Urgente: problemi di fisica
Mi scuso inizialmente per l'"urgente" del soggetto di questo topic, ma dopodomani ho l'orale di fisica, e mi servirebbero questi esercizi corretti (facenti parte del compito scritto) in maniera da conoscere i miei errori. Ringrazio anticipatamente di vero cuore tutti. Sono anche un po' abbattuto perchè oggi ho dato Analisi I e ho preso 22; il compito scritto che ho fatto era ottimo, non c'era nemmeno un errore, e l'orale non è che sia andato malissimo... Spero di poter prendere qualcosa di più in fisica!
Dunque:
1. Un'automobile di 600Kg viene tirata su di un piano inclinato di 30° scabro (mc=0.2) mediante un cavo di traino che forma un angolo di 30° con il piano inclinato stesso. Se l'automobile sale con velocità costante, quanto vale la tensione del cavo?
N.B. alfa in entrambi i casi è uguale a 30°
2. Un corpo di massa m=2Kg è appogiato su un carrello che inizia a muoversi accelerando con a=2m/s^2. Se il coefficiente di attrito tra il corpo ed il carrello è mc=0.1, quanto vale dopo 2 secondi la velocità del corpo rispetto al carrello? Quanto è il lavoro effettuato dalla forza di attrito in tale intervallo di tempo?
3. Un cilindro di massa 2Kg e raggio 10cm oscilla intorno ad un asse fisso che passa per la metà del raggio del cilinfro, come in figura. Calcolare il periodo di oscillaizone (per piccole oscillazioni) del cilindro. Calcolare la velocità angolare massima del cilindro se viene lasciato da fermo quando si trova nella posizione corrispondente alla massima energia potenziale.
4. Un gas ideale monoatomico a pressione di 10^5 Pa, volume 10^(-2)m^3 e temperatura 27°C, contenuto in un cilindro adiabatico munito di pistone, viene compresso gradualmente, fino a raddoppiare la pressione. Calcolare: la temperature raggiunta dal gas e la variazione di energia interna.
Ringrazio ancora tutti per il vostro aiuto!
Risposte
1)
F = ma
se v=costante allora a=0 ==> F=0. La risultante delle forze è nulla.
Le forze in gioco sono la tensione T della fune, il peso P e la forza d'attrito A.
Lungo il piano inclinato (metto un indice p):
Tp - Pp - Ap = Tp - mg*sin(30°) - Ap
Ma |Ap|=mc*[mg*cos(30°)-Tp*tan(30°)]:
Tp - Pp - Ap = Tp - mg*sin(30°) - mc*[mg*cos(30°)-Tp*tan(30°)] = 0
Tp*[1+mc*tan(30°)] = mg*sin(30°)+mc*mg*cos(30°)
Tp = [mg*sin(30°)+mc*mg*cos(30°)] / [1+mc*tan(30°)] = 3.55 *10^3 N
La tensione della fune sarà:
T = Tp/cos(30°)= 4.1 * 10^3 N circa
F = ma
se v=costante allora a=0 ==> F=0. La risultante delle forze è nulla.
Le forze in gioco sono la tensione T della fune, il peso P e la forza d'attrito A.
Lungo il piano inclinato (metto un indice p):
Tp - Pp - Ap = Tp - mg*sin(30°) - Ap
Ma |Ap|=mc*[mg*cos(30°)-Tp*tan(30°)]:
Tp - Pp - Ap = Tp - mg*sin(30°) - mc*[mg*cos(30°)-Tp*tan(30°)] = 0
Tp*[1+mc*tan(30°)] = mg*sin(30°)+mc*mg*cos(30°)
Tp = [mg*sin(30°)+mc*mg*cos(30°)] / [1+mc*tan(30°)] = 3.55 *10^3 N
La tensione della fune sarà:
T = Tp/cos(30°)= 4.1 * 10^3 N circa
E' tutto come se il carrello fosse fermo e il corpo accelerasse con accelerazione = -a.
Per il corpo quindi:
F = m*k(t) = -ma + mc*mg
dove k è l'accelerazione del corpo.
k(t) = -a+mc*g
v(t) = (mc*g-a)t
x(t) = (1/2)(mc*g-a)*t^2
v(2s) = (mc*g-a)*2 = -2.04 m/s
Il lavoro fatto è il prodotto di Fa per lo spazio percorso dal corpo.
|x(2s)| = 2.04 m
Lavoro = (mg*mc)*|x(2s)| = 4 J circa
Per il corpo quindi:
F = m*k(t) = -ma + mc*mg
dove k è l'accelerazione del corpo.
k(t) = -a+mc*g
v(t) = (mc*g-a)t
x(t) = (1/2)(mc*g-a)*t^2
v(2s) = (mc*g-a)*2 = -2.04 m/s
Il lavoro fatto è il prodotto di Fa per lo spazio percorso dal corpo.
|x(2s)| = 2.04 m
Lavoro = (mg*mc)*|x(2s)| = 4 J circa
Grazie goblyn, sei gentile come sempre. A quanto pare i primi due sono andati bene! Ora arriveranno le note dolenti, credo...
