti preoccupi solo della posizione del centro di massa. Anche se un generico oggetto si mette a ruotare, se il suo baricentro non si sposta la sua energia potenziale non cambia. L'energia cinetica di un punto materiale è invece proporzionale al quadrato della velocità; la geometria di un oggetto è di fatto rilevante se l'oggetto ruota: non puoi limitarti a considerare il movimento del baricentro ma devi considerare l'energia cinetica rotazionale dell'oggetto.
Non sono sicuro di essere stato sufficientemente chiaro... fammi sapere
Per prima cosa correggerei questo
[tex]\omega_1^2 = \frac{3g}{2L}[/tex]
Poi
1) perchè il momento delle forze esterne è nullo?
Al momento dell'urto, tutte le forze esterne che agiscono sono la forza di gravità sui due oggetti e la reazione vincolare del perno; tutte le rette d'azione passano per il punto di rotazione del sistema ed il relativo momento delle forze risulta quindi nullo. Le forze sono infatti tutte verticali nel momento dell'urto.
2) perchè invece non è nulla la risultante delle forze esterne?
La reazione vincolare del perno nel momento dell'impatto è maggiore della forza di gravità complessiva. Il sistema, infatti, è sceso e poi risalito; in ogni istante la quantità di moto del sistema è un vettore che ruota in senso orario oltre che cambiare modulo... La risultante delle forze esterne deve per forza essere diversa da zero in ogni istante.
3) non capisco sempre quando devo considerare tutta la lunghezza della sbarretta e quando invece solo la distanza del centro di massa
Se parli dell'energia potenziale gravitazionale, essendo lineare nell'altezza, ti preoccupi solo della posizione del centro di massa. Anche se un generico oggetto si mette a ruotare, se il suo baricentro non si sposta la sua energia potenziale non cambia. L'energia cinetica di un punto materiale è invece proporzionale al quadrato della velocità; la geometria di un oggetto è di fatto rilevante se l'oggetto ruota: non puoi limitarti a considerare il movimento del baricentro ma devi considerare l'energia cinetica rotazionale dell'oggetto.
Non sono sicuro di essere stato sufficientemente chiaro... fammi sapere
Ti ringrazio per la risposta
Innanzitutto corretto l'$\omega_1^2$, avevo scordato le parentesi nella formula
.
I punti 1 e 2 sono chiarissimi, così come la parte del punto 3 sull'energia potenziale gravitazionale.
Mi sono rimasti due dubbi fugaci:
1)
Ok... ma questi problemi dovrebbero essere risolti calcolando nell'intermezzo il momento d'inerzia (che chiaramente dipende dalla geometria dell'oggetto) giusto?
2) Le formule iniziali dei punti, almeno a occhio, ti sembrano giuste?
Innanzitutto corretto l'$\omega_1^2$, avevo scordato le parentesi nella formula
.I punti 1 e 2 sono chiarissimi, così come la parte del punto 3 sull'energia potenziale gravitazionale.
Mi sono rimasti due dubbi fugaci:
1)
L'energia cinetica di un punto materiale è invece proporzionale al quadrato della velocità; la geometria di un oggetto è di fatto rilevante se l'oggetto ruota: non puoi limitarti a considerare il movimento del baricentro ma devi considerare l'energia cinetica rotazionale dell'oggetto.
Ok... ma questi problemi dovrebbero essere risolti calcolando nell'intermezzo il momento d'inerzia (che chiaramente dipende dalla geometria dell'oggetto) giusto?
2) Le formule iniziali dei punti, almeno a occhio, ti sembrano giuste?
Al punto 1) Ti chiedo scusa, ma non ho chiaro cosa intendi per calcolare nell'intermezzo 
Al punto 2) Si, funzionano bene
Inizialmente, fissato il punto di rotazione, eguagli la perdita di energia potenziale con l'energia cinetica aquisita (tutta roatazionale visto che il punto di rotazione rimane fermo). Lo stesso viene fato al punto terzo tra energia potenziale aquisita ed energia cinetica persa. I momenti angolari prima e dopo l'urto sono corretti.
Al punto 2) Si, funzionano bene
Inizialmente, fissato il punto di rotazione, eguagli la perdita di energia potenziale con l'energia cinetica aquisita (tutta roatazionale visto che il punto di rotazione rimane fermo). Lo stesso viene fato al punto terzo tra energia potenziale aquisita ed energia cinetica persa. I momenti angolari prima e dopo l'urto sono corretti.
pm
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