Unità di misura gradiente
Salve a tutti,
spero possiate aiutarmi con questo esercizio di cui non capisco le untià di misura finali del calcolo, (tratto dal volume 2 Adams-Calcolo differenziale)
Una escursionista si trova vicino a un ruscello su un lato di una collina,
mentre sta esaminando la carta della zona. La quota del terreno (in km) in ogni punto
(x, y) è data da
$h(x, y) = 20000/(3+x^2+2y^2)$
L’escursionista si trova nel punto (3, 2).
Domanda: quanto rapidamente scende il ruscello in quel punto?
Il gradiente della funzione vale
$grad h(x,y)=-20000/(3+x^2+2y^2)^2(2x i+4h j)$
che nel punto (3,2) vale
$grad h=-100(3i+4j)$ il cui modulo è 500, ma 500 cosa? km? il testo dice 500m, quindi il ruscello scende di 500m ogni km, il che è realistico, ma l'espressione iniziale di h era con le variabili espresse in km. per cui anche il risultato finale dovrebbe essere in km.
spero possiate aiutarmi con questo esercizio di cui non capisco le untià di misura finali del calcolo, (tratto dal volume 2 Adams-Calcolo differenziale)
Una escursionista si trova vicino a un ruscello su un lato di una collina,
mentre sta esaminando la carta della zona. La quota del terreno (in km) in ogni punto
(x, y) è data da
$h(x, y) = 20000/(3+x^2+2y^2)$
L’escursionista si trova nel punto (3, 2).
Domanda: quanto rapidamente scende il ruscello in quel punto?
Il gradiente della funzione vale
$grad h(x,y)=-20000/(3+x^2+2y^2)^2(2x i+4h j)$
che nel punto (3,2) vale
$grad h=-100(3i+4j)$ il cui modulo è 500, ma 500 cosa? km? il testo dice 500m, quindi il ruscello scende di 500m ogni km, il che è realistico, ma l'espressione iniziale di h era con le variabili espresse in km. per cui anche il risultato finale dovrebbe essere in km.
Risposte
Ciao.
Devi abituarti a mettere le unita' di misura nei calcoli. A meno che, non usi solo unita' di misura omogenee del SI (sistema internazionale) e allora non te ne devi piu' preoccupare.
Secondo me $h(x,y)$ e' in metri, mentre $x$ e $y$ sono in kilometri.
Queste unita' hanno senso parlando di una carta geografica, ma siccome usi unita' non omogenee da qui nasce la confusione.
Quel $500$ che trovi e' un numero puro oppure se vuoi e' un rapporto tra metri e kilometri ($["m / km"]$) e quindi dice che per ogni kilometro il ruscello scende di 500 m.
Devi abituarti a mettere le unita' di misura nei calcoli. A meno che, non usi solo unita' di misura omogenee del SI (sistema internazionale) e allora non te ne devi piu' preoccupare.
Secondo me $h(x,y)$ e' in metri, mentre $x$ e $y$ sono in kilometri.
Queste unita' hanno senso parlando di una carta geografica, ma siccome usi unita' non omogenee da qui nasce la confusione.
Quel $500$ che trovi e' un numero puro oppure se vuoi e' un rapporto tra metri e kilometri ($["m / km"]$) e quindi dice che per ogni kilometro il ruscello scende di 500 m.
OK, grazie tanto.
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