Comunque approfitto di questo post per ringraziare tutti i frequentatori di questo forum (che ovviamente non abbandonerò); oltre ad essere persone simpatiche, sono gentilissimi; anche grazie a loro lo scritto di Analisi è andato benissimo, peccato solo che la mia prof. non lo consideri ai fini del voto finale (la bastarda!).
dU = Q - L
dove Q è il calore assorbito dal sistema, L il lavoro fatto dal sistema e U l'energia interna. Il sistema è adiabatico, quindi Q=0:
dU = - L
Per un gas perfetto:
pi Vi = ni R Ti
pf Vf = nf R Tf
Nel nostro caso ni=nf e pf=2pi:
pi Vi = ni R Ti
2pi Vf = ni R Tf
quindi:
2Vf/Vi = Tf/Ti
L'energia interna di un gas monoatomico è:
Ui = (3/2)nRTi
Uf = (3/2)nRTf
dU = Uf-Ui = (3/2)nR(Tf-Ti) = -L
Viene detto che la compressione è lenta. Supponiamo quindi che sia reversibile. Il lavoro fatto per comprimere il gas di un volume dV è:
dL = pdV
ma p = nRT/V:
dL = nRT dV/V
Quindi, integrando:
L = nRT log(Vf/Vi)
Prendiamo l'equazione in verde:
(3/2)nR(Tf-Ti) = -nRT log(Vf/Vi)
e quella in rosso:
2Vf/Vi = Tf/Ti
Mettiamole a sistema. Otteniamo:
(3/2)(Tf-Ti) = log(2Ti/Tf)
Tf = Ti + (2/3)log(2Ti/Tf)
Se supponiamo Ti circa = a Tf:
Tf = Ti + (2/3)log(2) = 27.46°C
Se risostituiamo nell'espressione non approssimata vediamo che l'approssimazione è buona.
La variazione di Energia interna è:
dU = Uf-Ui = (3/2)nR(Tf-Ti) = (3/2)dT*pV/T = 2.3 J
dove p V e T sono le quantità iniziali o finali.
dove Q è il calore assorbito dal sistema, L il lavoro fatto dal sistema e U l'energia interna. Il sistema è adiabatico, quindi Q=0:
dU = - L
Per un gas perfetto:
pi Vi = ni R Ti
pf Vf = nf R Tf
Nel nostro caso ni=nf e pf=2pi:
pi Vi = ni R Ti
2pi Vf = ni R Tf
quindi:
2Vf/Vi = Tf/Ti
L'energia interna di un gas monoatomico è:
Ui = (3/2)nRTi
Uf = (3/2)nRTf
dU = Uf-Ui = (3/2)nR(Tf-Ti) = -L
Viene detto che la compressione è lenta. Supponiamo quindi che sia reversibile. Il lavoro fatto per comprimere il gas di un volume dV è:
dL = pdV
ma p = nRT/V:
dL = nRT dV/V
Quindi, integrando:
L = nRT log(Vf/Vi)
Prendiamo l'equazione in verde:
(3/2)nR(Tf-Ti) = -nRT log(Vf/Vi)
e quella in rosso:
2Vf/Vi = Tf/Ti
Mettiamole a sistema. Otteniamo:
(3/2)(Tf-Ti) = log(2Ti/Tf)
Tf = Ti + (2/3)log(2Ti/Tf)
Se supponiamo Ti circa = a Tf:
Tf = Ti + (2/3)log(2) = 27.46°C
Se risostituiamo nell'espressione non approssimata vediamo che l'approssimazione è buona.
La variazione di Energia interna è:
dU = Uf-Ui = (3/2)nR(Tf-Ti) = (3/2)dT*pV/T = 2.3 J
dove p V e T sono le quantità iniziali o finali.
Mi postate anche il terzo?
Il momento d'inerzia del cilindro rispetto al centro di massa è:
Ic = (M*R^2)/2
Per trovare il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione applichiamo il teorema di Steiner. Si ottiene:
Io = Ic + M*d^2 = (M*R^2)/2 + M*(R^2/4) = (3/4)M*R^2
Il cilindro è un pendolo fisico perciò il suo periodo, per piccole oscillazioni, è dato da:
T = 2*pi*sqrt[Io/(M*g*d)] = 2*pi*sqrt[(3R)/(2g)] = 0,777 s.
Per trovare la velocità angolare massima applichiamo il principio di conservazione dell'energia meccanica.
L'energia meccanica iniziale è solo potenziale ed è: U = M*g*R
L'energia meccanica finale è solo cinetica ed è: K = (Io*w^2)/2
Uguagliando queste relazioni si ottiene:
w = sqrt[(2M*g*R)/Io] = sqrt[(8g)/(3R)] = 16,174 rad/s.
Ic = (M*R^2)/2
Per trovare il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione applichiamo il teorema di Steiner. Si ottiene:
Io = Ic + M*d^2 = (M*R^2)/2 + M*(R^2/4) = (3/4)M*R^2
Il cilindro è un pendolo fisico perciò il suo periodo, per piccole oscillazioni, è dato da:
T = 2*pi*sqrt[Io/(M*g*d)] = 2*pi*sqrt[(3R)/(2g)] = 0,777 s.
Per trovare la velocità angolare massima applichiamo il principio di conservazione dell'energia meccanica.
L'energia meccanica iniziale è solo potenziale ed è: U = M*g*R
L'energia meccanica finale è solo cinetica ed è: K = (Io*w^2)/2
Uguagliando queste relazioni si ottiene:
w = sqrt[(2M*g*R)/Io] = sqrt[(8g)/(3R)] = 16,174 rad/s.
Ok, grazie MaMo, e così sono a posto; per fortuna i primi due sono fatti bene, il terzo mi sono imbrogliato a trovare il momento di inerzia con Huygens-Steiner (ma è un errore di calcolo, non dovrebbe essere grave) e l'ultimo invece l'ho sbagliato completamente! Ho infatti alcuni dubbi su di esso; posto qui la risoluizone del problema che ho trovato oggi in bacheca all'università: l'esercizio apparentemente viene risolto in maniera diversa da goblyn, il valore della temperatura è esatto, ma non il lavoro.
(c significa costante)
Ora, abbiate pazienza ragazzi. Non ho capito cos'è quel benedettissimo gamma e perchè sappiamo che è 5/3; in realtà non ho capito assolutamente niente! Mi potete spiegare bene tutto? Sennò qua finisce male... In realtà io ricordo vagamente questa relazione:
per il resto... Boh! HELP!!!
Per una trasformazione adiabatica PV^g=cost con g= cp/cv
Per un gas monoatomico c=5/2R e cv=3/2R da cui g=5/3.
Ora:
pV^g = cost
pV=nRT
V=(nRT)/p
sostituiamo:
p (nRT)^g / (p^g) = cost
(nR)^g è una costante e possiamo assorbirla alla destra dell'uguale.
p^(1-g) T^g = cost
p^(1/g-1) T = cost
ed eccola qua.
Da questa puoi trovare la temperatura corretta.
La dimostrazione è la seguente:
g=cp/cv
R=cp-cv=g*cv-cv=cv(g-1)
pv=nRT=n*cv(g-1)T
pdV+Vdp=n*cv(g-1)dT
dU=-L=-pdV (adiabatica)
dU=n*cv*dT (gas perfetto)
dalle ultime due ricavi:
dT= -(pdV)/(n*cv)
sostituisci nella prima e dopo qualche semplice conto ottieni:
g*p*dV + V*dp = 0
dp/p = - g dV/V
log(p)=g*log(1/V)+cost=log(1/(V^g))+cost
p=cost/(V^g)
p*V^g=cost
Per un gas monoatomico c=5/2R e cv=3/2R da cui g=5/3.
Ora:
pV^g = cost
pV=nRT
V=(nRT)/p
sostituiamo:
p (nRT)^g / (p^g) = cost
(nR)^g è una costante e possiamo assorbirla alla destra dell'uguale.
p^(1-g) T^g = cost
p^(1/g-1) T = cost
ed eccola qua.
Da questa puoi trovare la temperatura corretta.
La dimostrazione è la seguente:
g=cp/cv
R=cp-cv=g*cv-cv=cv(g-1)
pv=nRT=n*cv(g-1)T
pdV+Vdp=n*cv(g-1)dT
dU=-L=-pdV (adiabatica)
dU=n*cv*dT (gas perfetto)
dalle ultime due ricavi:
dT= -(pdV)/(n*cv)
sostituisci nella prima e dopo qualche semplice conto ottieni:
g*p*dV + V*dp = 0
dp/p = - g dV/V
log(p)=g*log(1/V)+cost=log(1/(V^g))+cost
p=cost/(V^g)
p*V^g=cost
Ho trovato il mio errore. Quando dovevo integrare
dL=nRT dV/V
mi sono dimenticato della T. T non è costante, varia insieme a V. Cioè T=T(V).
dL=nRT dV/V
mi sono dimenticato della T. T non è costante, varia insieme a V. Cioè T=T(V).
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